13.2.2三角形的中线、角平分线、高讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的中线、角平分线、高核心知识点，系统梳理三种线段的定义、性质及应用，通过“定义-性质-例题-对比总结”的学习支架，构建从单一概念到综合应用的知识脉络。 资料设计突出几何直观与推理意识，借助示意图（如三种线段对比图）帮助学生建立空间观念，通过证明思路（如中线分面积相等）培养逻辑推理能力。课中辅助教师高效授课，课后练习与小结助力学生查漏补缺，强化应用意识。

人教版八年级上册 | 第十三章 初中数学讲义 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 学习目标 1. 理解并掌握三角形的中线、角平分线和高的定义； 1. 能在不同类型的三角形中正确画出这三种线段； 1. 理解并运用三条线段的重要性质（如重心分中线比 2:1）； 1. 能解决与这三种线段相关的计算与证明问题。 一、三角形的中线 1. 定义 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 如图，D 是 BC 的中点，即 BD = DC，则线段 AD 就是 △ABC 的一条中线。 图1 三角形的中线（红色/蓝色/绿色分别为从A/B/C出发的中线，G为重心） 2. 重要性质 💡 三角形的中线性质 （1）三角形有 3 条中线，它们都在三角形内部； （2）三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的 重心（G）； （3）重心将每条中线分成 2:1 的两段，即 AG:GD = 2:1； （4）三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，即 S△ABD = S△ACD = ½ S△ABC。 3. 中线与面积关系 证明思路：△ABD 和 △ACD 有相同的高（从 A 到 BC 的垂线），底边 BD = DC，所以面积相等，各为 △ABC 面积的一半。 📝 例题1 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 S△ABC = 24 cm²，求 S△ABD。 【解析】因为 AD 是中线，所以 BD = DC，△ABD 和 △ADC 等底同高，面积相等。因此 S△ABD = × S△ABC = × 24 = 12 cm²。 📝 例题2 在 △ABC 中，中线 AD = 6 cm，G 为重心，求 AG 和 GD 的长度。 【解析】重心 G 将中线 AD 分成 AG:GD = 2:1，所以 AG = () × 6 = 4 cm，GD = () × 6 = 2 cm。 二、三角形的角平分线 1. 定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 如图，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，则 AD 就是 △ABC 的一条角平分线。 图2 三角形的角平分线（红色/蓝色/绿色分别为从A/B/C出发的角平分线，I为内心） 2. 重要性质 💡 三角形的角平分线性质 （1）三角形有 3 条角平分线，它们都在三角形内部； （2）三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的 内心（I）； （3）内心到三角形三边的距离相等（即内切圆的圆心）； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线定理）。 3. 注意：角平分线与角的平分线的区别 ⚠ 重要提醒： "角的平分线"是一条射线（无限延伸）；"三角形的角平分线"是一条线段（端点为顶点和对边交点）。 📝 例题3 在 △ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，∠BAC = 70°，求 ∠BAD 的度数。 【解析】因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠BAC = × 70° = 35°。 📝 例题4 在 △ABC 中，AD 是 ∠A 的平分线，AB = 8 cm，AC = 6 cm，且 D 到 AB 的距离为 3 cm，求 D 到 AC 的距离。 【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，D 到 AC 的距离 = D 到 AB 的距离 = 3 cm。 三、三角形的高 1. 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 如图，AD ⊥ BC 于点 D，则线段 AD 就是 △ABC 中 BC 边上的高。 图3 锐角三角形的三条高（都在三角形内部，交于垂心H） 2. 不同类型三角形的高 💡 三种三角形的高对比 【锐角三角形】三条高都在三角形内部，交于三角形内一点（垂心H）； 【直角三角形】两条直角边就是两条高，第三条高在三角形内部，三条高交于直角顶点； 【钝角三角形】有两条高在三角形外部（需延长对边），一条在内部，三条高所在直线交于三角形外一点。 图4 钝角三角形的高（红色高在外部，需延长BC边） 图5 直角三角形的高（两条直角边本身就是高） 3. 重要性质 💡 三角形的高性质 （1）三角形有 3 条高（或高所在直线）； （2）锐角三角形的三条高交于三角形内部一点（垂心）； （3）直角三角形的三条高交于直角顶点； （4）钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点； （5）三角形面积 S = × 底 × 高，因此 高 = 2S / 底。 📝 例题5 在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的高，∠B = 50°，∠C = 60°，求 ∠BAD 和 ∠CAD 的度数。 【解析】在 Rt△ABD 中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 50° = 40°。 在 Rt△ACD 中，∠CAD = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°。 📝 例题6 已知 △ABC 的面积为 30 cm²，底边 BC = 10 cm，求 BC 边上的高 AD 的长度。 【解析】由 S = × BC × AD，得 30 = × 10 × AD，解得 AD = 6 cm。 四、三种线段对比总结 图6 从同一顶点出发的中线、角平分线、高对比 线段类型 端点位置 数量与交点 位置特征 中线 顶点 ↔ 对边中点 3条，交于重心G 全在内部 角平分线 顶点 ↔ 对边交点 3条，交于内心I 全在内部 高 顶点 ↔ 对边垂足 3条，交于垂心H 锐角△全在内； 直角△在顶点； 钝角△两条在外 五、课堂练习 1. 在 △ABC 中，AD 是中线，BE 是中线，CF 是中线，它们交于 G。若 GD = 3 cm，求 AG 的长度。 2. 在 △ABC 中，AD 是 ∠A 的平分线，∠B = 40°，∠C = 60°，求 ∠BAD 的度数。 3. 判断下列说法是否正确： （1）三角形的角平分线是射线； （2）三角形的高一定在三角形内部； （3）重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。 4. 在 △ABC 中，AD 是高，∠BAD = 55°，∠CAD = 25°，判断 △ABC 是什么三角形（按角分类）。 5. 已知 △ABC 的周长为 24 cm，三条中线的交点 G 将中线分成 2:1 的比例。若一条中线长为 9 cm，求从顶点到重心的距离。 6. 在钝角 △ABC 中，∠A = 120°，画出 BC 边上的高，并说明这条高是否在三角形内部。 参考答案 1. AG = 2 × GD = 6 cm 2. ∠A = 180° - 40° - 60° = 80°，∠BAD = × 80° = 40° 3. （1）错（是线段）；（2）错（钝角△有两条在外部）；（3）对 4. ∠BAC = 55° + 25° = 80°，三个角均小于 90°，是锐角三角形 5. 顶点到重心 = () × 9 = 6 cm 6. ∠A = 120° 为钝角，BC 边上的高在 △ABC 内部（从 A 到 BC 的垂线落在 BC 上）；但 AB、AC 边上的高在外部。 六、本课小结 💡 核心要点回顾 🔹 中线：连接顶点与对边中点，三条中线交于重心 G，重心分中线为 2:1； 🔹 角平分线：内角平分线与对边的交点连线，三条交于内心 I（内切圆圆心）； 🔹 高：顶点到对边的垂线段，三条高（所在直线）交于垂心 H； 🔹 锐角三角形：三条高都在内部；直角三角形：两条高为直角边；钝角三角形：两条高在外部； 🔹 面积关系：S = × 底 × 高，中线平分面积。 - - 学科网（北京）股份有限公司 $