13.3 三角形的内角与外角（讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形内角与外角核心内容，系统梳理内角和定理（含证明及推论）、直角三角形性质与判定、外角定义及性质等考点，构建从内角到外角、从一般到特殊的知识支架，助力学生逐步掌握相关原理。 资料以题型探究为核心，设计8类题型及变式题，结合平行线、角平分线、直角三角板等情境，培养学生几何直观与推理能力。分层通关练习满足不同层次需求，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识与创新意识。

13.3 三角形的内角与外角 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的内角和定理 考点2：直角三角形的性质与判定 考点3：三角形的外角 考点4：三角形的外角性质 Part2 题型探究 题型1：利用三角形的内角和求角度 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4：直角三角形的性质 题型5：三角形的内角和与直角三角板 题型6：利用三角形的外角定理求角度 题型7：三角形外角性质的应用 题型8：三角形的外角与直角三角板 Part3 分层通关 【考点1：三角形的内角和定理】 1、定理内容 三角形三个内角的和等于180°。即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 2、定理证明 过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质（内错角相等），将三个内角转化为一个平角，从而证明内角和为180°。 3、推论 ①直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。②一个三角形中最多有一个直角或一个钝角。③三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 【考点2：直角三角形的性质与判定】 1、性质 直角三角形的两个锐角互余。即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 2、判定 ①有两个角互余的三角形是直角三角形。②若三角形的一个角等于另外两个角的和，则这个三角形是直角三角形。③若三角形三边满足勾股定理的逆定理（＋＝），则为直角三角形。 【考点3：三角形的外角】 1、外角的定义 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。外角的顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。 2、外角的特征 ①三角形的每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，大小相等。②三角形共有6个外角（每个顶点2个）。③外角与相邻的内角互为邻补角，和为180°。 【考点4：三角形的外角性质】 1、外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD＝∠A＋∠B。 2、外角与内角的大小关系 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3、外角和 在三角形的每个顶点处取一个外角，这三个外角的和等于360°。 【题型1：利用三角形的内角和求角度】 【例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：设另两个内角的度数分别为2x，3x， 根据题意得：50°+2x+3x＝180°， 解得：x＝26°， ∴2x＝2×26°＝52°，3x＝3×26°＝78°， ∵50°＜52°＜78°， ∴最大内角的度数是78°． 故选：B． 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【答案】A 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，且∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A180°＝40°． 故选：A． 【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝40°， 故选：D． 【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】A 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴， ∵∠ABC＝3∠C， ∴， 设∠C＝x，则， ∵∠EDC＝20°， ∴∠AED＝∠C+∠EDC＝x+20°， ∵∠ADE＝3∠AED， ∴∠ADE＝3x+60°， ∵DF平分∠ADE， ∴， ∵∠FDC＝∠F+∠FBC， ∴， ∴∠F＝50°． 故选：A． 【题型2：与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=40°， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-85°=55°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理等于180°是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式3】已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线，先根据角平分线的定义求出度数，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又， ∴． 【题型4：直角三角形的性质】 【例4】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　52　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于90°﹣38°＝52°． 故答案为52． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝39°， ∴∠A＝51°， ∵EF∥AB， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝51°， 故选：B． 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　40°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠FCD＝75°， ∴∠A+∠B＝75°， ∵∠A：∠B＝1：2， ∴∠A75°＝25°， ∵DE⊥AB于E， ∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CFD＝∠AFE＝65°， ∵∠FCD＝75°， ∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°． 故答案为：40° 【题型5：三角形的内角和与直角三角板】 【例5】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∠α＝∠β＝45°，故不符合题意； B、根据同角的余角相等，得∠α＝∠β，故不符合题意； C、根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°， ∴∠α＝∠β，故不符合题意； D、根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°，∠α≠∠β，故符合题意； 故选：D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【答案】B 【解答】解：∵将一副三角板按照如图方式摆放， ∴∠BCF＝60°，∠EAD＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣∠BCF﹣∠EAD＝75°， ∴∠BGE＝∠AGC＝75°， 故选：B． 【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（　　） A．45° B．30° C．60° D．15° 【答案】B 【解答】解：根据题意得∠ABC＝∠DEF＝90°，∠DFE＝30°， ∴∠FDE＝60°， ∴∠BGD＝90°﹣∠FDE＝30°， ∴∠CGF＝∠BGD＝30°， 故选：B． 【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°． ∵DF∥AB， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°． 故选：D． 【题型6：利用三角形的外角定理求角度】 【例6】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵直角三角板， ∴α＝90+60°＝150°， 故选：D． 【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：由图可得∠1＝30°+45°＝75°， 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 【答案】B 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC， ∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC＝65°， ∴∠B∠BAC＝65°， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝50°， 故选：B． 【变式3】如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　） A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α 【答案】D 【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝α， ∴∠B＝∠EFC＝α， ∵CD平分∠BCA， ∴∠ACB＝2∠BCD， ∵∠ADC是△BDC的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD， ∵∠ADC＝γ， ∴∠BCD＝γ﹣α， ∵∠MAC是△ABC的外角， ∴∠MAC＝∠B+∠ACB， ∵∠MAC＝β， ∴β＝α+2（γ﹣α）， 即β＝2γ﹣α， 故选：D． 【题型7：三角形外角性质的应用】 【例7】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【答案】C 【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠B+∠A， ∴∠B＜∠ACD． 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝∠1+∠ABD，∠3＝∠2+∠CBD，∠ABD＞0°，∠CBD＞0°， ∴∠1＜∠2＜∠3，即∠1，∠2，∠3的大小关系是∠1＜∠2＜∠3， 故选：A． 【变式2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．2∠2＝∠1+∠3 C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3 【答案】D 【解答】解：由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1＞∠2＞∠3． 故选：D． 【变式3】点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A的大小关系是（　　） A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠1＞∠A＞∠2 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A 【答案】D 【解答】解：∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＞∠2， ∵∠2是△ABD的外角， ∴∠2＞∠A， ∴∠1＞∠2＞∠A． 故选：D． 【题型8：三角形的外角与直角三角板】 【例8】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠EAD＝45°， ∴∠FBA＝∠EAD﹣∠FBA＝45°﹣30°＝15°， 故选：B． 【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵图中是一副三角板叠放， ∴∠ACB＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠α是△ACE的外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝30°+45°＝75°． 故选：D． 【变式2】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【解答】解：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：C． 【变式3】一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【解答】解：由三角形的外角定理可知， ∠1＝45°+30°＝75°． 故选：C． 【基础通关练】 1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°， ∴第三个内角的度数是180°﹣50°﹣70°＝60°． 故选：C． 2．在如图所示的三角形中，x的值是（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【解答】解：由三角形的外角性质得：x+70＝x+10+x， ∴x＝60． 故选：C． 31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°． ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 4．如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，则∠A＝　72　 °． 【答案】72． 【解答】解：如图，连接AP并延长至点D， 有由意可得： ∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝∠BAP+∠B+∠CAP+∠C＝123°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝123°， ∵∠B＝20°，∠C＝31°， ∴∠BAC＝123°﹣∠B﹣∠C＝72°， 故答案为：72． 5．若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【提升通关练】 1．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1∠ACB40°＝20°． 故选：B． 2．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（　　） A．75° B．45° C．60° D．65° 【答案】A 【解答】解：设∠BCD＝x，则∠ACE＝2x， ∵∠EDC＝90°，∠E＝30°， ∴∠ECD＝60°， ∴∠BCE＝60°﹣x， ∵∠ACB＝90°， ∴2x+60°﹣x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠BCD＝30°， ∴∠CBE＝∠D+∠BCD＝90°+30°＝120°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝120°﹣45°＝75°， 故选：A． 3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（　　） A．28° B．29° C．31° D．32° 【答案】D 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵AD⊥BD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C＝180°， ∴2∠ABD+（90°﹣∠ABD）+∠DAC+∠C＝180°， 即90°+∠ABD+20°+38°＝180°， 解得∠ABD＝32°， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 42．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　25°　 ． 【答案】25°． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°． ∵△ABC的三条角平分线交于一点， ∴BO平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝25°． 故答案为：25°． 5．在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 【答案】B 【解答】解：∵∠ADC＝∠1+∠B，∠AEC＝∠ADC+∠2， ∴∠AEC＝∠1+∠2+∠B， 故选：B． 6．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3＝120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　　） A．50° B．60° C．70° D．不能确定 【答案】B 【解答】解：在图中标注∠4，如图所示． ∵∠3与∠4互补，∠3＝120°， ∴∠4＝180°﹣120°＝60°， ∵∠1是外角， ∴∠1＝∠2+∠4， ∴∠1﹣∠2＝∠4＝60°． 故选：B． 7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．38° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76， ∴∠BAC＝68°． ∴∠BAD＝∠DAC＝34°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°， ∴∠DAE＝20°． 故选：B． 8．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论： ①∠CHD与∠G互余； ②∠CBD＝∠BCG； ③∠MHD﹣∠G＝90°； ④∠MHD＝90°+∠A． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【解答】解：∵CM平分∠ACB，CF平分∠ACE， ∴，， ∴，即∠MCG＝90°， ∴∠G+∠CMG＝90°， ∵∠CMG＝∠ACM+∠A，∠CHD＝∠BCM+∠CBD，∠CBD＝∠A， ∴∠CMG＝∠CHD， ∴∠G+∠CHD＝90°， ∴∠CHD与∠G互余，故①正确； ∵∠BCG+∠BCM＝90°，∠A+∠G+∠ACM+∠BCG+∠BCM＝180°， ∴∠A+∠G+∠ACM＝90°， ∵∠BCM＝∠ACM， ∴∠BCG＝∠A+∠G， ∵∠CBD＝∠A， ∴∠BCG＝∠CBD+∠G，故②错误； ∵∠A+∠G+∠ACM＝90°，∠CBD＝∠A， ∴∠MHD＝∠BCH＝180°﹣∠CBD﹣∠BCM＝180°﹣∠A﹣∠ACM＝180°﹣（90°﹣∠G）＝90°+∠G， ∴∠MHD﹣∠G＝90°，故③正确； ∵∠A≠∠G， ∴∠MHD≠90°+∠A，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 9．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是 　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAM， ∴∠ABP∠ABC，∠MAP∠CAM， ∵∠MAP＝∠ABP+∠APB， ∴∠CAM∠ABC+∠APB， ∴（∠ABC+∠C）∠ABC+∠APB， ∴∠APB∠C80°＝40°． 故答案为：40°． 108．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）20°； （2）10． 【解答】解：（1）∵在△ABC中∠C＝70°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC80°＝40°； ∵AD⊥BC，∠C＝70°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°， ∵∠CAE＝40°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE（180°﹣∠C﹣∠B）， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD（180°﹣∠C﹣∠B）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）＝10°． 11．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【培优通关练】 10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线， ∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°， 故①正确； ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， 又∵∠A＝40°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°， 故②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC∠ABC， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF， ∴2∠D＝∠A， ∴∠D＝20°， 故③正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°∠A＝110°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，已知∠A2、∠A1、∠A的和为84°，则∠A＝　48　 °． 【答案】48． 【解答】解：由条件可知∠ABA1＝∠A1BC，∠ACA1＝∠A1CD， ∵∠ABC+∠A＝∠ACD，， ∴2∠A1BC+2∠A1＝2∠A1CD＝∠ACD， ∴2∠A1BC+2∠A1＝∠ABC+∠A＝∠ACD， ∴2∠A1＝∠A； 由条件可知，， ∵∠A1BC+∠A1＝∠A1CD，， ∴2∠A2BC+2∠A2＝∠A1CD， ∴2∠A2BC+2∠A2＝∠A1BC+∠A1＝∠A1CD， ∴2∠A2＝∠A1， ∴4∠A2＝2∠A1＝∠A， ∵∠A2、∠A1、∠A的和为84°， ∴∠A+∠A1+∠A2＝4∠A2+2∠A2+∠A2＝84°， ∴∠A2＝12°， ∴∠A＝4∠A2＝4×12°＝48°． 故答案为：48． 4．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 三角形的内角与外角 目录 Part1考点突破 考点1：三角形的内角和定理 考点2：直角三角形的性质与判定 考点3：三角形的外角 考点4：三角形的外角性质 Part2 题型探究 题型1：利用三角形的内角和求角度 题型2：与平行线有关的三角形内角和问题 题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4：直角三角形的性质 题型5：三角形的内角和与直角三角板 题型6：利用三角形的外角定理求角度 题型7：三角形外角性质的应用 题型8：三角形的外角与直角三角板 Part3 分层通关 【考点1：三角形的内角和定理】 1、定理内容 三角形三个内角的和等于180°。即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 2、定理证明 过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质（内错角相等），将三个内角转化为一个平角，从而证明内角和为180°。 3、推论 ①直角三角形的两个锐角互余（和为90°）。②一个三角形中最多有一个直角或一个钝角。③三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 【考点2：直角三角形的性质与判定】 1、性质 直角三角形的两个锐角互余。即在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°。 2、判定 ①有两个角互余的三角形是直角三角形。②若三角形的一个角等于另外两个角的和，则这个三角形是直角三角形。③若三角形三边满足勾股定理的逆定理（＋＝），则为直角三角形。 【考点3：三角形的外角】 1、外角的定义 三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。外角的顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。 2、外角的特征 ①三角形的每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，大小相等。②三角形共有6个外角（每个顶点2个）。③外角与相邻的内角互为邻补角，和为180°。 【考点4：三角形的外角性质】 1、外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即若∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD＝∠A＋∠B。 2、外角与内角的大小关系 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 3、外角和 在三角形的每个顶点处取一个外角，这三个外角的和等于360°。 【题型1：利用三角形的内角和求角度】 【例1】已知三角形的一个内角是50°，另两个内角的度数比为2：3，则最大内角的度数是（　　） A．75° B．78° C．80° D．85° 【变式1】若△ABC三个角的大小满足∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【变式2】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式3】如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【题型2：与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，ABCD，则的度数为（    ） A．90° B．85° C．60° D．55° 【变式2】如图，在中，，，，则的度数为 ．    【变式3】已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【变式3】如图，在中，平分，，．求的度数． 【题型4：直角三角形的性质】 【例4】在直角三角形中，一个锐角为38°，则另一个锐角等于　 　 °． 【变式1】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠B＝39°，则∠1的度数为（　　） A．39° B．51° C．38° D．52° 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 ． 【变式3】如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　 ． 【题型5：三角形的内角和与直角三角板】 【例5】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 【变式1】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠BGE的度数为（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 【变式2】将两把含有30°的三角尺按如图所示的方式拼接在一起，则∠CGF的度数为（　　） A．45° B．30° C．60° D．15° 【变式3】如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【题型6：利用三角形的外角定理求角度】 【例6】如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上，则∠α的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【变式1】如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠1等于（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若∠ADC＝65°，则∠BAC的大小为（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 【变式3】如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　） A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α 【题型7：三角形外角性质的应用】 【例7】如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是（　　） A．∠B＞∠ACD B．∠B＝∠ACD C．∠B＜∠ACD D．无法确定 【变式1】如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与端点重合），连接BD．则∠1，∠2，∠3的大小关系是（　　） A．∠1＜∠2＜∠3 B．∠1＜∠3＜∠2 C．∠3＜∠2＜∠1 D．∠2＜∠1＜∠3 【变式2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．2∠2＝∠1+∠3 C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3 【变式3】点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A的大小关系是（　　） A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠1＞∠A＞∠2 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A 【题型8：三角形的外角与直角三角板】 【例8】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1】数学活动课上，小明将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式2】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【变式3】一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【基础通关练】 1．一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 2．在如图所示的三角形中，x的值是（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　 ． 4．如图，∠B＝20°，∠C＝31°，∠BPC＝123°，则∠A＝ °． 5．若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【提升通关练】 1．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 2．两个直角三角板如图摆放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，点B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，则∠ABE的大小为（　　） A．75° B．45° C．60° D．65° 3．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD．∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为（　　） A．28° B．29° C．31° D．32° 42．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　 ． 5．在图中，∠1+∠2+∠B＝（　　） A．∠ADB B．∠AEC C．∠ACB D．∠DEC 6．一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的∠3＝120°，你能求出∠1比∠2大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（　　） A．50° B．60° C．70° D．不能确定 7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．20° C．18° D．38° 8．如图，D是△ABC的边AC上点，连接BD，CM平分∠ACB交BD于点H，交AB于点M．△ABC的外角∠ACE的平分线CF所在直线与AB的延长线交于点G．当∠CBD＝∠A时，有下列四个结论： ①∠CHD与∠G互余； ②∠CBD＝∠BCG； ③∠MHD﹣∠G＝90°； ④∠MHD＝90°+∠A． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 9．如图，△ABC中∠BAC的外角的平分线AE与∠ABC的平分线AD相交于点P，∠C＝80°，则∠APB的度数是 ． 108．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数； （2）若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 11．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【培优通关练】 10．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 3．如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，已知∠A2、∠A1、∠A的和为84°，则∠A＝ °． 4．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 学科网（北京）股份有限公司 $