第1章集合与常用逻辑用语单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合与常用逻辑用语单元复习卷，覆盖集合概念、逻辑用语、充要条件等核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合元素关系（1）、集合运算（3）、充分条件（4）|结合康托尔集合论史（7）体现文化传承，数域概念（8）渗透创新意识| |多选题|3/18|命题类型（9）、集合关系（10）|紧密集合定义（11）考查数学抽象与逻辑推理| |填空题|3/15|充要条件判断（12）、集合包含关系（13）|简洁考查基础概念，强化符号意识| |解答题|5/77|集合元素个数（15）、充要条件证明（18）|分层设计，19题结合命题真假求参数范围，培养数学思维与问题解决能力|

第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合A=｛0，1，2｝，则（    ） A．0A B．1 C．2=A D．A 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可 【详解】已知， 所以，，，而是任何集合的子集. 故选：A 2．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误； ②中，空集是任一集合的子集，所以②正确； ③中，是的子集，，所以③错误； ④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确； ⑤中，是的元素，所以⑤正确. 故选：C. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集和补集运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以或， 又， 所以. 故选：B. 4．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由p是q的充分不必要条件得到两个范围对应集合之间的包含关系，进而得到实数a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B. 5．若“”为真命题，则实数a的最小值为（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知，再根据题意求解即可. 【详解】解：当时，，所以. 因为命题“”为真命题， 所以，实数a的最小值为. 故选：B 6．下列说法正确的是（    ） A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 【答案】D 【解析】根据集合表示方法依次判断即可. 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，方程的解集为，故B错误； 对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确. 故选：D. 7．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据所给公式即可代入求解. 【详解】设参加田赛的学生组成集合A，则，参加径赛的学生组成集合B，则，由题意得，所以，， 所以高一（1）班参加本次运动会的人数共有23． 故选：B 8．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（    ） A．N B．Z C．Q D． 【答案】C 【分析】根据数域的定义，对选项进行验证. 【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误； 任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确； 对于集合，，，故不是数域，D选项错误. 故选：C 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．关于命题“”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题 C．该命题是真命题 D．该命题是假命题 【答案】BC 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD. 【详解】是存在量词命题， A选项错误B选项正确； 时，成立， 命题为真命题，即C正确D错误. 故选：BC 10．已知为全集，集合M，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】直接根据集合间的关系逐一判断即可. 【详解】因为，则，，则A正确，B错误； 又为全集，集合M，，则，，C错误，D正确； 故选：AD. 11．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（    ） A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则 【答案】BC 【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可. 【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误； B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确； C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确； D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误． 故选：BC. 【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手. 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． 【答案】必要非充分 【分析】利用充要条件的定义判定即可. 【详解】当时，满足是2的倍数,但不满足是6的倍数，充分性不成立； 若是6的倍数，则一定是2的倍数，必要性成立. 则是的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 13．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________ 【答案】 【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解． 【详解】解：，， 由，， 当时，满足，此时，； 当时， ，则， 解得．综上，． 故答案为：． 14．若命题“”为假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】命题“”为假命题，等价于“方程无实根”，则，求解即可． 【详解】命题“”为假命题，等价于“方程无实根”， 则，解得，即实数的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）时，；时，；（2）； 【分析】（1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值； （2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得： ， 所以中只有一个元素，即， 当时，，解得：， ，解得：，此时 综上可知时，时. （2）当集合时，，解得： 由（1）可知集合有1个元素时，或， 综上可知：或， 即. 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，涉及一元二次方程实数根与系数的关系，意在考查讨论思想和计算能力，属于基础题型，本题容易忽略的情况. 16．已知全集，集合，．求，，． 【答案】，或， 【分析】根据交集，并集和补集的定义计算即可. 【详解】因为，，， 所以，，或， 所以或， . 17．设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或. 18．已知 ，求证：是的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】先由推得，再由推得，即可得证. 【详解】设，， 先证充分性： ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即； 再证必要性： ∵， ∴， ∴； 综上：是的充要条件. 19．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案； （2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果. 【详解】（1）命题p：“，使不等式成立”是假命题， 则“，使不等式恒成立”是真命题， 故，解得， 故，即. （2）由于命题：，整理得：， 由小问1得：， 由于是的充分不必要条件， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试卷 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合A=｛0，1，2｝，则（    ） A．0A B．1 C．2=A D．A 2．下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若“”为真命题，则实数a的最小值为（    ） A． B． C．6 D．7 6．下列说法正确的是（    ） A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 7．集合论是德国数学家康托尔（G．Cantor）于l9世纪末创立的．在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，例如：，则．对于任意两个有限集合A，B，有．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（    ） A．28 B．23 C．18 D．16 8．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（    ） A．N B．Z C．Q D． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．关于命题“”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题 C．该命题是真命题 D．该命题是假命题 10．已知为全集，集合M，，若，则（    ） A． B． C． D． 11．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（    ） A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．是2的倍数，是6的倍数，则是的______条件． 13．已知集合，，若，则实数m的取值范围______________ 14．若命题“”为假命题，则实数的取值范围为______． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 16．已知全集，集合，．求，，． 17．设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 18．已知 ，求证：是的充要条件. 19．已知命题p：“，使不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值集合A； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $