第1章 集合与常用逻辑用语 单元学能测评-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

单元学 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知命题p:“某班所有的男生都爱踢足球”， 则命题饣为(). A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球 C,某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 2.设集合A={x|x2-3x十2=0}，则满足AUB ={0,1,2}的集合B的个数是( A.1 B.3 C.4 D.6 3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3” 是“A二B”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影 部分表示的集合是()， M A.M∩(N∩P) B.MU(N∩P) C.(CM)∩(N∩P)D.(C)U(N∩P) 5.(2026·湖南长沙长郡中学检测)已知x1,x2 是方程x2十mx十n=0的两个实根，x1x2=2 是n=2的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第一章集合与常用逻辑用语 能测评 满分：150分 6.已知集合A={x|0≤x≤a),集合B={xm2+ 3≤x≤m2+4},如果命题“]m∈R,A∩B≠ ”为假命题，那么实数a的取值范围为 (). A.a<3 B.a<4 C.1<a<5 D.0<a<4 7.(2026·陕西西安中学单元检测)设函数y= mx2一mx一1，若对于任意的x∈{x|1≤x≤ 3},y<一m十4恒成立，则实数m的取值范围 为(). Am男 R0Gm<号 C.m<0或0<m<7 5 D.m≤0 8.(2026·湖北武汉二中检测)记实数x1, x2,…,xm中的最大数为max{x1,x2,…,xn}, 最小数为min{x1,x2,…,xm).已知△ABC的三 边边长分别为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜 度为1=m后名会}m分名后}则 “L=1”是“△ABC为等边三角形”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分 9.已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x, y)y=x2十1}，下列关系正确的是( A.(1,2)∈B B.A=B C.0庄A D.(0,0)庄B 10.若p:x2十x一6=0是q:ax十1=0的必要不 充分条件，则实数a的值为(). 15 重难点手册高中数学必修第一册（上）/ A.2 B-2 C. D.3 11.定义集合运算：A☒B={x|之=(x+y)(x一 y),x∈A,y∈B},设A={W2,w3},B={1, √2}，则(). A.当x=√2，y=√2时，之=1 B.x可取两个值，y可取两个值，之=(x十y)· (x一y)对应4个式子 C.A☒B中有4个元素 D.A☒B的真子集有7个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.集合A={a2,a十1，-3}，B={a-3,2a-1,a2+ 1},若A∩B={-3},则a的值是 1B,(2025·浙江台州中学期中)若x∈A,则∈ A,就称A是“伙伴关系”集合，集合M= {-一1,0，？，2,3的所有非空子集中具有伙件 关系的集合的个数是 14.在整数集中，被4除所得余数为k的所有整 数组成一个“类”，记为[k],即[k]={4n十 kn∈Z),k=0,1,2,3.给出下列四个结论： ①2021∈[1]；②-1∈[1]；③Z=[0]U [1]U[2]U[3];④“整数a,b属于同一‘类 的充要条件是“a一b∈[0]”. 其中正确的结论是 (填所有正确的 结论的序号). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知命题p:“Hx∈{x|1≤x≤2}， x2-a≥0”，命题q:“3x∈R,x2+2ax十4= 0”.若命题p和命题q都是真命题，求实数 a的取值范围. 16 (浙江专用) 16.(15分)设集合A={xa-1<x<2a,a∈ R},不等式x2-2x-8<0的解集为B. (1)当a=0时，求集合A,B. (2)当AUB=B时，求实数a的取值范围. 17.(15分)已知非空集合P={xa+1≤x≤ 2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(CRP)∩Q: (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 求实数a的取值范围. 18.(17分)已知两个关于x的一元二次方程 mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5= 0,求使得两个方程的根都是整数的充要条件 第一章集合与常用逻辑用语么出型 19.(17分)(2026·湖北省武昌实验中学检测)给 定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈ A,且a一b∈A,则称集合A为闭集合， (1)判断集合A={-4,-2,0,2,4},B={xx= 3k,k∈Z是否为闭集合，并给出证明. (2)若集合A,B为闭集合，则AUB是否一 定为闭集合？请判断并说明理由。 (3)若集合A,B为闭集合，且AR,BR, 求证：(AUB)R, 17它的否定为真命题；对于D,原命题为真命题，故它的 否定为假命题， 6.Hx∈R,x2-x+1=0;3x∈R,x2-x+1≠0. B高考提能练 1.B提示：对于命题p,当x=1时，x2=x,所以饣为假 命题，则一力为真命题：对于命题q,当x=一7时， 十1=名>0，所以9为真命题综上可知，7p和g 均为真命题 2.B提示：对于①，因为命题中含有量词“所有的”，故命 题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，所以① 错误；对于②，因为命题中含有量词“任意”，故命题 “Vx∈R,x2+2<0”是全称量词命题，所以②正确；对 于③，命题“3x∈R,x2十4x十4≤0”的否定是“Hx∈ R,x2+4x+4>0”,所以③错误.正确命题的个数是1. 3.B提示：因为一p为假命题，所以p为真命题，则不等 式x2+2x-a>0在R上恒成立，即a<x2+2x在R 上恒成立.令y=x2十2x,则y=x2十2x=(x十1)2- 1≥-1，所以a<-1. 4.{aa>1.提示：命题“3x∈R,x2十2x十a=0”为 假命题，则有Hx∈R,x2+2x十a≠0，得△=4一4a< 0,解得a>l,所以实数a的取值范围是{aa>l}. 5.a≥1.提示：由题意可知，p的否定为“3x∈R,|2x +1≤a-2lx|”,,p的否定为真命题，∴|2x十1 +21z<a有实数解，即x+2+1x≤号有实数 解根据绝对值的几何意义可得z+引+z≥2， 6./n∈N*,13+23+…十n3=(1+2+…+n)2 提示：观察题中式子可知，一个含有量词的命题是Hn∈ N,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2. 7.(1)该命题是全称量词命题 当a=0,b≠0时方程无解，故该命题为假命题. (2)该命题是存在量词命题 .x2-2x十3=(x-1)2+2≥2， 1 13 六x2-2z+3≤2<4 故该命题是假命题. 8.(1)若命题p为真命题，则对于任意x∈{x|1≤x≤2}， 不等式x2一a≥0，即a≤x2恒成立，而当x∈{x|1≤ x≤2}时，(x2)mm=1,所以a≤1. 12 因为命题p的否定为真命题， 所以实数a的取值范围是a>1. (2)若命题q:3x∈R,x2十2ax十2a十a2=0为真命 题，则4a2-4(2a十a2)=-8a≥0，解得a≤0. 因为命题力和命题g的否定均为真命题，所以 a1, 解得0<a≤1， a>0, 所以实数a的取值范围是0<a≤l. C拓展拔高练 1.(1)由题意得，一p:月x∈{x4x≤9}，x≥a十4，为 真命题，则9≥a十4，即a≤5，故7p为真命题时，a的 取值范围为{aa≤5}. (2)当p为真命题时，a十4>9，即a>5,所以p为假命 题时，a≤5； 当q为真命题时，a十4>0，即a>-4,所以g为假命 题时，a≤一4； 若p,q同时为假命题，则a≤一4， 所以若p,g至少有一个为真命题时，a>一4. 故实数a的取值范围是{a|a>一4}. 单元学能测评 1.B2.C 3.B提示：由a=3,可得A二B,充分性成立；由A二B, 可得a=2或a=3,必要性不成立.故为充分不必要条件. 4.C提示：根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合 N,集合P交集内部的公共部分，即(CM)∩(N∩P). 5.C提示：因为x1,x2是方程x2+mx十n=0的两个 实根，则△≥0，则x2十mx十n=(x-x1)(x-x2)= x2-(x1十x2)x十x1x2=0,则n=x1x2,所以x1x2 2n=2.所以x1x2=2是n=2的充要条件. 6.A提示：因为命题“3m∈R,A∩B≠”为假命题， 所以命题“Vm∈R,A∩B=⑦”为真命题.因为集合 A={x|0≤x≤a},集合B={xm2+3≤x≤m2+4}, 所以当A=☑，即a<0时，A∩B=☑，符合题意；当 A≠必，即a≥0时，由题意得a<m2十3恒成立，所以 0a<3.综上，实数a的取值范围为a<3. 7.A提示：由题意知y<-m十4在x∈{x|1≤x≤3 上恒成立等价于mx2一mx十m一5<0在x∈{x|1 x≤3}上恒成立. 由mx2一mx十m-5<0分离参数得m(x2-x十1)<5， 5 mC-+在x∈{x1区x≤3}上恒成立. 又x2-x+1=(-2)}°+，1x≤3， ∴.(x2-x+1)x=32-3+1=7, 8.A提示：当△ABC是等边三角形时，a=b=c, =mx号，名，}m号名}=1x1=1 ∴.“1=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件. ac,mx{g,名台}=后1=1 mm合，名，合}=名，即号=吕或是=名得6= b c c或b=a,由此可知△ABC为等腰三角形，而不能推 出△ABC为等边三角形， .“1=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件. 9.ACD提示：集合A中的元素是数，集合B中的元素 是点的坐标，显然A≠B. 10.BC提示：由x2十x-6=0,可得x=2或x=一3.对 于ax十1=0，当a=0时，方程无解；当a≠0时，x= 一是，由题意知力Pq,9→p,则可得a≠0，此时应有 -2或日-3，解得a=-名或a=子综上 a 可得a=一号或a=号 1 11.BD提示：当x=√2，y=√2时，之=(W2+√2)×(2- √2)=0，故A错误；x可取√2，W3,y可取1，W2,则之 可取(W2+1)×(W2-1)=1,(W2+√2)×(W2-√2)= 0,(3+1)×(W3-1)=2,(W3+√2)×(W3-√2)=1 四个式子，选项B正确；A☒B={0,1,2},共3个元 素，选项C错误；A☒B的真子集有23一1=7（个），选 项D正确. 12.-1.提示：，A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a 1,a2+1},A∩B={-3},∴a-3=-3或2a-1= -3或a2+1=-3,解得a=0或a=-1. 将a=0代入，得A={0,1,-3},B={-3,-1,1},此 时A∩B={1,-3},不符合题意； 将a=-1代入，得A={1,0,-3},B={-4,一3,2}， 此时A∩B={-3},符合题意.故a=一1. 13.3.提示：具有伙伴关系的元素组是-1,2,2，所以 具有伙伴关系的集合有3个：{-1，（合，2， {1,22. 14.①③④.提示：对于①，因为2021=4×505+1，则 2021∈[1]，故①正确. 对于②，因为-1=4X(-1)+3,则-1∈[3)，故②不正确 对于③，因为任意整数除以4，余数可以且只可以是 0,1,2,3四类，则Z=[0]U[1]U[2U[3],故③正确. 对于④，若整数a,b属于同一“类”， 则整数a,b被4除的余数相同，可设a=4n1十k,b= 4n2十k,n1,n2∈Z,k∈{0,1,2,3}， 则a-b=4(n1-n2),故a-b∈[0]. 若a-b∈[0]，不妨令a=4m1十k1,b=4m2十k2 (m1,m2∈Z,k1,k2∈{0,1,2,3})，则a-b=4(m1 m2)+(k1一k2), 显然m1一m2∈Z,k1-k2∈(0,1,2,3)，于是得k1- k2=0, k1=k2,即整数a,b属于同一“类”.故④正确。 15.若Vx∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，则a≤x2, 所以a≤1. 若3x∈R,x2+2a.x+4=0,则△=(2a)2-16≥0， 解得a≤-2或a≥2. 因为命题p和命题q都是真命题， a>1, .a>1, 所以 或 所以a≥2. a≤-2la≥2， 16.(1)当a=0时，A={x|-1<x<0), x2-2x-8<0→B={x|-2<x<4}. (2)当AUB=B时，A二B,则有： 当A=0,即2a≤a-1,即a≤-1时，符合题意； 当A≠0，即2a>a-1,即a>-1时， 有-1≥-2， 解得-1<a≤2. 2a≤4， 综上所述，a≤2. 17.因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1,即a≥0. (1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}，CRP={x|x<4或 x>7},Q={x|-2≤x≤5}， 所以(CRP)∩Q={x-2≤x<4. (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P军 a+1≥-2， Q,即K2a+15, a≥0， 且a十1≥-2和2a十1≤5的等号不能同时取得，解 得0≤a≤2， 即实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 18..mx2-4x十4=0是一元二次方程，.m≠0. 又另一方程为x2一4mx十4m2一4m一5=0，且两方 程都要有实数根， 13 :A1=(-02-16m≥0， 42=16m2-4(4m2-4m-5)≥0， 解得-≤m<L ·两方程的根都是整数，.其根的和与积也为整数， (4e, 即 4m∈Z, 4m2-4m-5∈Z, ∴.m为4的约数. 又-号<m≤1，m=-1成1或-号或号 当m=一1时，第一个方程可化为x2十4x一4=0，其 根不是整数； 当m=1时，两方程的根均为整数； 同理，经检验，当m=士弓时，均并不满足方程的根为 整数. .两方程的根均为整数的充要条件是m=1, 19.(1)因为4∈A,但是4+4=8￠A,所以A不为闭集合. 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z, 则a十b=3m+3n=3(m+n),且m十n∈Z, 所以a+b∈B. 同理，a一b∈B,故B为闭集合. (2)结论：不一定 令A={xx=2k,k∈Z),B={xx=3k,k∈Z, 则由(1)可知，A,B为闭集合，但2,3∈AUB,2+3= 5在AUB, 因此AUB不为闭集合， (3)证明：（反证法）若AUB=R, 则因为AR,存在a∈R且a庄A,故a∈B. 同理，因为BR,存在b∈R且bB,故b∈A, 因为a十b∈R=AUB,所以a+b∈A或a十b∈B. 若a十b∈A,则A为闭集合，a=(a十b)-b∈A,与 a庄A矛盾； 若a十b∈B,则B为闭集合，b=(a+b)-a∈B,与 b氏B矛盾 综上，存在c∈R,使得cAUB. 所以AUBR 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 变式训练答案 [变式】C提示：由分<0可得<a<0,显然 选项A不正确； 14 因为b<a<0,所以ab>0,a+b<0,所以ab>a+b, 故选项B正确； 因为b<a<0,所以|b>|a|,故选项C正确； 因为b<a<0,所以b<0,a-b>0,可得ab-b2=b(a b)<0,即ab<b2,故选项D不正确 [变式2]方法一（作差法）x>0,.1十x>1, 1+受1x-2121中起 2 =1十x-2√1+x+1 =12-0>0, 2 1中<1+受 方法二（平方法）“x>0,·+z>1,1+>1, a-(+)-若<0， 1叶z<1+受 方法三（几何法）如图，在Rt△ABC中，AD,AE分 别是斜边BC上的高和中线. 1+x B ED 设CD=1,BD=1+x(x>0), 则AD=V1于，AE-1+=1+受， 2 由AD<AE可知，I中z<1+受 真题演练答案 1.2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0，a十b>0,2a十b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a十b)≥0，即2a3-b3≥2ab2- a2b. 2.1,一1（答案不唯一，满足a>0,b<0即可）. 3.D 4.(1)6.(2)12.提示：设男学生、女学生、教师人数分 别为x,y,z,则x>y>z (1)若教师人数为4，则4<y<x<8,当x=7时，y取 得最大值6. (2)当z=1时，1=z<y<x<2,不满足条件；当z=2