精品解析：陕西省西安市周至县2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

高二数学教学质量检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（ ）． A. 360 B. C. 24 D. 3. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（ ）． A. B. 1 C. D. 5 4. 已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ） A. B. C. D. 7. 被8除所得的余数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某学校派出5名优秀教师去边远地区三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（　　） A. 80种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）． A. 若z为纯虚数﹐则或 B. 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 的最大值为3 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 随机变量，则______________． 13. 已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则__________．__________． 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，，且12是，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． （1）从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． （2）若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． （1）求CQ的长； （2）求二面角的余弦值． 18. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． （1）当切线与直线平行时，求实数的值； （2）当时，求最大值． 19. 已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学教学质量检测 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集进行求解即可. 【详解】集合，， 则， 故选：D. 2. 从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（ ）． A. 360 B. C. 24 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列， 共有种. 故选：A. 3. 已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为2，则（ ）． A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据残差计算公式计算即可. 详解】由题意得，得, 故选：C. 4. 已知椭圆，则“”是“椭圆C的离心率为”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由椭圆的方程，可得： 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得； 当时，可得，此时椭圆的离心率为， 由，可得，解得，所以 所以是椭圆C的离心率为的充分不必要条件． 故选：A. 5. 已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 6. 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由题意得，事件包含的样本点数， 事件和包含的样本点数， 所以. 故选：D 7. 被8除所得的余数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用,借助二项式定理的性质和展开式即可求解. 【详解】由． 易知：能被8整除， 所以被8除所得的余数为1． 故选: B. 8. 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有（　　） A. 80种 B. 90种 C. 120种 D. 150种 【答案】D 【解析】 【分析】对5个人先进行两种情况的分组，再进行全排列，即可得答案. 【详解】先对5个人先进行两种情况的分组，一是分为1，1，3，有种，二是分为1，2，2，共有种， 再分配，可得不同的分配方法有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）． A. 若z为纯虚数﹐则或 B. 若z在复平面内对应点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据纯虚数特征求参判断A选项；根据复数的象限判断实部虚部范围解不等式判断B选项，应用模长公式计算判断C选项，应用共轭复数判断D选项. 【详解】若z为纯虚数，则，所以，故A不正确； 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，所以，故B正确； 若，则，所以，故C不正确； 若，则，所以，故D正确． 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ）． A. 的最小正周期为 B. 的最大值为3 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用两角和差公式得到，即可根据三角函数图象性质逐项判断. 【详解】， 则的最小正周期为，故A正确； 的最大值为，故B错误； 的图象关于点对称，故C正确； 的图象关于直线对称．故D正确， 故选：ACD. 11. 已知，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先由第5项与第6项的二项式系数相等得出n，再应用赋值法判断A,B,C选项，先求导函数再应用赋值法求值. 【详解】因为第5项与第6项的二项式系数相等，所以，则． 令，得，故A不正确． 令，得，所以，故B正确． 令，得，所以， 所以，故C正确． 因为， 所以两边同时求导得， 令，得，所以，故D不正确． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，则______________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项分布的性质求出，从而可求出，进而可求出 【详解】因为，所以 所以， 所以． 故答案为：3 13. 已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则__________．__________． 【答案】 ①. 12 ②. 18 【解析】 【分析】利用是的中位线得，是的中位线得，再由抛物线得定义得，共同推得，求得即得. 【详解】根据题意可得图形， 由已知得ON是的中位线，可知． 过M，N向准线做垂线，垂足分别为，， 同理是的中位线，． 由抛物线的定义知，，因此，N点的横坐标是， 所以，得． 因为，所以． 故答案为：12；18. 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得（），构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 令，则． 令，则， 所以在上单调递增． 因，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等差数列中，，，且12是，的等比中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等比中项得出等式再结合等差数列基本量运算即可； （2）应用裂项相消法求出即可. 【小问1详解】 由，得． 因为12是，的等比中项，所以， 则， 则． 设的公差为d，则， 故． 【小问2详解】 由（1）可知， 则． 16. 某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，． （1）从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率． （2）若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格； ②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望． 参考数据：，，． 【答案】（1） （2）①4.55万件；②分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用概率公式即可求解. （2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解. 【小问1详解】 采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件． 记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则． 【小问2详解】 ①因为， 所以，且； 所以或或， 所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格． ②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3， ，， ，， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 故． 17. 如图，在三棱锥中，底面ABC，且，，．点Q为棱BP上一点，且． （1）求CQ的长； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面几何知识可证得，再由线面垂直的性质定理和判定判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，运用面面角的向量求解方法可求得答案. 【小问1详解】 因为，，所以，则． 因为底面ABC，且底面ABC，所以． 又，，平面ABP，所以平面ABP． 因为平面ABP，所以． 又，，平面PBC，所以平面PBC． 由平面PBC，得． 又底面ABC，底面ABC，所以，所以， 由等面积法得，故． 【小问2详解】 以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 所以则，，，，， 由（1）得，，所以 则，． 设平面ACQ的法向量为，则，即， 令，得． 由底面ABC，得为平面ABC的一个法向量， 则， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18. 设曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为． （1）当切线与直线平行时，求实数的值； （2）当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，由此即可解出； （2）先求出的表达式，然后利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为，所以． 因为切线与直线平行，所以， 得． 【小问2详解】 因为，所以， 所以切线方程为． 令，得；令，得． 因为，所以． 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故． 19. 已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线的方程； （2）若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离公式及实轴与虚轴定义计算即可得； （2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明. 【小问1详解】 设双曲线焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为， 又双曲线实轴比虚轴长2，故，即， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点， 则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为， 将代入，得，将代入，得， 则，； 当直线的斜率存在，设直线，且， 联立，消去并整理得， 因为动直线与双曲线恰有1个公共点， 所以，得， 设动直线与的交点为，与的交点为， 联立，得，同理得， 则， 因为原点到直线距离， 所以， 又因为，所以，即， 故的面积为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$