5.3实际问题与一元一次方程（方案选择问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程方案选择问题，通过基础巩固、情境应用到综合优化的三层设计，培养抽象能力与模型观念，实现从知识理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一情境列方程（分配/盈亏问题）|单选1-6、填空7/9/12，通过图书分配、会员费用等简单情境，强化方程建模基础| |中档|多情境分类讨论（分段计费/方案比较）|填空8/10/11，涉及购书折扣、餐桌组合等，培养分类思维与数据意识| |综合|复杂方案优化与决策|解答13-17，如手机付费、运输调配、树苗采购等，需建立函数关系并优化，发展推理能力与应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（方案选择问题） 一、单选题 1．把一些图书分给七（2）班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？设这个班有x名学生，根据题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．某商场举行促销活动，有两种优惠办法：第一种，顾客所购买商品一律按9折算；第二种，采取“满一百元送十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客消费每满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送10元购物券，满200元就送20元购物券，依此类推……现有两位顾客甲和乙，甲顾客选择第一种优惠办法，共付费10000元；乙顾客选择第二种优惠办法，第一次就付了10000元购物，并用所得购物券继续购物．按所享受的折扣算，谁享受的折扣更优惠？（精确到十分位）（    ）． A．甲、乙折扣一样 B．甲 C．乙 D．无法比较 3．某同学花了100元购买游泳馆会员证（只限本人使用），凭证入馆每次收费5元，否则每次收费9元．若购买会员证与不购买会员证花费相同，则该同学去游泳馆的次数为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的每3家共取一头，恰好取完．问城中有多少户人家？（  ） A．55户 B．65户 C．75户 D．85户 5．（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 6．学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，设有x辆汽车，可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．某校初中一年级组织学生春游活动，如果包车辆会有个学生没有座位，如果包车辆则会多出个空位，则该年级学生人数为______人． 8．某新华书店暑假期间推出售书优惠方案： ①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果小聪同学一次性购书共付款324元，那么小聪所购书的原价是___________． 9．学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有28人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空12个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有________辆汽车，共有________人春游． 10．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了______张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择______图文社更省钱（填A或B）． 11．小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐．据了解餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐桌刚好坐满，则订餐方案共有______种． 12．某学校需要购买一批电脑，有两种方案．方案1：到商家直接购买，每台需要7000元；方案2：学校买零部件组装，每台需要6000元，另外需要支付安装费等其他费用合计3000元，学校添置____台电脑时，两种方案的费用相同． 三、解答题 13．公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟再付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算． (1)如果一个月的通话时间为100分钟，按甲种方式应付话费多少元？按乙种方式应付话费多少元？ (2)若某月两种方式付费相同，求该月通话时长： (3)如果某人一个月的通话时间在300到400分钟之间，此人如何选择更合算的付费方式？请自接给出合理化的建议． 14．A、B两地果园分别有苹果20吨和30吨，C、D两地分别需要苹果15吨和35吨．已知从A、B到C、D的运价如下表： 到C地 到D地 A果园 每吨15元 每吨12元 B果园 每吨10元 每吨9元 (1)若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为_________吨，从A果园将苹果运往D地的运输费用为_________元； (2)用含x的式子表示出总运输费；(要求：列式后，再化简) (3)如果总运输费为545元时，那么从A果园运到C地的苹果为多少吨？ 15．习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 16．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． (1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 17．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：甲印刷社收费y(元)与印制数x(张)的函数关系如下表： 印制x(张) … 100 200 300 … 收费y(元) … 15 30 45 … 乙印刷社的收费方式为：500张以内(含500张)，按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费． (1)根据表中规律，写出甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系式； (2)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (3)活动结束后，市民反应良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A C C D A 1．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据两种分法书的本数不变可列方程为：，进而可得答案． 【详解】解：设这个班有x名学生，根据题意得： ； 故选B． 2．A 【分析】本题考查一元一次方程与实际问题，计算第二种优惠享受的折扣是解题的关键．按照题中给出的优惠办法，计算出第二种折扣，与第一种进行比较即可． 【详解】解：甲顾客选择第一种优惠办法，享受9折优惠； 乙顾客选择第二种优惠办法，第一次付了10000元，赠送的购物券金额为， 1000元赠送的购物券金额为，100元赠送的购物券金额为，因而用10000元购买的商品的价值是（元）， ， ， 甲、乙折扣一样． 故选：． 3．C 【分析】可设游泳x次，得到购买会员证需付元，不购买会员证需付元，再根据购会员证与不购证付一样的钱的等量关系列出方程求解即可； 【详解】解：设游泳x次，则购买会员证需付元，不购买会员证需付元， 由题意可得：. 解得． 答：当游泳25次时，购买会员证与不购买会员证花费相同． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程解答． 4．C 【分析】设城中有户人家，由题意列一元一次方程，解一元一次方程即可解题． 【详解】解：设城中有户人家，根据题意得， 解得 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．D 【分析】设一共有x人，然后根据两种购买方式中物品的价格相同建立方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得， 解得， ∴元， ∴一共有7人，物品的价格为53元， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程求解是解题的关键． 6．A 【分析】等量关系为：汽车辆数汽车辆数．依此列出方程即可求解． 【详解】解：设有x辆汽车，根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．一般地题目中有2个未知量时，应设数目较小的量为未知数，另一个量作为等量关系的依据． 7．250 【分析】设辆包车有个座位，根据如果包车辆会有个学生没有座位，如果包车辆则会多出个空位，可列出方程，进而求出即可． 【详解】解：设辆包车有个座位，依题意有 ， 解得， ． 故该年级学生人数为人． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，考查学生理解题意的能力，设出辆包车有座位数，以人数做为等量关系列方程求解是解决问题的关键． 8．360元或405元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设所购书的原价为x元，由于付款金额为324元超过200元，因此原价一定大于200元，需根据优惠方案②和③两种情况，分别列方程求解并验证是否符合条件即可解答． 【详解】解：设所购书的原价为x元． 当时，享受九折优惠，即，解得：； 经检验，360在200和400之间，符合条件． 当时，享受八折优惠，即，解得：， 经检验，405大于400，符合条件． 因此，所购书的原价为360元或405元． 故答案为：360元或405元． 9． 8 388 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的相等关系； 设有辆汽车，根据人数不变，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有辆汽车，根据“若每辆汽车坐人，则有人没有座位”，可知学生总数为人， 根据“若每辆汽车坐人，则只有一辆车空个座位无人坐，其余车辆全部坐满”，可知学生总数为人， 因学生总数不变，可列方程：， 解得：， 学生总数为人， 故答案为：． 10． 800 B 【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可； （2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案． 【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单， 由题意知，， 解得，， 故答案为：800． （2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元； 在B图文社印制需要元； ∵， ∴B图文社更省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解． 11．3 【详解】试题分析：设10人桌x张，8人桌y张，根据题意得：10x+8y=80 ∵x、y均为整数， ∴x=0，y=10或x=4，y=5或x=8，y=0共3种方案． 故答案是3． 考点：二元一次方程的应用． 12．3 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． 设学校添置x台电脑，根据“两种方案的费用相同”列出方程并解答． 【详解】解：设学校添置x台电脑， 由题意，得， 解得：， 答：当学校添置3台电脑时，两种方案的费用相同； 故答案为：3． 13．(1)甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元 (2)一个月通话360分钟时两种方式的费用相同 (3)通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算；当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算；当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算 【分析】（1）甲：0.15元/分钟×时间；乙：18+0.10元/分×时间； （2）设一个月通话x分钟时两种方式的费用相同，根据题意可得方程18+0.10x＝0.15x，解方程即可； （3）根据（2）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：甲：（元 乙：（元 答：甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元． （2）解：设一个月通话分钟时两种方式的费用相同， 由题意得： 解得 答：该月通话时长360分钟两种方式付费相同； （3）解：由（2）可知，当通话时间不少于300分钟但不超过360分钟时，选甲种付费方式合算， 当通话时间为360分钟时，选择两种付费方式一样合算； 当通话时间超过360分钟但不超过400分钟时，选择乙种付费方式合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出正确的数量关系，列出方程是解题的关键． 14． (20－x) 12(20－x) 【详解】试题分析：（1）A果园运到D地的苹果=A果园共有苹果吨数20-A果园运到C地的苹果为x吨；从A果园将苹果运往C地的运输费用为15×相应的吨数； （2）总运输费=A果园运到C地的总运费+A果园运到D地的总运费+B果园运到C地的总运费+B果园运到D地的总运费； （3）根据总运输费为545元，列出方程求解即可． 试题解析：(1)若从A果园运到C地的苹果为x吨，则从A果园运到D地的苹果为(20－x)吨，从A果园将苹果运往D地的运输费用为12(20－x)元； (2)15x＋12(20－x)＋10(15－x)＋9(35－20＋x)＝2x＋525. (3)由题意得2x＋525＝545，解得x＝10. 答：从A果园运到C地的苹果为10吨． 15．(1)种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元 (2)有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【分析】（1）设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据“花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，”列出方程，即可求解； （2）设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意，列出不等式组，可得，从而得到有6种购买方案，然后设总费用为w元，根据题意列出函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是1.25x元，根据题意得： ， 解得：， ∴1.25x=5， 答：种树苗的单价是4元，则B种树苗的单价是5元； （2）解：设购买种树苗a棵，则购买B种树苗（100-a）棵，其中a为正整数，根据题意得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a取20，21，22，23，24，25， ∴有6种购买方案， 设总费用为w元， ∴， ∵-1＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=25时，w最小，最小值为475， 此时100-a=75， 答：有6种购买方案，购买种树苗，25棵，购买B种树苗75棵费用最低，最低费用是475元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 16．(1)1班购票需要704元 (2)2班有46人 (3)当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以0.8即可； （2）设2班有人，列方程，求解即可得到答案； （3）设有人，由题意得，得，当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 【详解】（1）解：（元， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； （3）解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 17．(1)y＝0.15x (2)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (3)兴趣小组应选择甲印刷社比较划算 【分析】（1）观察表格可得，每印制100张，需要15元，据此求解即可； （2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷（400−a）张，由总费用为65元建立方程求出其解即可； （3）分别计算在两家印刷社印刷的费用，比较大小就可以得出结论． 【详解】（1）观察表格可得，每印制100张，需要15元， 即每张需要15÷100=0.15（元）， ∴y＝0.15x， ∴甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系式为y＝0.15x； （2）设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷(400－a)张， 由题意得0.15a＋0.2(400－a)＝65， 解得a＝300， 在乙印刷社印刷400－300＝100张． 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （3）由题意得，在甲印刷社的费用为：y＝0.15×800＝120元． 在乙印刷社的费用为：500×0.2＋0.1(800－500)＝130元． ∵120＜130， ∴印刷社甲的收费＜印刷社乙的收费． ∴兴趣小组应选择甲印刷社比较划算． 【点睛】本题考查了单价×数量＝总价的运用，根据表格求一次函数的解析式，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $