5.5 一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，通过工程、数字、比赛积分三大模块构建"问题情境-模型建立-方程求解"的完整解题体系，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |工程问题|6题|工作量=效率×时间；合作问题等量关系构建|从基础工效计算到含效率变化的综合应用，逐步提升复杂度| |数字问题|6题|数阵规律探索；代数式表示及方程验证|从简单数表到复杂幻圆、数列，培养抽象思维与推理意识| |比赛积分问题|6题|积分规则转化；胜负场数与积分关系建模|覆盖足球、篮球等多场景，强化数据整理与模型应用能力|

5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、工程问题 1．红星纺织厂为了应对疫情需求，安排甲、乙两个车间生产防疫口罩．第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口罩数量一样多：第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍多生产口罩1000个． (1)甲、乙两车间每天生产口罩各多少个? (2)第三周，纺织厂又接到生产40000个口罩的订单，且要求必须4天完成任务，同时甲车间要抽调一半的工人去生产防护服，因此，甲车间生产口罩的效率只有原来的一半，厂部要求乙车间必须提高口罩生产效率，保证按时完成任务，乙车间生产效率提高的百分比是多少? 2．学校计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服80件，且乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多 (1)求乙工厂每天加工这种校服多少件？ (2)若甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天，求这批校服共有多少件？ (3)在（2）的条件下，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂提高加工速度后继续完成剩余部分，乙工厂的全部工作时间是甲工厂全部工作时间的3倍还少8天，若在加工过程中，甲工厂每天所需费用400元，乙工厂每天所需费用500元，学校共需支付甲乙两工厂18800元，求乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服多少件？ 3．一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？ 4．某学校的供暖工程需铺设热力管道6300米，甲工程队负责铺设．甲工程队施工一个星期后发现，每天平均只能铺设200米，按此速度将无法按期完成任务．为能及时供上暖确保师生温暖过冬，甲工程队决定邀请乙工程队来共同铺设剩余的管道，如果乙工程队平均每天能铺设150米，那么乙工程队参与后，还需铺设多少天才能完成这项工程？ 5．第九届亚洲冬季运动会于2025年在中国黑龙江省哈尔滨市举行，为了迎接亚洲冬季运动会，现要修一条公路，甲工程队单独修需30天完成，乙工程队单独完成需要的天数是甲工程单独完成天数的少1天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条公路，求甲乙还需合作几天修完这条路？ 6．某车间全体工人要完成甲、乙两项任务，甲任务的工作量是乙任务工作量的倍．已知每个工人都投入了工作，上午做甲任务的人数是做乙任务人数的5倍，下午做甲、乙两项任务的人数相同．―天下来，甲任务已完成，乙任务还需6名工人再做一天才能完成，若上午和下午的工作时间相同，且每个工人的工作效率相同，求该车间工人的总人数． 二、数字问题 7．已知一个由正奇数排成的数阵.用如图所示的四边形框去框住四个数． (1)若设框住四个数中左上角的数为，则这四个数的和为_____________（用含的代数式表示）； (2)平行移动四边形框，若框住四个数的和为140，求出这4个数． (3)平行移动四边形框，框住四个数的和能否为为220？答：_________（填“能”或“不能”） 8．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏（如图所示），现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，老师已经完成了部分填空，请同学们完成下列问题：    (1)求图中的值； (2)求图中的值． 9．1952个正整数1，2，3，4，，1952，按如图方式排列成一个表． (1)如图，用一长方形方框任意框住4个数，记左上角的一个数为，当被框住的4个数之和等于358时，的值为多少？ (2)如（1）中方式，能否框住这样的4个数，它们的和等于2438？若能，则求出的值；若不能，则说明理由． (3)从左到右，第1列到第6列各列的正整数之和分别记为，，，，，，则这6个数中，最大数与最小数之差等于______（直接填出结果，不写计算过程） 10．观察下列按一定规律排列的三行数： 第一行：，4，，16，…： 第二行：0，6，，18，…； 第三行：，2，，8，…． 解答下列问题： (1)每一行的第6个数依次是：_______，________，______． (2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_______． (3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为？若存在，求出这三个数；若不存在，请说明理由． 11．如表，格子中填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等. 3 2 A (1)_____（用含，的代数式表示）； (2)写出，的关系，并说明理由； (3)若右下角四个数之和大于21，求的取值范围. 12．将自然数排列如下表，在这个表里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意），如果框起来的六个数的和为429，这六个数中最小的数是几？（用方程解答） 三、比赛积分问题 13．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 14．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ①根据信息填表（用含有x的式子表示）； 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 15．某校初一年级学生参加有理数计算闯关，闯关共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 小于 25 0 100 小王 21 4 76 小李 15 10 40 … … … … (1)根据表格提供的数据，答对1题得 分，答错1题扣 分： (2)参赛者小赵得了64分，求他答对了几道题． 16．学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 17．某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 18．在某市排球“新年杯”比赛中，参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜制，积分规则如下，比赛中以或者取胜的球队积分3分，负队积0分；而在比赛中以取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如下表所示： 球队 场次 胜场 负场 总积分 教体 11 11 0 科技 11 10 1 28 工商 11 8 3 公安 11 24 (1)教体队11场胜场中仅有一场以取胜，则教体队的总积分为_________． (2)公安队积3分取胜的场次是积2分取胜的场次的3倍，且负场总积分为2分．总积分见上表，求公安队负场的场数． (3)科技队积3分的胜场数为奇数，则科技队积3分的胜场数为_______场；工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场，且工商队负场总积分为3分，则工商队总积分为_______分 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个 (2) 【分析】（1）设甲车间每天生产口罩个，可得，即可解得甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个； （2）设乙车间生产效率提高的百分比是，可得，可解得乙车间生产效率提高的百分比是． 【详解】（1）解：设甲车间每天生产口罩个， 第一周甲、乙两个车间各生产5天后，乙车间周六加班多生产1天，结果两个车间生产的口罩数量一样多； 乙车间每天生产口罩（个）， 第二周甲、乙两个车间各生产4天后乙车间又多生产口罩3000个，结果甲车间比乙车间仍多生产口罩1000个， ， 解得， ， 甲车间每天生产口罩6000个，乙车间每天生产口罩5000个； （2）设乙车间生产效率提高的百分比是， 根据题意得：， 解得， 答：乙车间生产效率提高的百分比是． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 2．(1)120件 (2)4800件 (3)150件 【分析】（1）根据“乙工厂每天加工这种校服的件数比甲工厂每天加工这种校服的件数多”列出算式求解即可； （2）设这批校服共有x件，根据“甲单独加工这批校服比乙工厂单独加工这批校服多用20天”列出方程求解即可； （3）设甲工厂加工了a天，则乙工厂加工了天，根据“学校共需支付甲乙两工厂18800元”列出方程，求出a的值，进而得出乙独自加工天数，设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服b件，根据“这批校服共有4800件”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： （件）， 答：乙工厂每天加工这种校服120件； （2）解：设这批校服共有x件， ， 解得：， 答：这批校服共有4800件； （3）解：设甲工厂加工了a天，则乙工厂加工了天， ， 解得：， ∴乙独自加工天数：（天）， 设乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服b件， ， 解得：， 答：乙工厂提高加工速度后每天加工这种校服150件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 3．乙队还需5天才能完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙队还需x天才能完成，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙队还需x天才能完成， 根据题意得： 解得：． 答：乙队还需5天才能完成． 4．乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． 【详解】解：设乙工程队参与铺设x天才能完成这项工程，则 ， 解得：； 答：乙工程队参与铺设14天才能完成这项工程． 5．(1)20天 (2)10天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决这道题的关键是要知道工作效率=工作总量÷工作时间． （1）根据题意，列出式子，即可解答； （2）把整条路的工作总量看作单位1，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得乙工程队需要的天数为， 答：乙工程队单独完成需要20天； （2）解：设甲乙还需合作y天修完这条路， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙还需合作10天修完这条路． 6．54名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有人，每个工人一天的工作效率为2，表示出甲、乙的工作量，根据“甲任务的工作量是乙任务工作量的倍”列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设共有人，每个工人一天的工作效率为2， 则， 解得， 有， 答：该车间共有54名工人． 7．(1)； (2)27，29，41，43 (3)不能 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，再列出方程． （1）设框住四个数中左上角的数为n，则其他三个为，，，再求和即可； （2）由（1）可得方程，再解即可； （3）假设能，则，解出n的值，再分析即可． 【详解】（1）解：设框住四个数中左上角的数为n，则其他三个为，，， 四个数的和为：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， 所以这四个数分别是27，29，41，43； （3）不能框住这样的四个数，使四个数的和为220， 理由：假设能，则， 解得， 由图片可知，左上角的数47在第4行第6列， 所以不能框住这样的四个数，使四个数的和为220． 8．(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为，可得两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2，再根据题意列出方程求解即可； （2）先求出c的值，从而可得，再结合已知讨论a、d的值，进而求解． 【详解】（1）解：如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为．    因为横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2， 则，得； （2）解：由（1）知，所以，解得； ，解得． 所以当，时，； 当，时，． 故的值为或． 9．(1) (2) 不能框住这样的4个数，理由如下： 记左上角的一个数为， 则， 解得：， 由表可知，最后一列为的倍数， 是的倍数， 左上角的一个数在最右侧， 不能框住这样的4个数； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系列方程，找出最大数和最小数的位置是解题关键． （1）记左上角的一个数为，则另三个数分别为、、，根据“4个数之和等于358”列方程求解即可； （2）记左上角的一个数为，根据题意列方程求出的值，再根据表中最后一列为的倍数，即可得到答案； （3）由题意可知，最大，最小，根据前行第3列比第2列的正整数之和大，第行第2列数字为，第3列没有数字，即可得到答案． 【详解】（1）解：记左上角的一个数为，则另三个数分别为、、， 则， 解得：； （2）略 （3）解：， 在第行第列， 最大，最小， 每一行第3列的数都比第2列的数大1， 前行，第3列比第2列的正整数之和大， 第行，第2列数字为，第3列没有数字， 最大数与最小数之差等于， 故答案为：． 10．(1)64；66；32 (2)； (3)第一行存在某三个相邻数的和为，这三个数为，，． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，一元一次方程的应用， （1）观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍，第二行第n个数比第一行第n个数大2，第三行的后面一个数是前面一个数的倍，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得第一行第n个数为，第三行第n个数为，则第二行第n个数为； （3）假设存在某三个相邻数的和为，设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，则，解方程求出x的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，第一行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第一行第6个数为； 观察可知，第二行第n个数比第一行第n个数大2， ∴第二行第6个数为； 观察可知，第三行的后面一个数是前面一个数的倍， ∴第三行第6个数为； 故答案为：64；66；32； （2）解：由（1）可知第一行第n个数为，第三行第n个数为， ∴第二行第n个数为； 故答案为：；； （3）解：第一行存在某三个相邻数的和为， 理由如下： 假设存在某三个相邻数的和为， 设最前面的那个数为x，则剩下两个数为，， ∴， 解得， ∴， ∴这三个数为，，． 11．(1) (2)，理由： 各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等 各行上的三个数之和为：，     各列上的三个数之和为：，     由9个数的总和相等，得：，     . (3) 【分析】本题理解题意中“各行、各列上三个数之和相等”从而列出关于x、y的一元一次方程，使问题得解． （1）通过理解题意可知本题的等量关系“各行、各列上三个数之和都相等”，列出方程求解； （2）根据“各行、各列上三个数之和都相等”列出方程求解； （3）根据右下角四个数之和大于21，列出不等式求解． 【详解】（1）解： ∵各行上的三个数之和相等 ∴ 即： （2）略 （3）右下角四个数之和大于21，      ，      即. 12．67 【分析】本题考查数阵规律以及一元一次方程的应用． 解题关键在于找出数阵中数的排列规律，设出最小的数，用含未知数的式子表示出其余五个数，再根据六个数的和列出方程求解． 【详解】设最小的数为，则这六个数为， ， ， 解得． 答：这六个数中最小的数是67． 13．(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 14．(1)①，；②胜6场，平3场 (2) 解：设胜y场，则平场， 由题意得， 解得：， ∵场数不是整数，故不符合题意， ∴这支球队9场比赛的胜场总积不能等于它的平场总积分． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握理解题意，建立方程是解题的关键． （1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可；②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①由题意得平的场次为场，则积分为分，故填表为： 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②由题意得， 解得：， 所以胜6场，平3场； （2）略 15．(1)4，2 (2)小赵答对了题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解表格信息，正确列出方程求解是关键． （1）设答对1题得分，根据小于的分数得到答对1题得分，结合小王的分数可得答错1题扣分，由此即可求解； （2）设小赵答对了题，则答错了题，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：设答对1题得分， ∴根据小于的成绩得到，， 解得， ∴答对1题得分， ∴根据小王的分数得到，， ∴答错1题扣分， 故答案为：4，2； （2）解：设小赵答对了题，则答错了题， ∴， 解得，， ∴小赵答对了题． 16．(1)七（一）班前场胜的场数是8 (2)七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是准确列出方程或不等式求解． （1）设七（一）班前场胜的场数是x，先用表示出负的场数， 再列出方程求解； （2）设七（一）班还要胜y场，先用y表示出负的场数， 根据题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设七（一）班前场胜的场数是x，则负的场数是， 根据题意列方程得：， 解得， 答：七（一）班前场胜的场数是8； （2）设七（一）班还要胜y场，则负场， 根据题意列不等式：， 解不等式得， 根据题意，y取正整数， ∴y的最小正整数解为． 答：七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场． 17．(1) 由题意，填表如下： A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 平 负 0 总计 25 52 (2)胜15场，平7场，负3场 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可； （2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得 解这个方程，得 ，． 因此，A队胜15场，平7场，负3场． 18．(1)32 (2)3场 (3)7；25 【分析】本题主要考查有理数混合运算应用，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据题干中提供的信息，列式计算即可； （2）设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据积分为24分列出方程，解方程即可； （3）设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场，求出科技队胜的场次积分为：，根据m为奇数，总积分为28分，得出；求出工商队积3分的胜场数（场），工商队积2分的胜场数为（场），根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（分）， 即教体队的总积分为32分； （2）解：设公安队积2分取胜的场次为x场，则积3分取胜的场次是场，根据题意得： ， 解得：， 公安队负场的场数为：（场）． （3）解：设科技队积3分的胜场数为场，则积2分的胜场数为场， ∴科技队胜的场次积分为： ， ∵m为奇数，总积分为28分， ∴负的一场积分为1分， ∴胜的场次积分为：， ∴， 解得：； ∵工商队积3分的胜场数比科技队积3分的胜场数少1场， ∴工商队积3分的胜场数（场）， ∵工商队胜8场， ∴工商队积2分的胜场数为（场）， ∴工商队总积分为：（分）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $