四川部分名校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试题

高三数学学情检测参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B D A B C A C B ACD CD ABD 3 15．【解析】本题考查随机变量的期望，考查数学运算的核心素养． 解：（1）取球终止时，取到2次白球、1次黄球的概率为． 5分 （2）的可能取值为1，2，3． 6分 ， 7分 ， 9分 ， 11分 所以． 13分 16．【解析】本题考查线面平行、线线垂直、直线与平面所成角的正弦值，考查逻辑推理的核心素养与空间想象能力． （1）证明：如图，取的中点G，连接，． 1分 为的中点，，． 为的中点，，， ，， 2分 ∴四边形是平行四边形，． 3分 平面，平面，平面． 4分 （2）①证明：平面，平面， ． 5分 ，，平面，平面，平面． 6分 平面，． 7分 ，，平面，平面，平面． 8分 平面，． 9分 ②解：，E为的中点，． 10分 以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，， ，，． 11分 设平面的法向量为，则 12分 令，则，，是平面的一个法向量． 13分 故直线与平面所成角的正弦值为． 15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写“平面，平面”，扣1分． 【2】第（2）①问还可以这样解答： 以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）． 设，，则，，，， 5分 ，． 6分 ，， 7分 则． 8分 又E为的中点，． 9分 17．【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养． 解：（1）由题意得，． 2分 由，， 3分 得， 4分 所以， 5分 故直线的方程为． 6分 （2）由（1）得：，：． 7分 由得， 8分 则 9分 所以． 11分 因为，关于直线对称，直线关于直线对称，所以． 13分 故． 15分 【评分细则】 【1】第（1）问中，直线的方程还可以写成． 【2】第（2）问中，还可以这样求： ． 【3】第（2）问中，还可以这样求： 由，得，得， 所以． 18．【解析】本题考查导数的新定义与导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养及创新意识． （1）解：． 1分 因为， 2分 所以． 3分 （2）①解：． 4分 当时，，，则，所以在上没有零点． 5分 当时，，的导数，所以在上单调递增． 6分 因为，，所以，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 7分 又，，所以在上有2个零点． 8分 故在上的零点个数为2． 9分 ②证明：， ，的导数． 10分 易得在上单调递增，且，， 所以，，所以在上单调递减，在上单调递增． 11分 又，，，所以，，，， 12分 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 13分 由，得， 所以． 14分 令，，则． 易得是减函数，所以， 15分 所以在上单调递减，所以，得． 16分 又当时，，所以． 17分 【评分细则】 【1】第（2）①问还可以这样解答： ． 4分 令，得． 5分 函数，的大致图象如图所示， 6分 ，， 7分 因为是增函数，所以当时，， 所以的图象与的图象有2个公共点． 8分 故在上的零点个数为2． 9分 【2】第（2）②问中，“”写为“当时，”，不扣分． 19．【解析】本题考查新定义、数列及二项式定理的应用，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养． 解：（1）由题意得是首项为2，公比为2的等比数列， 1分 所以． 2分 设的公差为．由 3分 得 4分 所以． 5分 （2）①由，得，则集合中在区间内的元素个数为． 6分 由，得． 当或时，为正整数； 当时，， 7分 则，则为正整数． 综上，为正整数，则集合中在区间内的元素个数为． 8分 由，得，因为展开式的最后一项是，所以要使得为正整数，则，则为偶数，即为偶数， 9分 所以集合A，B中在区间内的公共元素为，，…，，共有个． 10分 故（或）． 11分 ②设，，则． 设在中的元素个数为，在中的元素个数为，在中的元素个数为，则． 12分 令，，． 在中的元素为（，，…，），当，且时，，此时区间内共有个正整数， 当，即时，，则． 13分 在中的元素为（，，，），当，且时，，此时区间内共有12个正整数， 当，即时，， 则． 14分 在中的元素为（，2，…，）， 当，且时，，此时区间内共有个正整数，当，即时，，则． 15分 因为，， 16分 所以． 17分 【评分细则】 第（2）②问还可以这样解答： 设，则． 设是中任意一个不超过的元素，记内所有不超过的的和为． 对于满足的每一个，都在中被计数一次，共计次， 12分 所以． 记，由容斥原理得， 13分 其中， 14分 ， 15分 ， 16分 所以， ， 将代入，得． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．重庆市2020—2025年新能源汽车全年产量（单位：万辆）依次为4.32，15.22，36.52，50.03，95.32，129.60，则这组数据的极差为 A．125.38万辆 B．125.28万辆 C．114.38万辆 D．114.28万辆 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知函数与的最小正周期相等，则的值域为 A． B． C． D． 4．若直线：将圆：分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比值为 A．4 B．3 C．2 D． 5．变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺．已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为 A．24 B．120 C．144 D．168 6．若，则 A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系内，函数（，且），的图象可能是 A． B． C． D． 8．已知正三棱台的侧面与底面的夹角为，，且正三棱台的6个顶点均在球的球面上，则球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，满足，，则 A． B． C． D． 10．已知椭圆：（）与双曲线：（）的焦距相同，左、右焦点分别为，，，的离心率分别为，，是与的一个交点，，则的值可能为 A．4 B． C．2 D． 11．已知函数的定义域为，当且仅当时，，且，，，则 A． B． C．在上单调递减 D．是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的虚部为 ▲ ． 13．若函数的导函数的部分图象如图所示，则 ▲ ． 14．已知的内角，，的对边分别为，，，，，且的两条角平分线是与，则当取得最小值时， ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球，黄球与白球的数量之比为．现从箱中每次随机取出1个球：若取出白球，则将其放回箱中，并继续从箱中随机取出1个球；若取出黄球，或取球的次数达到3次，则停止取球． （1）求取球终止时取到2次白球、1次黄球的概率； （2）设取球终止时取球的次数为，求． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）已知平面，． ①证明：． ②求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知抛物线：，：的焦点分别为，，且． （1）求直线的方程； （2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求． 18．（17分） 我们把函数的阶导数记为．已知的导数为，则． （1）若函数的图象在点处的斜率为，求． （2）已知，，为常数． ①若函数，求在上的零点个数； ②若函数，证明：． 19．（17分） 在数列中，，，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列，的通项公式． （2）设集合，，在数列中，定义为集合中在区间（）内的元素个数． ①求； ②求． 参考公式：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $