四川部分名校2026-2027学年高三上学期入学学情检测数学试题

高三数学学情检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.重庆市2020一2025年新能源汽车全年产量（单位：万辆）依次为4.32,15.22,36.52,50.03， 95.32,129.60,则这组数据的极差为 A.125.38万辆 B.125.28万辆 中 C.114.38万辆 D.114.28万辆 弥 2.已知集合A={x|x<5},B={y2≤y<6},则A∩B= A. B.(-∞，5) C.（2,5) D.[2,5) 3.已知函数f(x)=wsin(wx十p)与g(x)=tan2x的最小正周期相等，则f(x)的值域为 A.[-4,4] B.[-3,3] C.[-2,2 D.[-1,1] 4.若直线l:x十y+1=0将圆M:(x一1)2+y=4分成两段弧，则优弧长度与劣弧长度的比 故 值为 A.4 B.3 .2 D.3 5.变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺.已 封 知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变 脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为 A.24 B.120 (.144 D.168 6.若c0s(a+5）+cosa=1,则cos(2a+3） A号 3 n号 7.在同一平面直角坐标系内，函数f(x)=logx+b(a>0,且a≠1)，g(x)=bx+a-1的图象 可能是 线 ”的 8.已知正三棱台ABCA,B,C的侧面与底面的夹角为行，AB=2A,B,=43,且正三棱台 ABCA,B,C1的6个顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为 A.90x B.91x C.92π D.93π 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.心知向量a,b满足a十b=(1,3),2a一b=(一4,3)，则 Λ.a=(-1,2)B.a/b C.lal=b D.a⊥b 已知椭圆C+10<<3)与双曲线C2:x2一=1(d>0)的焦距相同，左、右焦 分别为F1,F2,C1,C2的离心率分别为e1,e2,P是C1与C2的一个交点，sin∠F1PF2= 1 4,则e1e2的值可能为 A.4 &号 C.2 D含 11.已知函数f(x)的定义域为R,当且仅当x=0时，f(x)=0,且Hx∈R,Hy∈R,f(f(x)+ y)=f(x2-y)十4f(x)y,则 Λ.f(f(-1))=f(1) B.f(W3)4 (.f(x)在[0，十∞)上单调递减 D.f(x)是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.(1-2i)(2+i)的虚部为▲ 13.若函数f(x)=x(x一c)2的导函数的部分图象如图所示， 则c=▲一· 1M.U1△ABC的内角A.B,C的对边分别为a,b,c,B=,a=6-2c,且 个AI(:的两条角平分线是AD与CE,则当AE+CD取得最小值时，c= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.13分) 箱中装有除颜色外其他都相同的黄、白两种小球，黄球与白球的数量之比为3：1.现从箱中 ,次随机取出1个球：若取出白球，则将其放回箱中，并继续从箱中随机取出1个球；若取出 放球，或取球的次数达到3次，则停止取球. (1)求取球终止时取到2次白球、1次黄球的概率； (2)设取球终止时取球的次数为X,求E(X). 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E,F分别为PB,CD的中点. (1)证明：EF平面PAD. (2)已知PA⊥平面ABCD,AE⊥PC. ①证明：AE⊥PB. ②求直线PC与平面AEF所成角的正弦值. 17.(15分) 已知抛物线C1:x2=2y(p>0),C2:y2=2px的焦点分别为F1,F2,且|F,F2|=√2. (1)求直线F,F2的方程； (2)若直线F:F2与C1从左到右分别交于A,B两点，与C2从左到右分别交于C,D两点， 求|AD|+IBC. 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 我们把函数f(x)的a阶导数记为D(f(x)).已知f(x)的导数为f'(x),则D(f(x)= f'(x). 1)若函数f(x)=+ax2的图象在点(1，f(1)处的斜率为D(f(2),求a. (2)已知D(e“)=”e,D((sin t)=1"sin(x+受），t为常数。 ①若函数p(x)=D2(e)-D(sinx),求p(x)在[0，十o∞)上的零点个数； @若函数a()=D(e)-D(分rn7+号2+r2)+ln2,证明，hx)>0 弥 19.(17分) 封 在数列{an}中，am+1=2an,a1=2,等差数列(bn}的前n项和为Sn,且S3=a4十a5,b6=a6 (1)求数列{am},{bn}的通项公式. (2)设集合A={amn∈N'},B={bn|n∈N*},在数列{cn}中，定义cm为集合AUB中在 区间(0，m](m∈N*)内的元素个数. ①求C4m; ②求5c. 参考公式：当g1时，·g-四29》 -q-1(g-1)2· 线 【高三数学第4页（共4页）】高三数学学情检测参考答案 题序 1 2 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B D B B ACD CD ABD 3 15 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12~14题，其他结果均不得分. 1.B【解析】本题考查极差，考查数学运算的核心素养， 这组数据的极差为129.60一4.32=125.28万辆. 2.D【解析】本题考查交集，考查数学运算的核心素养. A∩B=[2,5). 3.A【解析】本题考查三角函数的最小正周期与值域，考查数学运算的核心素养， 由-吾得w=士，得f)=4nx十p)或fa)=-n(一十p,所以fx)的值 域为[一4,4]. 4.B【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养， 设1与圆M交于A,B两点.因为圆心M(1,0)到1的距离为+1 =√2，所以|AB|= √12+13 2X√4-W2)》=2X2.又AB2=MA12+MBP,所以∠AMB=故优弧长度与劣弧 2×(2x-2） 长度的比值 =3 2×号 5.C【解析】本题以川剧四大绝活为背景考查排列组合的实际应用，考查应用意识. 因为变脸和吐火的演出顺序相邻的方案数为AA=12,变脸和吐火的演出顺序不相邻的方 案数为AA号=12，所以所求不同的方案数为12×12=144， 6.A【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 （方送-)油os(。+皆)+co。名os。一号ne十coa2如 2 cos a- 2 sin a=/3cos(a+ ）-=1,得os(a+若)-则cs(2a十5)=2os(e+若）-1=子 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 3 (方法二)由cos(a+牙）+cosa=2cos2cos2 -=2cos(a+石)cos石=1，得 os(a+8）-号则os(2a+)=2cas(e+8)-1=- 7.C【解析】本题考查对数函数与一次函数的图象，考查逻辑推理与直观想象的核心素养 对于A,由f(x)的图象可知0<a<1,b>0,由g(x)的图象可知b<0,互相矛盾，A错误. 对于B,由f(x)的图象可知0<a<1,b<0,由g(x)的图象可知a一1>0，即a>1,互相矛 盾，B错误。 对于D,由f(x)的图象可知a>1,b<0,由g(x)的图象可知b>0,互相矛盾，D错误， 对于C,由f(x),g(x)的图象可知a>1,b>0,C正确. 8.B【解析】本题考查二面角与正三棱台的外接球，考查数学运算的核心素养与空间想象 能力. 如图，分别取△ABC,△A1B1C1的中心E,E1,连接CE,C1E1, E1E,分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接AD,A1D1,DD1,过 点D1作D1F⊥AD,垂足为F.易得DD1⊥BC,AD⊥BC,所以 二面角ABCD1的平面角为∠ADD1,则∠ADD1=.易得 AB=4,CE=2,EF=FD=1.因为D1FA t∠ADD,=需-尽，则D,F=,易得E,=D,F=5.设 DF 1OE2+CE2=x2+16=R2, 球O的半径为R,OE=x,则 E+C,E臂=（红+3）+4=R,消去R,得x-3 ,则R2= 91 ，所以球0的表面积为4πR2=91元 9.ACD【解析】本题考查向量的坐标运算与数量积，考查数学运算的核心素养， 将a十b=(1,3),2a一b=(-4,3)两式相加，得3a=(-3,6),即a=(-1,2),则b=(1,3)一 (一1,2)=(2,1)，所以a|=b|=√5，A正确，C正确.因为a·b=0,所以a⊥b,B错误，D 正确. 10.CD【解析】本题考查椭圆与双曲线的离心率，考查数学运算与直观想象的核心素养， 设|F1F2|=2c.由题意得 (IPF+PF21=2X9=6,(PFI=4,PF1l=2, 得 或 由 PFI-IPF2=2X/T=2,PF2I=2 PF2=4. sin ∠FPF2= V15 ，得os∠F,PF:=士子，则|FF:1 √TPF1+PF2-2PF1PF2cos∠F1PF2=2√6或4，得c=√6或2，所以e1e2= 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 台6=2或号 11.ABD【解析】本题考查抽象函数，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养， 令y=0,得f(f(x))=f(x2),则f(f(一1))=f(1),A正确. 令y=x2,得f(f(x)十x2)=f(0)+4f(x)x2=4f(x)x2,令y=-f(x),得f(0)=f(x2 十f(x)-4[f(x)门，得f(x2十f(x)=4[f(x)]2,所以f(x)x2=[f(x)].又当且仅当 x=0时，f(x)=0,所以f(x)=x2,则f(W3)=3<4,f(x)在[0，十∞)上单调递增，B正 确，C错误，D正确. 12.一3【解析】本题考查复数的运算和概念，考查数学运算的核心素养 因为(1-2i)(2+i)=4一3i,所以(1一2i)(2+i)的虚部为一3. 13.3【解析】本题考查导函数的图象，考查数学运算与直观想象的核心素养， f(x)=3x2-4cx+c2=(3x-c(x-c).令f'(x)=0,得x=S或c.由图可知c>>0, 9=1,得c=3 5 14.7 【解析】本题考查解三角形的应用，考查数学运算、逻辑推理及直观想象的核心素养 如图，设AD与CE相交于点O,在AC上取点F,使得AF=AE, 连接OF,则△AE02△AF0,则∠3=∠5.由B=号，得2∠1+ 2∠2红，则∠5=∠3=∠4=∠1+∠2=5，所以∠5+∠6=x 3/5 -(∠1+∠2)-红，得∠6=牙，易得△CD0≌△CF0,则CD=B4 D CF,所以AE+CD=AF+CF=b.由余弦定理得b2=a2+c2-ac=(6-2c)2+c2一(6- 2c)c=72-30c+36=7(c-)°+27，当c=时，6取得最小值 15.【解析】本题考查随机变量的期望，考查数学运算的核心素养！ 解：①取球终止时，取到2次白球1次黄球的概率为×号×号-寻 …5分 (2)X的可能取值为1,2,3. 6分 P(X10=4,✉ …7分 pX=2=×= 9分 PX-80-×-, 11分 所以r0X)=1x号+2x是-3x酷 …13分 【高三数学·参考答案第3页（共9页）】 16.【解析】本题考查线面平行、线线垂直、直线与平面所成角的正弦值，考查逻辑推理的核心素 养与空间想象能力： (1)证明：如图，取PA的中点G,连接EG,DG.…1分 :E为PB的中点，BGAB,BG=2AB. F为CD的中点，∴DF/AB,DF=号AB, G ∴.EG/DF,EG=DF,…2分 ∴.四边形EFDG是平行四边形，∴.EFDG.…3分 .,DGC平面PAD,EF中平面PAD,∴.EF平面PAD, …4分 (2)①证明：，PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, ∴PABC.… 5分 ,BC⊥AB,AB∩PA=A,ABC平面PAB,PAC平面PAB,∴.BC⊥平面PAB.·6分 ,AEC平面PAB,.BC⊥AE.… …7分 .AE⊥PC,BC∩PC=C,BCC平面PBC,PCC平面PBC,∴.AE⊥平面PBC.·8分 PBC平面PBC,.AE⊥PB.…9分 ②解：.AE⊥PB,E为PB的中点，.PA=AB.… 10分 以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标 系.设AB=2,则A(0,0,0),E(1,0,1),F(1,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0), A它=(1,0,1)，AF=(1,2,0),PC=(2,2,-2).…11分 1n·AE=x+z=0, 设平面AEP的法向量为n=(z,y),则n·A萨=z十2y=0, …12分 令y=1,则x=一2，x=2,.n=(-2,1,2)是平面AEF的一个法向量.…13分 故直线PC与平面AEF所成角的正弦值为cos(PC,n)= P心·n|=3 PL 3· …15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，未写“DGC平面PAD,EF￠平面PAD”,扣1分. 【2】第(2)①问还可以这样解答： 以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系（图略）. 设AB=2,PA=2a,则A(0,0,0),E(1,0,a),P(0,0,2a),C(2,2,0),…5分 AE=(1,0,a),PC=(2,2,-2a). 6分 AE⊥PC,.AE.PC=2-2a2=0,… 7分 则=1.………8分 又E为PB的中点，AE⊥PB.…9分 17.【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合，考查直观想象与数学运算的核心 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 素养 解：(1)由题意得F,(0,),F,(,0）, 2分 由FF=√()+()-2，>0， …3分 得p=2, 4分 所以kp,F2=一1， 5分 故直线FF2的方程为y=一x十1.…6分 (2)由(1)得C1:x2=4y,C2:y2=4x. …7分 x2=4y, 由 得x2+4x-4=0, 8分 y=-x+1, 则2A十xB=一4， 9分 xAxB=一4， 所以AB=√1+(-1)2·√(xA+xB)2-4xAxB=8. …11分 因为C1,C2关于直线y=x对称，直线F1F2关于直线y=x对称，所以CD|=|AB|=8. …13分 故|AD|+|BC=|AB|+|BD|+|BC=|AB|+|CD|=16.…15分 【评分细则】 【1】第(1)问中，直线F1F2的方程还可以写成x十y一1=0. 【2】第(2)问中，还可以这样求|AB|: |AB=|AF1|+|BF1|=yA+1+yB+1=-(xA+xB)+4=8. 【3】第(2)问中，还可以这样求|CD|: y2=4x, 由 得x2-6.x+1=0,得xc十xD=6, y=-x+1, 所以|CD|=|CF2|+|DF2|=xc+xD+2=8. 18.【解析】本题考查导数的新定义与导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养及创新 意识 (1)解：f'(x)=一 1分 因为f'(1)=-1+2a=D1(f(2)=f'(2)=- +4a, 4 2分 所以a=一 3分 (2)0解：p(x)=()》。-sn(x+)-号e-sn(r+) …4分 当≥1时，e≥>1，sn(x+)≤1，则pe)>0,所以p6x)在1，+o)上设有 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 零点. …5分 当0ex1时，pr)-9。-o(x),pCx的导数x)-停e+n(+》 0,所以p(x)在[0,1)上单调递增.… …6分 因为p'0y=-90,p1)--ow1+)>0,所以3，∈0Dp(,）=0, 所以p(x)在[0，xo)上单调递减，在(x0,1)上单调递增.…7分 又p0)=0,p(1)=会-im(1+)>0,所以2(2在[0,1D上有2个零点、…8分 故p(x)在[0，+∞)上的零点个数为2. …9分 ②证明：a(x)=e-(分xnx+号+子x2y+ln2=e-xnx-x2-x+ln2, h'(x)=e-lnx-2x-2,h'(x)的导数h”(x)=e-1 2 …10分 易得A(x)在0，十∞)止单调递增，且I=e-3<0,(2②)=e-号>0， 所以3m∈(1,2)，h"(m)=0,所以h'(x)在(0，m)上单调递减，在(m,十∞)上单调递增 …11分 又()-e李-是>0h1=e-4<0,h'(2)=-e-6-1h2>0,所以3z1∈0，)，：∈ (1,2),h'(x1)=0,h'(x2)=0,… …12分 所以h(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,十∞)上单调递增.… ………13分 由h'(x2)=e-lnx2-2x2-2=0,得e=lnx2十2x2十2， 所以h(x2)=e-x2lnx2-x号-x2+ln2=(1-x2)lnx2-x号+x2十2十ln2.·l4分 令g(x)=1-xnx-x2+x+2+ln2,x∈1,2)，则g'(x)=1-lnx-2x. 易得g'(x)是减函数，所以g'(x)<g(1)=-1<0,…15分 所以g(x)在(1,2)上单调递减，所以g(x)>g(2)=0,得h(x2)>0.…16分 又当x→0时，h(x)→1十ln2,所以h(x)>0. …17分 【评分细则】 【1】第(2)①问还可以这样解答： p)=()》e-sn(红+)-e-sn(x+) ……4分 令p(x)=0,得e产=2sin(x+T): …5分 函数u(x)=e女，o(x)=2sin(x十不)的大致图象如图所示，…6分 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 u(0)=o(0)=1,u(2)=e>(2),…7分 u(x) 因为u(x)=e是增函数，所以当x≥2时，u(x)>u(x), 所以u(x)的图象与v(x)的图象有2个公共点.…8分 v(x 故p(x)在[0，十∞)上的零点个数为2.…9分 【2第(2)②问中，“%'（号）>0”写为“当x0时，h'(x)→+∞”，不 扣分. 19.【解析】本题考查新定义、数列及二项式定理的应用，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的 核心素养 解：(I)由题意得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，…1分 所以a=2.…2分 S3=3b1+3d=a4十a5=48, 设{bn}的公差为d.由 3分 b6=b1+5d=a6=64, b1=4, 得 4分 d=12, 所以b%=12n-8.…… 5分 (2)①由2≤4"，得n≤2m,则集合A中在区间(0,4m](m∈N*)内的元素个数为2m.… …6分 由12a8,得x法8-4 3 当m1或m2时，4十2为正检数： 当m≥3时，4m-1=(3十1)m-1=3m-1十C-1·3m-2+…十C-号·3十1，…7分 则华2=9+C8+…十C3+3则十为正整数 综上，4+2(m∈N)为正整数，则集合B中在区间(0,4](mCN)内的元素个数为 3 4m+8 12 …8分 由2=12k-8,得k=22+2=3-1)"+2 3 3 ，因为(3一1)”-2展开式的最后一项是 一12，所以要使得23十2为正整数，则(-1)2=1，则n一2为偶数，即m为偶数，- …9分 所以集合A,B中在区间(0,4m](m∈N*)内的公共元素为22,24，…，22m,共有m个.… ………10分 故c=2m+48-m+12m+8(或1+3m+2 12 12 …11分 【高三数学·参考答案第7页（共9页）】 ②设M=,D=AnB,则g:=总 设A在(0，k]中的元素个数为cA,B在(0，k]中的元素个数为cB,A∩B在(0，k]中的元 素个数为ckD,则Ck=Ca十C一CD· …12分 令Tw-含，T=总，T-2n A在(0，M]中的元素为a,=2(G=1,2,…,2m),当1≤≤2m-1,且k∈[aj,a+1-1]时， cka=j,此时区间[aj,a+1一1]内共有2个正整数， 当=2m,即k=4时6，=2m,则T4-客c,十2m=2m十·2头.…13分 B在0，M中的元素为6，-1j-80=1.2,M位).当1白<M告8-1，且k∈[6， b+1一1]时，cp=j,此时区间b,b+1一1]内共有12个正整数， 当4生，即及=时0,8 12, M-1,M+8=12X1 12 +告-告 则T。=12名j+ 12 M+8M2+6M-16 12 2 12 24 …14分 A∩B在(0，M]中的元素为d,=4(i=1,2,…,m), 当1≤j≤m-1,且∈[d,d+1-1]时，cp=j,此时区间[d,d+1-1]内共有3×4个正 整数，当j=m,即及=4”时，c。=m,则T。-GX3×型)十m=3j·型十m.… 15分 因为·2=(2m-102产-2(21-10=(2m-2)4+2,岁·#-m4 3 4(4m-1-1)_(3m-4)4"+4 9 …16分 9 所以c=TA+T。T=(2m-2》4+2m+2+C4)十6·410 (3m-4)4m+4 24 3 +m]=16+(24m-10)4m+24m 24 …17分 【评分细则】 第(2)②问还可以这样解答： 设M=4,则县c,-总 设x是AUB中任意一个不超过M的元素，记AUB内所有不超过M的x的和为 EAEe子. 对于满足x≤k≤M的每一个k,x都在c.中被计数一次，共计M一x+1次，…12分 所以尊=EA品aM+1-x)=M+1cwea品e 【高三数学·参考答案第8页（共9页）】 记U-EA品sN,由容斥原理得U=Ua十UB一Uana, …13分 其中UA=2十4十…十22m=22m+1-2=2M-2,…14分 U-含a2j8=N-2N(w-M2) M2+12M+32 24 …15分 UAnB=4+16++4m=41-4_4M-4 3 3， 16分 所以U=2M-2+M+12M+32_4M-4_M+28M+16 24 3 24 总c:=(M+1).M+12m+8M+28M+16_M+24mM-10M+24m 12 24 24 将M=4代人，得8-16+24m104十24m 24 …17分 【高三数学·参考答案第9页（共9页）】