第十三章 三角形 单元测试培优提升卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册三角形单元培优提升卷，立足三角形边与角的核心知识，融合现实情境与创新探究，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三角形三边关系、内角和、实践测量|以黑板直线夹角测量（题2）、池塘距离估计（题3）等情境考查几何直观，落实数学眼光观察现实世界| |填空题|4/12|多边形分割规律、高与角的关系|通过四边形剪角求角度（题9）、多边形分割规律（题12）培养抽象能力与空间观念| |解答题|6/64|角平分线性质、新定义“和谐三角形”、折叠实践|以“和谐三角形”新定义（题17）考查推理能力，折叠操作题（题18）发展创新意识，契合数学思维与表达素养|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(人教版专用) 第十三章 三角形 培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 利用三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，对每个选项逐一验证。 【详解】 A：，两边之和等于第三边，不能构成三角形； B：，两边之和等于第三边，不能构成三角形； C：，，满足三边关系，可以构成三角形； D：，两边之和小于第三边，不能构成三角形。 故选 C。 2.要想知道黑板上两直线，所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案相关标记和数据如图所示，则直线，所夹锐角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 利用三角形外角、三角形内角和，把图中两个已知角补成三角形的外角，求内部锐角。 【详解】 的补角：， 的补角：， 所求锐角。故选 B。 3.如图，为了估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离不可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 三角形三边关系：，求出取值范围，判断选项。 【详解】 ， ，即。 不在这个范围内，因此距离不可能是。故选 C。 4.如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 三角板重叠，先求角度，再用三角形外角定理计算。 【详解】 ，， ， ， 。故选 B。 5.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 结合平行线、垂直条件，四边形内角和推导角度表达式。 【详解】 已知，，，。 四边形内角和，两个直角，得到。故选 A。 6.如图，是内一点，，，，则  (    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【分析】 三角形内角和，先求，再在中求。 【详解】 。故选 C。 7.如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为(    ) A. B. C. D. 随点，的移动而变化 【答案】A 【分析】 角平分线 + 三角形外角模型：一内一外平分线夹角等于顶角一半。 【详解】 平分，平分 外角， ， 化简得，。故选 A。 8.如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，，直角顶点落在的内部，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 两次使用三角形内角和，整体代换求角度和。 【详解】 在中：。 在中，，。 。故选 D。 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则          ． 【答案】 【分析】 三角形外角，剪掉一个角，。 【详解】 剪掉，剩余图形，是小三角形两个外角。 。填。 10.如图，在锐角三角形中，和分别是边和边上的高，若与所夹的锐角是，则          ． 【答案】  【答案】 【分析】 两条高相交，利用四边形内角和先求，再用内角和求。 【详解】 是高，，夹角锐角。 。填。 11.如图，在中，是和的平分线的交点，若，则的度数为          ． 【答案】 【分析】 内角平分线模型：，结合条件列方程。 【详解】 平分 已知 ，，解得。填。 12.从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形根据下面的图形反映出来的规律，边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为          ． 【答案】 【分析】 多边形从一个顶点分割三角形的规律，归纳推理。 【详解】 四边形：个；五边形：个；六边形：个。 边形从同一个顶点出发分割成个三角形。填。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 已知的三边长分别是，，． 若，，且的周长是小于的偶数，求的值 化简：． 【答案】 (1) 由三边关系：，即。 周长，。 。 周长是偶数，为偶数，故为偶数。 可取。 (2) ， ∴原式= = 14.本小题10分 如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为． 求的度数． 求的度数． 【答案】 (1) 解：∵∠C＝40°，∠B＝70°， ∴∠BAC＝180°-(∠C+∠B)＝70°． ∵AE是∠BAC的平分线， ∴．  (2)∵AD是△ABC的高， ∴∠CAD＝90°-∠C＝50°． ∴∠DAE＝∠CAD-∠CAE＝15°． ∵DF⊥AE， ∴∠ADF＝90°-∠DAE＝75°．  15.本小题分 如图，的三条角平分线交于点，，垂足为． 若，求的度数． 试判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)依题意,ABI+BAI=-=, ABC+BAC=,ACB=. (2)AIB+CID=,理由如下: 依题意,AIB=-(BAC+ABC),CID=-ACB, AIB+CID=-(BAC+ABC)+-ACB =-(BAC+ABC+ACB) =. 16.本小题分 如图，在中，，为上一点，连接，，平分交于点． 若，求的度数． 求证． 【答案】(1)依题意,设B=C=x,DAE=CAE=y, 在ABC中,B+C+BAD+DAC=, 即2x+2y+=,x+y=, AED=C+CAE=x+y=. (2)依题意,设B=C=x,DAE=CAE=y, 在ABC中,B+C+BAD+DAC= 即2x+2y+=,x+y= - , AED=C+CAE= - . 17.本小题分 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． 问题如图，中，，，点是线段上一点不与，重合，连接．如图，是“和谐三角形”吗为什么 如图，若，则，是“和谐三角形”吗为什么 问题如图，中，，，点是线段上一点不与，重合，连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 【答案】 （1） ABC是“和谐三角形”, 理由如下: 因为ACB=,A=, 所以B=. 所以B=A. 所以ABC是“和谐三角形”. （2）ACD,BCD是“和谐三角形”. 理由如下: 因为ACB=,A=, 所以B=. 因为CDAB, 所以ADC=BDC=. 所以ACD=,BCD=. 在ACD中,因为A=,ACD=, 所以ACD=A. 所以ACD为“和谐三角形”. 在BCD中,因为BCD=,B=, 所以B=BCD. 所以BCD为“和谐三角形”.  (2)问题2:易得B=.若ACD是“和谐三角形”, 由于点D是线段AB上一点(不与A,B重合), 则ACD=A或ACD=ADC. 当ACD=A时,ACD=A=; 当ACD=ADC时,A+3ACD=,即3ACD=, 所以ACD=. 综上,ACD的度数为或.  18.本小题分 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使边与在同一条直线上，点与点重合，得到折痕； 操作二：折叠三角形纸片，使，两点在同一条直线上，得到折痕． 完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是          ，直线，的位置关系是          ． 深入探究已知，根据以上操作，判断和的大小关系，并说明理由． 结论应用已知，，求的度数． 【答案】(1)∠ABD＝∠CBD;BC⊥AE  (2)∠BAC＞∠C． 理由如下： 由题意，得∠DFB＝∠BAC． ∵∠DFB＝∠C+∠CDF， ∴∠BAC＝∠C+∠CDF． ∴∠BAC＞∠C．  (3)∵∠ABC＝58°，∠ACB＝48°， ∴∠BAC＝180°-∠ABC-∠ACB＝74°． ∵∠ABD＝∠CBD， ∴． ∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝103°．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(人教版专用) 第十三章 三角形 培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段能构成三角形的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.要想知道黑板上两直线，所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案相关标记和数据如图所示，则直线，所夹锐角的度数为(     ) A. B. C. D. 3.如图，为了估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘的一侧选取了一点，测得，，那么，间的距离不可能是(     ) A. B. C. D. 4.如图，将一副三角板的直角顶点重合并部分重叠若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 5.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 6.如图，是内一点，，，，则  (     ) A. B. C. D. 无法确定 7.如图，，点，是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为(     ) A. B. C. D. 随点，的移动而变化 8.如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，，直角顶点落在的内部，则的度数是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则          ． 10.如图，在锐角三角形中，和分别是边和边上的高，若与所夹的锐角是，则          ． 11.如图，在中，是和的平分线的交点，若，则的度数为          ． 12.从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形根据下面的图形反映出来的规律，边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 已知的三边长分别是，，． 若，，且的周长是小于的偶数，求的值 化简：． 14.本小题分 如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为． 求的度数． 求的度数． 15.本小题分 如图，的三条角平分线交于点，，垂足为． 若，求的度数． 试判断与的数量关系并说明理由． 16.本小题分 如图，在中，，为上一点，连接，，平分交于点． 若，求的度数． 求证． 17.本小题分 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． 问题如图，中，，，点是线段上一点不与，重合，连接． 如图，是“和谐三角形”吗为什么 如图，若，则，是“和谐三角形”吗为什么 问题如图，中，，，点是线段上一点不与，重合，连接，若是“和谐三角形”，求的度数． 18.本小题分 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 操作判断 操作一：折叠三角形纸片，使边与在同一条直线上，点与点重合，得到折痕； 操作二：折叠三角形纸片，使，两点在同一条直线上，得到折痕． 完成以上操作后把纸片展平，如图，判断和的大小关系是          ，直线，的位置关系是          ． 深入探究已知，根据以上操作，判断和的大小关系，并说明理由． 结论应用已知，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $