7.2 认识证明一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦“认识证明”核心内容，通过基础巩固、逻辑推理、综合应用三层设计，实现从命题概念到证明实践的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题定义、真假判断、反例构造|单选1-6直接考查概念辨析，填空9-12强化命题组成与改写，夯实基础| |中档层|逻辑推理、简单论证|单选7-8结合抽屉原理与卡牌操作，填空13通过竞赛预测培养推理能力| |提升层|证明步骤、综合应用|解答题15-16规范证明流程，17-18融合代数推理与数据分析，深化逻辑思维|

7.2 认识证明 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 2．可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 4．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 5．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a、b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 8．有三张牌，分别为红心A、红心2、红心8，将这三张牌按任意左右顺序排列，再根据下列步骤操作： 第一步：将红心2与左边的牌互换，如果红心2已经在最左边，则不动； 第二步：将红心8与右边的牌互换，如果红心8已经在最右边，则不动； 第三步：将红心A与左边的牌互换，如果红心A已经在最左边，则不动． 经过以上三步操作后，请问最右边的牌是（   ） A．红心A B．红心2 C．红心8 D．红心A、红心2、红心8都有可能 二、填空题 9．一个命题是由______两部分组成． 10．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 11．取一个正数的值，说明命题“正数比它的算术平方根大”是假命题，那么______． 12．把命题“等边三角形三个内角都相等”写成“如果…，那么…”的形式：________________________________________________________________． 13．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 三、解答题 14．观察下列整式的次数和项数，找出它们的共同特征，给以名称，并作出定义． ，，，． 15．卡钳是一个测量工件内槽宽的工具．如图，师傅通常把两根钢条，的中点连在一起，就可以做成一个简易卡钳．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．请结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 已知： 求证： 证明： 16．我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 18．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D A B C 1．【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】举反例 【分析】要证明原命题为假命题，反例需要满足原命题的条件，同时不满足原命题的结论，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：∵反例需满足命题条件“”，不满足命题结论“”， A 选项：代入得，不满足条件，排除； B选项：代入得，满足条件，且，，不满足结论，符合反例要求； C选项：代入得，不满足条件，排除； D选项：代入得，满足条件也满足结论，不能作为反例，排除． 3．【答案】D 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 4．【答案】A 【知识点】判断命题真假 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 5．【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解题关键．能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、当，时，，且，此时命题是真命题，选项错误； B、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； C、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； D、当，时，，但，此时命题是假命题，选项正确； 故选：D 6．【答案】A 【知识点】定理与证明 【分析】根据定理的含义可知只有④是定理. 【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理. 故选A. 【点睛】本题考查了定理的含义，演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 7．【答案】B 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，三张牌的所有排列组合共有6种：A， 2， 8，A， 8， 2，2， A， 8，2， 8， A，8， A， 2，8， 2， A，据此分6种情况分别求出三步操作后最右边的牌即可得到答案． 【详解】解：首先，三张牌的所有排列组合共有6种： A， 2， 8， A， 8， 2， 2， A， 8， 2， 8， A， 8， A， 2， 8， 2， A， 第一种初始排列：A，2，8， 第一步：红心2的位置是中间，左边是A．所以红心2与左边的A互换位置，变为2， A， 8， 第二步：处理红心8的位置，此时排列是2，A，8．红心8在最右边，所以不动． 第三步：处理红心A，此时红心A在中间位置，左边是2，所以A与左边的2互换位置，得到A，2，8．，所以第三步结束后的排列是A，2，8．所以最右边是8． 第二种初始排列：A，8，2， 第一步：红心2的位置是右边第三位，即最右边，所以红心2在初始排列的最右边，左边是8．所以第一步需要把红心2和左边的8互换位置，得到A，2，8． 第二步处理红心8的位置．此时排列是A，2，8，红心8在最右边，所以不动． 第三步处理红心A，此时红心A在第一位，已经是最左边，所以不动．最终排列还是A，2，8，最右边是8． 第三种初始排列：2，A，8， 第一步：红心2已经在最左边，所以不动，排列还是2，A，8， 第二步：红心8在最右边，所以不动，排列还是2，A，8， 第三步：红心A在中间位置，左边是2，所以红心A与2互换位置，得到A，2，8．最右边还是8． 第四种初始排列：2，8，A， 第一步：红心2在第一位，不动，排列保持2，8，A， 第二步：红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换位置，得到2， A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换，得到A，2，8．最右边是8． 第五种初始排列：8，A，2， 第一步：红心2在最右边，所以需要将红心2与左边的A互换位置，得到8，2，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在第一位，左边没有牌，右边是2．但红心8的操作是与右边的牌互换．所以红心8现在在第一位，右边是2．将红心8与右边的2互换，得到2，8，A， 第三步：处理红心A的位置，此时排列是2，8，A．红心A在最右边，左边是8．所以需要将A与左边的8互换位置，得到2 ，A，8．最右边是8． 第六种初始排列：8，2，A， 第一步：红心2在中间位置，左边是8．所以将红心2与左边的8互换，得到2，8，A， 第二步：处理红心8的位置，此时红心8在中间位置，右边是A．所以将红心8与右边的A互换，得到2，A，8， 第三步：处理红心A的位置，此时红心A在中间，左边是2，所以互换后得到A， 2， 8．最右边是8． 综上所述，经过以上三步操作后，请问最右边的牌是红心8， 故选：C． 9．【答案】题设（或条件）和结论 【知识点】判断是否是命题 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 10．【答案】乙 【知识点】判断命题真假、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例、平方根概念理解 【分析】本题考查的是真假命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据算术平方根的概念、假命题的概念解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根为，且为正数，与命题“正数比它的算术平方根大”矛盾， ∴时，命题“正数比它的算术平方根大”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题与定理．把题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面即可． 【详解】解：命题“等边三角形三个内角都相等”可改写成“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等”； 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等． 13．【答案】C，A，D，B 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 14．【答案】见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数、判断是否是命题 【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：是二次三项式； 是二次三项式； 是二次三项式； 是二次三项式； ∴这些整式的共同特征为：最高次数为2，项数都是3，它们都叫做二次三项式； 定义：一个整式的最高次数为2，且含有三个单项式，这样的式子叫做二次三项式． 【点睛】本题主要考查了多项式的项和次数，命题与定义，熟知相关定义是解题的关键：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 15．【答案】 已知：如图，，为的中点． 求证： 证明：如图，连接， ∵，为的中点， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是．结合题意及图示，用符号语言写出已知和求证，并完成证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 16．【答案】，，证明： 因为点，分别是，的中点， 所以，， 因为， 所以． 在与中， 因为， 所以， 所以， 在与中， 因为， 所以． 【知识点】写出命题的题设与结论、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定和性质，由条件画出图形，然后证明，所以，再证明即可得到答案，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，在和中，，，点，分别是，的中点，且． 求证：． 证明略． 17．【答案】(1)7 (2)14 【知识点】以代数为背景的推理与论证、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 18．【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【知识点】判断命题真假、逻辑推理与论证 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $