6.1 平均数与方差 一课一练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖平均数与方差的概念、计算及统计决策，梯度合理，适配新授课知识内化与能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|众数、平均数等单一概念|如单选题1直接考查众数定义，填空题11通过平均数求未知数据，强化概念理解| |能力提升|加权平均数、方差性质等公式应用|如单选题7计算加权成绩，填空题14结合权重求未知数据，培养运算能力| |综合应用|统计图表分析与决策|如解答题20结合扇形图推断总体，体现数据意识，发展用数学语言表达现实问题的能力|

6.1 平均数与方差 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．一组数据2，2，2，3，3，4，5的众数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如右表所示，学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（   ） 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 4．一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 5．若的平均数为4，的平均数为6，则的平均数为（   ） A．5 B．4.8 C．5.2 D．8 6．某校九年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数及方差，如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 202 214 205 214 方差 3.8 3.8 5.6 5.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．小明参加了学校广播站招聘广播员的三项素质测试，成绩（百分制）如下：写作65分、朗诵70分、创意设计80分．若写作、朗诵和创意设计的成绩分别按、、计算，则他的素质测试的最终成绩为（    ） A．71 B．72 C．73 D．74 8．已知数据的平均数是，方差是，则的平均数和方差分别为（　　） A． B． C． D． 9．某校拟招聘一名数学老师，现通过笔试、面试、答辩三项成绩来考核甲、乙、丙三名应聘者，各项满分均为100分，成绩如下表： 应聘者 笔试成绩(分) 面试成绩(分) 答辩成绩（分） 甲 85 90 92 乙 92 88 86 丙 88 91 89 学校综合岗位需求，规定笔试、面试、答辩权重之比为，按加权平均数分择优录取，那么被录用的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定 10．甲、乙两家酒店规模相当，去年月的月盈利折线统计图如图所示．下列说法中，不正确的是（    ） A．甲酒店每月盈利呈现不断增长的趋势 B．乙酒店经营状况有可能很快超过甲酒店 C．甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数 D．甲酒店月盈利的方差小于乙酒店月盈利的方差 二、填空题 11．若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 12．小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是_____，平均数是_____． 13．已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为______． 14．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 15．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 三、解答题 16．甘肃省积石山县发生地震，同学们积极捐款，奉献爱心．八年级1班全体同学捐款情况的部分统计图如图所示． (1)求该班的总人数； (2)将条形图补充完整； (3)并写出捐款总额的众数； (4)该班平均每人捐款多少元？ 17．某校组织学生开展植树造林活动．为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据整理如下表： 植树数量/棵 4 5 6 8 10 人数 30 22 25 15 8 （1）这100名学生平均每人植树多少棵？ （2）若该校共有1000名学生，请根据以上调查结果估计该校学生植树的总棵数． 18．体育课上，某班男同学进行了跑的测验，达标成绩为．下表反映了某小组10名男生的成绩情况（单位：），比多和少的成绩分别记为正和负． 人数 1 2 3 2 2 差值    0 (1)有1名男生的成绩被弄污了，但知道他的测验成绩是，则表格中弄污处的值______； (2)这个小组男生的平均成绩是多少秒? 19．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 20．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：    (1)这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ (2)请补全条形统计图并计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数； (3)根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数并谈谈你的建议． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C C B B C C D 1．【答案】A 【知识点】求众数 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数值．解题关键是统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数． 【详解】解：在数据2，2，2，3，3，4，5中，数字2出现了3次，数字3出现了2次，数字4和5各出现1次， ∵2出现的次数最多， ∴这组数据的众数是2． 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题考查了统计量的选择，颜色属于分类数据，无法计算平均数、中位数或方差，因此应选择众数，理解众数的定义是解题的关键． 【详解】解：由统计表可知，喜欢蓝色校服的学生人数最多，远超过黑色和白色，又因为颜色属于分类数据，无法计算平均数、中位数或方差，所以学校参考的统计量是众数， 答选：． 3．【答案】C 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 4．【答案】C 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 5．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查求平均数，用的和加上的和除以总数即可． 【详解】解：； 故选C． 6．【答案】B 【知识点】利用平均数做决策、运用方差做决策 【分析】平均数越大成绩越好，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，先找出平均数最大的同学，再在其中找出方差最小的同学即可． 【详解】解：∵要选择成绩好且发挥稳定的同学，平均数越大代表成绩越好， ∴根据表中数据可得，乙和丁的平均数最大，均大于甲和丙的平均数，因此只需从乙和丁中选择， 又∵方差越小代表发挥越稳定，乙的方差为，小于丁的方差， ∴乙满足成绩好且发挥稳定的要求． 7．【答案】B 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的公式． 根据加权平均数的计算公式，将各项成绩乘以对应权重后求和即可得到最终成绩． 【详解】解：最终成绩为（分）， 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求方差 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 数据的平均数是， ∴， ∵新数据为， ∴新数据的平均数为， ∵原数据的方差是， ∴， ∵新数据为， ∴新数据的方差为 ， ∴新数据的平均数和方差分别为，， 故选：． 9．【答案】C 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】分别计算三名应聘者的加权平均数，比较大小后得分最高的即为被录用者． 【详解】解：∵ 笔试、面试、答辩权重之比为，权重和为， 分别计算三人的加权平均数： 甲的加权平均数：分， 乙的加权平均数：分， 丙的加权平均数：分， ∵ ，丙的加权平均数最高， ∴ 被录用的是丙． 10．【答案】D 【知识点】折线统计图、求一组数据的平均数、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了折线统计图、方差、平均数等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据折线统计图、方差、平均数逐项分析计算即可解答． 【详解】解：A．观察甲酒店折线统计图，从2月到7月，其盈利数值依次为1，2，3，3，4，5（单位：十万元） ，呈现不断增长的趋势，该选项正确，不符合题意； B．乙酒店在7月盈利为4（十万元），且之前盈利有波动变化，若后续经营策略调整得当，盈利持续增长，是有可能很快超过甲酒店的，该选项正确，不符合题意； C．甲酒店月盈利平均数为；乙酒店月盈利平均数为；由，则甲酒店月盈利的平均数大于乙酒店月盈利的平均数，该选项正确，不符合题意； D．甲酒店月盈利方差为，乙酒店月盈利方差为；由，则甲酒店月盈利的方差大于乙酒店月盈利的方差，该选项错误，符合题意． 故选D． 11．【答案】2 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12．【答案】 4 6 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了样本容量和平均数，通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 【详解】解：方差公式中的求和项：共有4个数据项， 分别为，每个数据点对应一个样本， 样本容量为4， 方差公式中的每个数据点均减去同一个数（即平均数）， 根据公式，每个数据点被减去的数为6， 平均数． 故答案为：4，6． 13．【答案】2 【知识点】标准差、已知 平均数求未知数据的值、求方差 【分析】此题考查了平均数，计算一组数据的标准差，正确理解平均数求出x及掌握方差的计算公式是解题的关键． 先利用平均数求出，再求出这组数据的方差，即可得到标准差． 【详解】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为． 故答案为：2． 14．【答案】7 【知识点】求加权平均数、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 15．【答案】80775 【知识点】频数分布直方图、求加权平均数、用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 16．【答案】(1)50 (2) 补充图形如图： (3)10 (4)该班平均每人捐款13.1元 【知识点】求众数、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、求一组数据的平均数 【分析】（1）用捐款15元的人数除以对应的百分比即可； （2）用总人数减去A，C，D，E的人数就是B的人数，进而补全统计图即可； （3）根据众数得概念求解即可； （4）用总钱数除以总人数即可． 【详解】（1）该班总人数是（人）； （2）捐款10元的人数为：（人）， （3）∵捐款10元的人数最多， ∴捐款总额的众数是10； （4）（元）． 答：该班平均每人捐款13.1元． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 17．【答案】（1）5.8；（2）5800 【知识点】用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【分析】先求出样本的平均数，再根据总体平均数约等于样本平均数列式计算即可． 【详解】解：（1）这100名学生平均每人植树的棵数为：（棵）； （2）由样本平均数估计总体平均数，该校1000名学生平均每人植树5.8棵，共植树约（棵）． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数． 18．【答案】(1) (2)这个小组男生的平均成绩是秒 【知识点】正负数的实际应用、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】(1)根据比多和少的成绩分别记为正和负可得答案； (2)根据平均数的公式求出平均成绩即可． 【详解】（1）解：比多和少的成绩分别记为正和负，他的测验成绩是， ， 故答案为：； （2）解： 答：这个小组男生的平均成绩是秒． 【点睛】本题是用正负数来表示达标成绩作记录，用记录数据来求达标率和平均成绩的问题． 19．【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【知识点】折线统计图、求方差、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解： ， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 20．【答案】(1)50人 (2) 则补全条形统计图如下：    (3) 解：（人）， 由条形统计图可知，采用“体育活动”减压方式的人数最多，所以建议该校采购体育器材，增加体育项目． 答：估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为120人． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联、运用众数做决策 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体、众数等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据采用“交流谈心”减压方式的人数除以所占百分比即可得； （2）求出采用“体育活动”减压方式的人数，据此补全条形统计图即可；利用采用“享受美食”减压方式的人数所占百分比乘以即可得； （3）利用该校九年级的学生总数乘以采用“听音乐”来减压方式的人数所占百分比即可得；从众数的角度提建议即可． 【详解】（1）解：一共抽查的学生：（人）， 答：一共抽查了50名学生． （2）解：采用“体育活动”减压方式的人数为（人）， “享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $