7.3 平行线的证明（十大题型）专题练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以平行线判定与性质为核心，按“判定方法-性质应用-综合证明”逻辑分层设计，系统覆盖十大题型，突出推理意识与几何直观培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定方法|题型1-6（各3题）|同位角/内错角相等、同旁内角互补、垂直于同一直线、平行公理及推论证平行|从角的关系到线平行的判定逻辑链| |性质应用|题型7-9（各3题）|平行得同位角/内错角相等、同旁内角互补|线平行到角关系的性质推导| |综合证明|题型10（3题）|判定与性质结合论证|判定与性质的双向转化应用|

7.3 平行线的证明 题型一 同位角相等两直线平行 1．如图，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得（同位角相等，两直线平行），原推理正确，符合题意； B、由不能推出，原推理错误，不符合题意； C、由可得（内错角相等，两直线平行），不能得到，原推理错误，不符合题意； D、由不能推出，原推理错误，不符合题意． 2．写出一个能判定的条件___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定方法，进行作答即可. 【详解】解：当时，（内错角相等，两直线平行）； 当时，（同位角相等，两直线平行）； 当或时，（同旁内角互补，两直线平行）. 3．如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，根据同位角相等，两直线平行，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】（1）解： ； 因为，所以， 因为，所以，所以； （2）；理由： 因为，所以， 因为为的平分线，所以， 因为，所以，所以． 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，故A符合题意； ∵， ∴，不能判定，故B不符合题意； 由，不能判定，故C不符合题意； 由，不能判定，故D不符合题意． 5．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 6．如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵线段、相交于点O，且互相平分， ，，， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由相互平分以及对顶角的性质可得、、，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A、∵，符合内错角相等，两直线平行，∴，不符合题意． B、∵，不能判定，符合题意； C、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． D、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． 8．如图，与互余，的余角与互补，则直线与________（填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】利用互余、互补的定义以及平行线的判定定理来判断是否平行． 【详解】解：∵与互余， ∴，的余角为． 又∵的余角与互补， ∴． ∴． 故答案为：． 9．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．下列命题是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义． 根据角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：两个锐角的和可能是锐角（如）、直角（如）或钝角，A是假命题； 两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同旁内角才互补，B是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，C是假命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，它们的同位角均为，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，这两条直线平行，D是真命题； 故选：D． 11．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 12．如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：与平行． 理由：∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质， （1）根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）根据角平分线的定义得，由平行线的判定得，最后根据两直线平行，同位角相等可得结论； 熟悉平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型五 平行公理的应用 13．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【详解】解：由题意可知，当时，；当时， ， 点，，在同一直线上 其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 14．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)； 【分析】（1）根据平行公理进行解答即可； （2）根据平行线的性质得出，从而求出，再根据已知角求出，根据平行线的性质求出；根据平行线的性质得出，从而求出．再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作如图②，则可以得到，其理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：如图，∵， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ； ∵， ， ∵， ． ∵， ； 题型六 平行公理推论的应用 16．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 17．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质得出，再证明，得出，根据角的和即可得出答案． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 18．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键． （1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明； （2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出 【详解】（1）解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点P、Q作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 题型七 两直线平行同位角相等 19．将一块三角板如图摆放，三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示． ∵，，， ∴． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 20．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为______． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出的同旁内角的度数，再利用平角的定义求出直角右侧角的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：纸条两边平行，设为，三角尺的直角为， ， ， ， 又， ． 21．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 题型八 两直线平行内错角相等 22．如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 23．如图，四边形中，，，点E为线段的中点，，，，则_____． 【答案】 【分析】先延长与的延长线交于点，再证明，进一步得，，，，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点， 点E为线段的中点， ． ， ． 又， ， ，， ，． ， ． 24．如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 【答案】(1)证明：， ， 在与中， ，，， ， ． (2) 【分析】（1）先由推出一组同位角相等，结合已知、，利用证明，再根据全等三角形对应边相等得到； （2）要使，结合的角相等关系，构造直角条件，写出一个和相关的条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件：， 理由：若，则是直角三角形，， 由得， 等量代换得， 因此． 题型九 两直线平行同旁内角互补 25．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 26．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于________． 【答案】 【分析】直尺的两条对边互相平行，可利用“两直线平行，同旁内角互补”进行角度转化；结合含角的直角三角板的内角特征（另一个锐角为），通过角度和差关系求解． 【详解】解：设直尺的两条边平行，由“两直线平行，同旁内角互补”， 又的同旁内角与三角板的角以及的同旁内角相加为： ， 代入，解方程： ， ， ． 27．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定与性质，即可证明； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答． 【详解】（1）证明：， ． 为的中点， ． 在和中， （）， ， 即为的中点． （2）解：，， ，． 平分， ， ． 题型十 根据平行线判定与性质证明 28．如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意得，，所以四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 29．如图，在四边形中，，，平分，平分交于点．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过作垂线，将长转化为长进行求解．过点作交于点，通过平行线的性质，结合角平分线的性质，进行等量代换，证明，得到，证明四边形是长方形，得到，，再根据勾股定理求得长，最后根据即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ，，， ， ， ，，， 四边形是长方形， ，， 在中，， ． 故答案为：． 30．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ， ， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）根据等量代换得出，确定，得出，再由等量代换得出，结合平行线的判定即可证明； （2）根据平行线的性质得出，确定，再由角平分线及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ∴， ． ， ， ， 解得． ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 平行线的证明 题型一 同位角相等两直线平行 1．如图，下列推理正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．写出一个能判定的条件___________． 3．如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 题型二 内错角相等两直线平行 4．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 6．如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 题型三 同旁内角互补两直线平行 7．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，与互余，的余角与互补，则直线与________（填“平行”或“不平行”）． 9．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 题型四 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 10．下列命题是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 11．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 12．如图，已知，平分，于点，于点． (1)与平行吗？为什么？（用括号注明理由） (2)若，求的度数． 题型五 平行公理的应用 13．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，时，，就可确定点在同一条直线上的依据是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 14．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 15．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 题型六 平行公理推论的应用 16．如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 18．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明． 题型七 两直线平行同位角相等 19．将一块三角板如图摆放，三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（    ） A． B． C． D． 20．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为______． 21．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 题型八 两直线平行内错角相等 22．如图，直线，被直线所截，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 23．如图，四边形中，，，点E为线段的中点，，，，则_____． 24．如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 题型九 两直线平行同旁内角互补 25．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 26．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于________． 27．如图，在中，D为上一点，E为的中点，连接并延长至点F，连接，已知． (1)求证：E为的中点； (2)若，平分，求的度数． 题型十 根据平行线判定与性质证明 28．如图，一束平行光线插入一张对边平行的纸条，则与的关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 29．如图，在四边形中，，，平分，平分交于点．若，，则的长为__________． 30．如图，在三角形中，，分别是边，上的点，连接，，是上一点，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $