5.3一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按和差倍分、工程、配套问题分类，通过基础到拓展的解答题设计，强化方程建模与实际应用能力，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一等量关系（人数、配套）|直接列方程求解（如第1(1)题工人数量）| |综合应用|多等量关系与情境结合（方案选择）|多问递进（如第3题两种设元方法对比）| |拓展提升|含优化/逆向思维（费用最少、剩余问题）|跨知识点综合（如第4(2)题结合不等式求最少费用）|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、和差倍分问题 1．某车间为提高生产总量，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人．使得调整后车间的总人数比新调入工人人数的倍多人． (1)求新调入多少名工人？ (2)若该车间每名工人每天可以生产个螺栓或个螺母，若个螺栓需要个螺母．在新调入工人后，应该安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 2．在手工制作课上，老师组织七年级（3）班学生用硬纸制作圆柱形笔筒．全班共45人，其中男生人数是女生人数的． (1)求七年级（3）班的男生和女生各有多少人？ (2)已知每名学生每小时可以裁剪筒身70个或裁剪筒底40个，且1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒．若要使每小时裁剪的筒身和筒底刚好配套应该分配多少名学生裁剪筒身，多少名学生裁剪筒底？ 3．学校购置了一批电脑用于拓展课的教学，分配给参加拓展课的学生每组一台电脑，如果每6名学生为一组，那么恰好空出5台电脑：如果每4名学生为一组，那么电脑恰好分完，但有2名学生没有分配到电脑．问：参加拓展课的学生有多少名？ (1)方法一：设学校一共购置了x台电脑，请列出方程，并完成解答； (2)方法二：设参加拓展课的学生有名，请列出方程，不用解答； (3)比较上述两种方法，你会选择哪一种方法解决这个问题？谈谈你的理由． 4．为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 5．为迎接校运动会，六年级分为A、B两组同学，共做了99面红旗．如果A组再做3面，B组少做4面，那么这时B组的红旗面数将比A组的红旗面数的多8面． (1)A组和B组各制作了多少面红旗？（用方程求解） (2)将B组做的红旗插在短跑直线赛道的两旁，每隔5米插一面，两端都插，则这条赛道长多少米？ 6．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 二、工程问题 7．某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批礼品共有多少件？ (2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差． 8．已知某水池有甲、乙两个进水管．单独开放甲管，可以将空水池注满；单独开放乙管，可以将空水池注满．如果先打开甲管对空水池注水，再打开乙管同时注水，那么注满水池还需多少小时？ 9．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 10．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． (2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 11．两组同学参加某项公益活动．已知第一组同学单独做需要完成，第二组同学单独做需要完成．若第一组同学先做，再由两组同学一起完成剩下的部分，则还需多少分钟才能完成？ 12．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则差25本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 三、配套问题 13．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 14．某服装厂要生产同一种型号的服装，已知长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套． （1）现库内存有布料，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ （2）如果恰好有这种布料，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果） 15．某车间加工机轴和轴承，已知一个工人平均每天可以加工15根机轴或10个轴承，1根机轴和2个轴承配成一套，现在该车间共有80名工人，则应该分配多少工人加工机轴，才能使每天加工的机轴和轴承配套？ 16．某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件．2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？ 17．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 18．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)新调入名工人 (2)应安排名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的实际问题应用，知识点包括一元一次方程的建立与求解、配套问题的数量关系分析． （1）根据人数的数量关系列方程求解，核心是理解“调整后总人数比新调入人数的倍多人”这一条件，设新调入人数为未知数，建立方程求解； （2）根据“个螺栓需要个螺母”的配套关系，得出螺母数量是螺栓数量的倍这一关键等式，设生产螺栓的工人数为未知数，分别表示螺栓和螺母的数量，建立方程求解． 【详解】（1）解：设新调入名工人． 根据题意，列方程得，解得． 答：新调入名工人． （2）解：由（1）知调整后总人数为名． 设安排名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母． 根据题意，列方程得， 解得； 答：应该安排名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 2．(1)男生21人，女生24人 (2)分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人，根据班级总人数为45人列出方程求解即可； （2）设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底，根据1个筒身需要搭配2个筒底才能组装成一个完整的笔筒建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级（3）班的女生人数为人，则男生人数为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：七年级（3）班的男生人数为21人，女生人数为24人； （2）解：设分配m名学生裁剪筒身，则分配名学生裁剪筒底， 由题意得，， 解得， ∴， 答：分配10名学生裁剪筒身，35名学生裁剪筒底． 3．(1) 解：设学校一共购置了x台电脑， 根据题意，得， 解得， 则， 答：参加拓展课的学生有66名； (2) (3) 解：选择方法一，理由：间接设元列出的方程比较简单，方便求解． 选择方法二，理由：直接设元列出方程，求解即可得出答案．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设学校一共购置了x台电脑，根据学生的人数相等列出方程，求出的值即可解答； （2）设参加拓展课的学生有名，根据电脑的数量相等即可列出方程； （3）比较两种方法即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设参加拓展课的学生有名， 根据题意，得； （3）略 4．(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 【分析】（1）设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元，根据“购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元”列出一元一次方程求解； （2）设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，根据“购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这批树苗的费用为元，用含的代数式表示出，再根据一次函数的性质求最小值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元； （2）解：设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株， ， 解得：， 设购买这批树苗的费用为元，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，． 答：购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元． 5．(1)A组制作47面红旗，B组制作52面红旗 (2)125米 【分析】（1）设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗，根据题意中的等量关系列出一元一次方程进行解题即可； （2）根据植树问题列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设A组制作了面红旗，故B组制作了面红旗， 根据题意可得， 解得， B组， 答：A组制作47面红旗，B组制作52面红旗； （2）解：米， 答：这条赛道长125米． 6． 【分析】设这批水果有千克，根据题意，逐步计算分给大班、中班、小班、小托班水果重量及剩下水果重量，再列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果有千克， 所以分给大班千克，剩下千克， 分给中班千克，剩下千克， 分给小班千克，剩下千克， 分给小托班千克，剩下千克， ，解得， 答：这批水果有千克． 7．(1)这批礼品共有3600件； (2)两种方案的费用差为6000元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天，利用公式：生产总量生产时间生产效率，列出方程，求解即可； （2）分别计算乙工厂单独生产，甲、乙两个工厂共同生产的费用，再将2个计算结果作差即可解答． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批礼品需要x天，则甲工厂单独生产这批礼品需要天， 根据题意得：， 解得：， ． 答：这批礼品共有3600件． （2）乙工厂单独生产的费用：（元）， 甲、乙两个工厂共同生产的费用：（元）， 两种方案的费用差为（元）． 答：两种方案的费用差为6000元． 8．8小时 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设水池总容量为1，甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时，设注满剩余水池还需小时，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设水池总容量为1， 甲管注水速率为每小时，乙管注水速率为每小时， 设注满剩余水池还需小时， 则， 解得：， 答：注满水池还需8小时． 9．(1)甲组每天生产个套盒 (2)增加人员前，甲组有名工人 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； （2）解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 10．(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 11．24分钟 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系． 设还需分钟完成，总工作量为1，分别计算第一组和第二组的工作效率，再根据第一组先完成的工作量求出剩余工作量，最后利用合作效率列方程求解即可． 【详解】解：设还需分钟完成，总工作量为1，第一组的工作效率为，第二组的工作效率为， 则， 解得：． 故还需24分钟． 12．(1)这个班有45名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】（1）设这个班有名学生，根据如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则差本．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设应先安排人整理图书，现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，正好完成这项任务，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这个班有名学生． 由题意，得， 解得． 答：这个班有名学生． （2）解：设应先安排人整理图书． 由题意，得， 解得． 答：应先安排人整理图书． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13．(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 14．（1）做上衣用布料，则做裤子用布料；72套；（2）最多可以生产80套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子． 【分析】（1）设做上衣用布料，从而可得做裤子用布料，再根据“长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套”建立关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）先求得生产一套需要布料m，可生产80套衣服，还余布料2 m，再进行分析求解即可得． 【详解】解：（1）设做上衣用布料，则做裤子用布料， 由题意得：， 解得， 则， 可以生产套衣服； 答：做上衣用布料，做裤子用布料；可以生产72套衣服； （2）由（1）知：做一件上衣需要布料(m)， 做一条裤子需要布料(m)， 则生产一套需要布料(m)， (套)，还余布料2 m， 2 m布料可做上衣(件)，还余布料0.5 m， 2 m布料可做裤子(条)， 答：最多可以生产80套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 15．20个工人加工机轴，则60个人加工轴承. 【分析】利用一根机轴和两个轴承配成一套，分别表示出机轴和轴承的个数得出等式进而求出即可． 【详解】设x个工人加工机轴,则(80−x)个人加工轴承，根据题意可得： 2×15x=10(80−x) 解得：x=20， 故80−20=60(人). 故答案为20个工人加工机轴，则60个人加工轴承. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程. 16．应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名 【分析】设安排x名工人生产甲型零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解之即可． 【详解】解：设安排x名工人生产甲型零件，则（38-x）人生产乙型零件， 由题意得：， 解得：x=20， 38-20=18， ∴应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 17．用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒． 【分析】设用x张制作盒身，则用（144−x）张铁皮制作盒底，可以正好制成配套罐头盒，根据盒底的个数为盒身的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设用张制作盒身，张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒． 根据题意，得．             解得．               所以． 答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 18．加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 两个甲种部件和三个乙种部件配成一套的等量关系为：甲种部件的个数乙种部件的个数，设加工的甲部件的有人，则加工的甲部件的人数加工的乙部件的人数，进而列方程求解即可. 【详解】解：设加工的甲部件的有人，加工的乙部件的有人． 可得：， 解得：， ． 所以加工的甲部件的有25人，加工的乙部件的有60人． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $