5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按方案选择、销售盈亏、工程问题分类设计，通过基础情境到综合应用的分层训练，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一情境方程应用|如公园门票（1题）、运输费用（5题），直接建立等量关系| |进阶层|多条件问题解决|如水果售卖（7题）、零件配套（8题），需分析数量关系| |提升层|综合方案优化|如运动装备购买（2题）、芯片研发（16题），涉及分类讨论与参数计算|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、方案选择问题 1．公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~40张 41~80张 80张以上 每张票的价格 15元 13元 11元 某校七年级（1）（2）两个班共82人去游园，其中（1）班有30多人，不足40人．经计算，若两个班都以班为单位购票，则一共应付1142元． (1)两个班各有多少名学生？ (2)两个班作为一个团体购票，比两个班都以班为单位购票省多少元？ (3)如果七（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ 2．为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的标价出售同种品牌的足球运动服和足球，已知每套运动服比每个足球贵40元，3套运动服与5个足球的费用相等． (1)求每套运动服和每个足球的标价分别是多少？ (2)甲商场优惠方案是：每购买10套运动服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买运动服超过50套，则购买足球打八折．若该校购买100套运动服和a个足球（其中且为整数），则当购买的足球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 3．某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折进行出售．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)若到购买那天乙店再次降价，全部按定价的八折进行出售，则当该班购买8盒乒乓球时，去哪家商店购买更划算？ 4．一种蔬菜在某批发市场上的销售价格如下： 购买数量 不超过15千克 15千克以上且不超过35千克 35千克以上 价格 8元/千克 元/千克 元/千克 已知小明两次购买了此种蔬菜共60千克（第二次购买数量多于第一次） (1)若第一次购买12千克，则两次的总费用为______元； (2)若第一次购买的数量超过15千克，且两次购买蔬菜的总费用为400元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？ 5．某公司要把某物品运往外地，现有两种运输方式可供备选． 方案一：使用货运的货车运输，装卸收费600元，另外每千米运输路程再加收6元； 方案二：使用铁路的火车运输，装卸收费1160元，另外每千米运输路程再加收4元． (1)你认为什么情况下两种运输费用一致？ (2)当运输路程为400千米时，选择哪种运输更合适？ 6．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用客车若干辆．若租用载客量45人的客车，有15人没有座位；若租用载客量60人的客车，则可少租一辆车，且恰好坐满． (1)求原计划租用多少辆客车？ (2)已知载客量45人的客车租金为每辆1000元，载客量60人的客车租金为每辆1300元，若只租用同一类型（载客量相同）的车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？ 二、销售盈亏问题 7．为丰富学生的社会实践活动，七年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花360元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 水果种类价格 批发价（元/千克） 零售价（元/千克） 苹果 6 9 桔子 8 12 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？ (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 8．某工厂车间有20名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． (1)求该工厂有多少名工人生产A零件，多少名工人生产B零件？ (2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元？ 9．某超市计划购进甲、乙两种商品共1200件，这两种商品的进价、售价如下表： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 25 30 乙 45 60 (1)若超市现有进货资金恰好为46000元，则应购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)为使乙商品畅销，在（1）的条件下，超市决定对乙商品进行打折出售，且全部售完后，乙商品的利润率为20%，请问乙商品需打几折？ 10．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 元/件 (1)小明买这种商品花了590元，列方程求购买这种商品多少件？ (2)若小明花了n元（），恰好购买件这种商品，求n的值． 11．为增强学生体质，丰富校园体育活动，某校计划购买一批篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球的费用比1个足球多元，且购买2个篮球和3个足球共花费元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元？(列一元一次方程解答) (2)若该校购买篮球和足球共个，用去元，求该校购买篮球和足球各多少个？ 12．某超市购进甲、乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒的数量比乙种水果礼盒的数量少15盒，甲种水果礼盒每盒的进价为80元，乙种水果礼盒每盒的进价为70元，该超市购进甲、乙两种水果礼盒共花费了6300元. (1)该超市购进甲、乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该超市将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒10盒和乙种水果礼盒20盒后，超市决定将剩余的甲种水果礼盒打八折出售，请问剩余的乙种水果礼盒打几折出售，才能使得两种水果礼盒全部销售完后所获得的总利润为2300元？ 三、工程问题 13．（1）学校安排学生住宿，若每室住6人，则有20人无法安排；若每室住8人，可空出2个房间，其余所有的房间都住满，求这个学校的住宿学生有多少人？ （2）一件工作甲独做12小时完成，乙独做8小时完成，现由甲独做2小时，剩下的由甲乙合作，剩下的部分需要几小时完成？ 14．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 15．为提升乡村休闲旅游产业，推动乡村全面振兴．某地政府计划对辖区内一条长15千米的公路进行维护升级，计划由甲、乙两个工程队联合完成．若甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程．已知甲工程队每天比乙工程队每天少施工0.3千米． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为8000元，乙工程队每天的施工费用为10000元，若先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务，则共需施工费用多少元？ 16．在科技飞速发展的当下，芯片作为信息技术产业的核心，其研发水平直接关系到国家科技竞争力与产业话语权．为突破关键核心技术瓶颈，甲、乙两个科研团队携手开展一款高端芯片的研发工作．已知甲科研团队单独完成这款芯片的研发需要20个月，乙科研团队单独完成这项研发需要30个月． (1)若甲科研团队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两个团队合作，还需要多少个月才能完成？ (2)甲、乙两个科研团队共同完成，若甲科研团队工作的总月数是乙科研团队工作的总月数的，求甲、乙科研团队各工作了多少个月． 17．把一批图书分给七年级某班的学生阅读，若每人分2本，则剩余17本；若每人分3本，则差31本． (1)这个班有多少名学生？ (2)读书周期间，这个班级的学生去图书馆整理图书，由1个人做要30h完成．现计划由一部分人先做3h，然后增加2人与他们一起再做6h，正好完成这项任务．假设这些人的效率相同，具体应先安排多少人整理图书？ 18．甲、乙两工程队共同承包了一段长4600米的排污管道铺设工程，计划由两工程队分别从两端相向施工．已知甲队平均每天可完成230米，乙队平均每天比甲队多完成115米． (1)若甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要几天？ (2)若甲乙两队共同施工5天后，甲队被调离去支援其他工程，剩余的部分由乙队单独完成，则乙队需再施工多少天才能完成任务？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)七年级（1）班有38名学生，（2）班有44名学生 (2)两个班作为一个团体购票比分别购票省240元 (3)七（1）班单独组织去游园，购买41张票最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算等知识； （1）设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生．由题意知，七年级（2）班人数超过了41人，根据“两班一共应付1142元”得方程并解之即可；　 （2）丙班分别购票所需的费用减去两班作为团体购票的费用即可； （3）分别计算出单独购票、购买团体票的费用，比较即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生． 因七年级（1）班有30多人，不足40人七年级，两人班总共82人，则（2）班人数超过41人． 根据题意得方程：． 解得． 则． 答：七年级（1）班有38名学生，（2）班有44名学生． （2）解：（元）． 答：两个班作为一个团体购票比分别购票省240元． （3）解：七（1）班单独组织去游园． 若按实际人数购票，需花费：（元）． 若购买41张票，需花费：（元）． 因为， 所以七（1）班单独组织去游园，购买41张票最省钱． 2．(1)每套运动服的标价是100元，每个足球的标价是60元； (2)当购买50个足球时，在两家商场购买所需的费用一样． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个足球的标价是元，则每套运动服的标价是元，根据3套运动服与5个足球的费用相等，可列出关于的一元一次方程，解之可求出每个足球的标价，再将其代入中，即可求出每套运动服的标价； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个足球的标价是元，则每套运动服的标价是元， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每套运动服的标价是100元，每个足球的标价是60元； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：当购买50个足球时，在两家商场购买所需的费用一样． 3．(1)当购买乒乓球34盒时，两种优惠办法付款一样 (2)去甲店购买更划算. 理由：当该班购买8盒乒乓球时， 甲：（元）， 乙：（元）， 因为，所以去甲店购买更划算， 答：去甲店购买更划算． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，得出方程，准确计算； （1）设该班购买乒乓球盒，根据当两种优惠办法付款一样时，得出，解方程即可； （2）根据该班购买8盒乒乓球，求出两个商店需要付的钱数，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设该班购买乒乓球盒，则： 甲：， 乙：， 当两种优惠办法付款一样时， ， 解得， 答：当购买乒乓球34盒时，两种优惠办法付款一样． （2）略 4．(1) (2)第一次购买此种蔬菜20千克，第二次购买此种蔬菜40千克 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）先求出第二次购买的数量，再根据所给的价格与数量的关系进行求解即可； （2）设第第一次购买的数量为千克，第二次购买的数量千克：然后分若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内；若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内．若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，三种情况根据价格与数量的关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：总费用为元； 故答案为： （2）解：设第第一次购买的数量为千克，第二次购买的数量千克： ①若第一次、第二次购买的数量都在15千克以上且不超过35千克的范围内， 得．方程无解，不合题意． ②若第一次购买的数量在15千克以上且不超过35千克内， 第二次购买的数量超过35千克，得． 解得．． ③若第一次购买的数量在35千克以上，则第二次购买的数量少于第一次的数量，不合题意． 答：第一次购买此种蔬菜20千克，第二次购买此种蔬菜40千克． 5．(1)运输路程是280千米时，两种运输收费一致 (2)选用铁路的火车运输方式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设运输路程是千米，根据两种运输的总费用相等列出方程，求解即可； （2）把路程为400千米代入，分别计算两种运输的总费用，比较其大小即可． 【详解】（1）设运输路程是千米， 根据题意得： 解这个方程，得 答：当运输路程是280千米时，两种运输收费一致； （2）方案一：所需费用（元） 方案二：所需费用（元） 因为 所以选择火车运输更合适． 答：若运输路程是400千米，这家公司应选用铁路的火车运输方式． 6．(1)租45座客车5辆 (2)租60座客车4辆合算 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． （1）根据游客总数不变，列方程求解即可； （2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍． 【详解】（1）解：设原计划租客车辆． 根据题意列方程得：， 解得：． 答：原计划租45座客车5辆； （2）解：租45座客车：（辆），所以需租6辆， 租金为（元）， 租60座客车：（辆），所以需租4辆， 租金为（元）． ． 答：租用4辆60座客车更合算． 7．(1)第一小组当天批发苹果20千克，批发桔子30千克 (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚180元 【分析】本题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系建立方程． （1）设第一小组当天批发苹果千克，则批发桔子千克，根据表格数据即可建立一元一次方程求解； （2）根据利润等于售价减去成本分别计算卖完这些苹果和桔子的利润，再求和即可 【详解】（1）解：设第一小组当天批发苹果千克，则批发桔子千克， 由题意得，， 解得， 所以批发桔子（千克）， 答：第一小组当天批发苹果20千克，批发桔子30千克； （2）解：由题意得，（元）， 答：该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚180元． 8．(1)该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件 (2)现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意，列出方程，即可求解； （2）设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，则有名工人生产B零件．根据题意得： ， 解， 此时， 答：该工厂有5名工人生产A零件，则有15名工人生产B零件． （2）解：设现从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元．根据题意得： ， 解得． 答：现从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利为2400元 9．(1)购进甲商品400件，购进乙商品800件 (2)9折 【分析】（1）设超市购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据题意列出方程求解即可； （2）设乙商品需打a折，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设超市购进甲商品x件，则购进乙商品件， 由题意，得 解得： 购进乙商品（件）． 答：购进甲商品400件，购进乙商品800件． （2）解：设乙商品需打a折， 由题意得，， 解得． 答：乙商品需打9折． 10．(1)购买这种商品250件 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．判断购买商品所在的档，并能根据不同的档计算花费是解决本题的关键． （1）先判断购买件数的范围，在根据所在档计算花费； （2）根据：购买件商品的花费，列出关于n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买这种商品x件， 购买100件的费用为（元），购买300件的费用为（元）， ∵， ∴， 根据题意，， 解得， 答：购买这种商品250件； （2）解：当时， 根据题意，得 解得：（不合题意，舍去）， 当时， 根据题意，得 解得：． 答：n的值为1000． 11．(1)篮球单价为元，足球单价为元； (2)购买篮球个，足球个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是找准题目中的等量关系来构建方程． （1）设足球单价为未知数，利用篮球与足球单价的差表示出篮球单价，再根据“2个篮球的总费用+3个足球的总费用=290元”这一等量关系列方程求解； （2）设篮球的购买数量为未知数，根据总购买数量表示出足球的数量，再根据“篮球的总费用+足球的总费用=3100元”这一等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元． 根据题意列方程得：， 解得：， 则篮球的单价为(元)； 答：篮球的单价为元，足球的单价为元． （2）解：设该校购买篮球个，则购买足球个． 根据题意列方程得：， 解得：， 则购买足球的数量为(个)； 答：该校购买篮球个，足球个． 12．(1)该超市购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒 (2)剩余的乙种水果礼盒打7折出售 【分析】（1）根据甲、乙两种礼盒的数量关系设未知数，结合总进价为6300元的条件列一元一次方程，求解得到两种礼盒的购进数量； （2）先计算出剩余的两种礼盒数量，设剩余乙礼盒的折扣为未知数，根据总利润为2300元的条件列方程，求解得到折扣数． 【详解】（1）解：设该超市购进甲种水果礼盒盒，则购进乙种水果礼盒盒， 根据题意得 解得， 则， 答：该超市购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒； （2）解：设剩余的乙种水果礼盒打折出售， 由题意得，剩余甲种水果礼盒数量为（盒），剩余乙种水果礼盒数量为（盒）， 根据总利润为2300元得 解得， 答：剩余的乙种水果礼盒打折出售． 13．（1）这个学校的住宿学生有128人；（2）剩下的部分需要4小时完成 【分析】（1）设这个学校有x间宿舍，根据人数相同列方程即可； （2）设剩下的部分需要x小时完成，根据工作总量为单位1列方程即可． 【详解】解：（1）设这个学校有x间宿舍，得： ， 解这个方程，得， ， 答：这个学校的住宿学生有128人． （2）设剩下的部分需要x小时完成，根据题意，得： ， 解这个方程，得， 答：剩下的部分需要4小时完成． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 14．乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 15．(1)甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米； (2)212000元． 【分析】（1）设乙工程队每天施工千米，根据甲工程队先单独施工6天，则乙工程队还需单独施工15天可完成该工程，列一元一次方程，求解即可； （2）设甲工程队单独施工天，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由甲、乙两个工程队联合施工，则恰好14天完成施工任务列一元一次方程，求出的值，进一步求施工费用即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天施工千米， 根据题意，得， 解得， （千米）， 答：甲工程队每天施工0.5千米，乙工程队每天施工0.8千米； （2）解：设甲工程队单独施工天， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：共需施工费用212000元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立等量关系． 16．(1)9个月 (2)甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设还需要x个月才能完成，根据题意可求出甲、乙的工作效率，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可； （2）设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月，根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设还需要x个月才能完成， 由题意得，， 解得， 答：还需要9个月才能完成； （2）解：设乙科研团队工作了m个月，则甲科研团队工作了个月， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲科研团队工作了10个月，乙科研团队工作了15个月． 17．(1)这个班有名学生 (2)应先安排2人整理图书 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，包括盈亏问题和工程问题，关键是根据题目中的等量关系列出方程求解． （1）通过设未知数，利用图书总数不变这一等量关系列方程．设这个班有名学生，根据“每人分2本剩余本”可得图书总数为，根据“每人分3本差本”可得图书总数为，两者相等即可列出方程求解． （2）将总工作量看作1，设先安排人，先做的工作量为，增加2人后做的工作量为，总工作量之和等于1，据此列方程求解． 【详解】（1）解：设这个班有名学生， 根据题意，得， 解得； 答：这个班有名学生． （2）解：设先安排人整理图书，工程总量为1， 根据题意，得， 解得． 答：应先安排2人整理图书． 18．(1)甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天 (2)乙队需再施工5天才能完成任务 【分析】（1）设甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）设乙队需再施工天才能完成任务，根据甲乙两队共同施工5天，剩余的部分由乙队单独完成列方程求解即可． 【详解】（1）设甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要天 根据题意得， 解得， 答：甲乙两队同时施工，共同完成全部任务需要8天； （2）设乙队需再施工天才能完成任务 根据题意得， 解得， 答：乙队需再施工5天才能完成任务． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，认真审题、找出题中的等量关系是解答本题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $