5.3 一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按比赛积分、和差倍分、工程问题分类训练，通过典例提炼建模方法，强化从实际情境抽象等量关系的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比赛积分问题|6题（含知识竞赛、足球联赛等）|通过表格数据抽象得分规则，建立“得分=答对分-答扣分”等量关系|从比赛规则中提取数量关系，培养数据意识与模型观念| |和差倍分问题|6题（含人员调配、行程费用等）|列表梳理量间关系，利用“总量=各部分量之和”列方程|通过多量关系分析，发展抽象能力与推理意识| |工程问题|6题（含隧道挖掘、零件加工等）|明确工作总量、效率、时间关系，设元求解合作/单独工作问题|结合工程情境构建方程，提升应用意识与运算能力|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、比赛积分问题 1．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)参赛者小婷得76分，她答对了几道题？ (2)参赛者小明说他得了80分．你认为可能吗？为什么？ 2．某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 3．在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 4．某次足球联赛的积分规则是：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．本次联赛中，已知A队在前25场比赛中共积52分，且胜的场数是负的场数的5倍． (1)设A队在前25场比赛中负x场，请用含x的式子将下表填写完整； A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 _______ _______ 平 _______ _______ 负 0 总计 25 52 (2)求A队在前25场比赛中，胜、平、负的场数各是多少？ 5．某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 6．学校班级篮球循环赛积分规则是，任何两班比赛都必须决出胜负，胜一场得3分，负一场得分．七（一）班共需要比赛场，已经比赛的场得分是分． (1)求七（一）班前场胜的场数． (2)若七（一）班总积分想超过分，至少还要胜多少场？ 二、和差倍分问题 7．在一次劳动课上，有31名同学在甲处劳动，有18名学生在乙处劳动．现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？ 设应调往甲处人． (1)用含的代数式填空： 甲处 乙处 原有劳动的人数 31 18 支援后劳动的总人数 (2)列方程并求解． 8．某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 9．幼儿园将一批水果分给大、中、小和小托四个班，先将全部水果的再减去千克给大班；再把余下的加上千克给中班；又把余下的一半给小班；最后把剩下的一半加上千克给小托班，这时幼儿园还剩6千克水果，则这批水果有多少千克？ 10．在碳中和目标的推进下，林业碳汇成为重要的固碳途径．研究表明，1公顷人工阔叶林每年的固碳量比1公顷人工针叶林多2吨，且5公顷人工阔叶林每年的总固碳量与7公顷人工针叶林每年的总固碳量相等．求1公顷人工阔叶林和1公顷人工针叶林每年的固碳量分别是多少． 11．某农场种植了水稻、大豆、玉米三种农作物，种植总面积为亩．已知水稻种植了亩，且玉米的种植面积比大豆种植面积的倍少亩． (1)求大豆、玉米的种植面积分别是多少亩？ (2)收割时，收割玉米所用天数比收割大豆多，且每日收割玉米的亩数比每日收割大豆的亩数多亩．求收割大豆需要多少天？ 12．五一假期，某旅行团32人在条子泥景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人． (1)求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去荷兰花海景区游玩．荷兰花海景区的门票价格40元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童． ①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？ ②若剩余经费只有330元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？ 三、工程问题 13．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 14．加工一批服装，李师傅单独做需要天，张师傅单独做需要天．如果李师傅先做若干天后，剩下的张师傅接着做，共用天完成．李师傅先做了几天？ 15．名工人加工一批零件，如果工作小时后，增加名工人，则可提前小时完成任务；如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务，则这批零件有多少个？ 16．某学校开展社会实践活动，七年级（1）班和（2）班承担了为树苗浇水的任务，已知（1）班单独完成需要，（2）班单独完成需要． (1)先由（1）班工作，然后两个班合作，前后共需几小时？ (2)如果需要在一个上午内完成，你将如何安排这次活动？ 17．一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成，丙单独做要40小时完成．现在3人合做，甲因其他事中间暂停了几小时，结果从开始算起用了12小时完成．请问甲中间暂停了几小时？ 18．整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)16道 (2) 不可能．理由如下： 设小明答对x道，则答错道， 根据题意得， 解得， ∴答对题数不是整数，所以不可能． 【分析】（1）由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，由此设设小婷答对x道题，根据题意列方程，解一元一次方程即可； （2）设小明答对x道，则答错道，根据题意列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由图表中甲的答题情况和得分可知答对一题得5分，由乙和丙可知答错一题不但不给分，还要倒扣1分，设小婷答对x道题， 根据题意得方程：， ， 解得， 答：小婷答对了16道题； （2）略 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．(1)每支队伍比赛14场 (2)甲队胜6场乙队胜4场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设乙队胜场数场为x 场，则甲队胜场数为场，则甲队的平场数为，乙队的负场数为场，根据甲队比乙队多得2分，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“任意两队之间比赛两场”可以理解为每支队伍需要与其他队伍分别比赛两场，由题意（场）． 答：每支队伍比赛14场． （2）解：设乙队胜场数场为x  则甲队胜场数为：， 所以甲队的平场数为， 乙队的负场数为， 由题意列方程， 解得， 则， 答：甲队胜6场乙队胜4场． 3．(1) 场 (2) ①胜平负； ②胜平负； ③胜平负； ④胜平负； ⑤胜平负； ⑥胜平负．（任意两种正确结果即可） 【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数； （2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合． 【详解】（1）解：设班胜了场， ∵一共场比赛，负了场， ∴平的场数为场， 根据总积分为分列方程：， 化简得， 解得， 答：班胜了场； （2）解：设班胜场，平场（为非负整数，且）， ∵总积分为分， ∴，即 取非负整数解即可： ①，则；即负场，即胜平负； ②，则负场，即胜平负； ③，则负场，即胜平负； ④，则负场，即胜平负； ⑤，则负场，即胜平负； ⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）． 4．(1) 由题意，填表如下： A队 场数（单位：场） 积分（单位：分） 胜 平 负 0 总计 25 52 (2)胜15场，平7场，负3场 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）根据胜的场数是负的场数的5倍，得到胜场数，再用总数减去胜场数减去负场数，得到平场数，再根据胜一场得3分，平一场得1分，求出胜场积分和平场积分即可； （2）根据A队在前25场比赛中共积52分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得 解这个方程，得 ，． 因此，A队胜15场，平7场，负3场． 5．(1)小明答对了20道题 (2)90分或92分或94分或96分或98分或100分 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，列出方程． （1）设答对道题，则答错或不答道题，根据得分法则列出方程求解即可； （2）根据比赛规则列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意：， ， ， 答：小明答对了20道题； （2）解：答对20题，得分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为分； 当答错1题，不答4题时，扣分，总分为分； 当答错2题，不答3题时，扣分，总分为分； 当答错3题，不答2题时，扣分，总分为分； 当答错4题，不答1题时，扣分，总分为分； 当答错5题，不答0题时，扣分，总分为分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 6．(1)七（一）班前场胜的场数是8 (2)七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题关键是准确列出方程或不等式求解． （1）设七（一）班前场胜的场数是x，先用表示出负的场数， 再列出方程求解； （2）设七（一）班还要胜y场，先用y表示出负的场数， 根据题意列不等式求解． 【详解】（1）解：设七（一）班前场胜的场数是x，则负的场数是， 根据题意列方程得：， 解得， 答：七（一）班前场胜的场数是8； （2）设七（一）班还要胜y场，则负场， 根据题意列不等式：， 解不等式得， 根据题意，y取正整数， ∴y的最小正整数解为． 答：七（一）班总积分想超过分，至少还要胜场． 7．(1)， (2)由题意列方程得，解得，则，故应调往甲处15人、乙处5人 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据“在甲处的人数为在乙处人数的2倍”，列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，设应调往甲处人，则支援后甲处劳动的总人数为，调往乙处人， 故支援后乙处劳动的总人数， 填写表格如下： 甲处 乙处 原有劳动的人数 31 18 支援后劳动的总人数 （2）解：由题意列方程，得， 解得， 则， 答：应调往甲处15人、乙处5人． 8．(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 9． 【分析】设这批水果有千克，根据题意，逐步计算分给大班、中班、小班、小托班水果重量及剩下水果重量，再列方程求解即可． 【详解】解：设这批水果有千克， 所以分给大班千克，剩下千克， 分给中班千克，剩下千克， 分给小班千克，剩下千克， 分给小托班千克，剩下千克， ，解得， 答：这批水果有千克． 10．1公顷人工阔叶林每年的固碳量为7吨，1公顷人工针叶林每年的固碳量为5吨 【详解】解：设1公顷人工针叶林每年的固碳量为吨，则1公顷人工阔叶林每年的固碳量为吨． 根据题意，得， 解得， ， 答：1公顷人工阔叶林每年的固碳量为7吨，1公顷人工针叶林每年的固碳量为5吨． 11．(1)大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩 (2)天 【分析】（1）设大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩，根据“种植总面积为亩”，列出方程，即可求解； （2）设收割大豆需要天，则收割玉米需要天，根据“每日收割玉米的亩数比每日收割大豆的亩数多亩．”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩，则 ． ∴． ∴（亩）． 答：大豆的种植面积为亩，玉米的种植面积为亩． （2）解：设收割大豆需要天，则收割玉米需要天，则 ． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：收割大豆需要天． 12．(1)成人22人，儿童10人 (2)元；可以安排或名成人带队 【分析】（1）已知总人数32人，成人比儿童多12人，可设儿童人数为未知数，利用人数和、人数差列一元一次方程求解； （2）①8名成人每人免费携带1名儿童，共免费8名儿童；剩余儿童需要购买儿童票，总费用成人票总价剩余儿童票总价； ②设安排名成人带队，先确定需要购票的儿童数量：名成人免费带走名儿童，剩余名儿童买儿童票；同时约束条件：成人最多监护名儿童，即；总费用成人票费用剩余儿童票费用，联立不等式求解的最大整数． 【详解】（1）解：设儿童有人，则成人有人， 根据总人数为32，列方程： ， 解得：， 成人人数：（人）， 故成人22人，儿童10人． （2）解：①成人票费用：元， 免费儿童数量：8名， 需要购票的儿童数量：名， 儿童票单价：元， 儿童票费用：元， 总费用：元； ②设安排名成人带队， 每名成人最多监护名儿童，总儿童人， ， 解得：， 成人票总价：元， 免费儿童：人，需购票儿童：人， 儿童票总价：元， 总费用不等式：， 解得：， 结合监护约束，且为成人人数（正整数）， 则可取、， 可以安排或名成人带队． 13．(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 14．李师傅先做了天 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握工程类问题是解题的关键．分别得出李师傅和张师傅的工作效率分别为、，再利用李师傅与张师傅的工作总量为1列式即可． 【详解】解：设李师傅先做了天，则张师傅做了天， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：李师傅先做了天． 15．个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个，利用工作总量人数工作效率时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合“如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务”，可求出个人小时按原定工作量可加工的零件数量，再结合原计划完成任务所需的时间，即可求出这批零件的数量，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个， 根据题意得，， 即， 解得， 又如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务， 个人小时按原定工作量可加工零件个， 这批零件共有个， 答：这批零件有个． 16．(1) (2)让两个班一起合作完成此项任务（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设两个班合作的时间为，将整个工程看作单位1，根据（1）班完成的工作量，加上两个班合作完成的工作量为1，列出方程，解方程即可； （2）设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为，列出方程求出y的值，然后与进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两个班合作的时间为，根据题意得： ， 解得：， 前后所用的总时间为：， 答：前后共需． （2）解：设两个班一起合作完成此项任务需要的时间为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴两个班一起合作完成此项任务符合题意； 答：如果要在一个上午内完成，可以安排两个班一起参加这次活动． 17．甲中间暂停了6小时． 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙各自完成的工作量是解题的关键．设甲中间暂停了x小时，把整个工作量看作“1”，则甲、乙、丙完成的工作量分别为 、 、 ，于是列方程得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设甲中间暂停了x小时， 根据题意得， 解得， 答：甲中间暂停了6小时． 18．具体应先安排2人工作． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设具体应先安排人工作， ， 解得，， 答：具体应先安排2人工作． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $