5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2）课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦两角和与差的三角函数公式，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从公式直接应用到复杂问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|如sin105°求值（选择1）、余弦差角公式计算（填空6），强化公式记忆与基本运算| |中档|公式变形与几何情境|如三角形内角关系判断（选择2）、单位圆中角的余弦计算（选择5），培养几何直观与推理能力| |拔高|多公式综合与探究|如含参数三角形角的关系（解答15）、角的拆分求值（解答14），发展创新意识与问题解决能力|

课时分层作业(五十四)　 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（2） 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分 一、选择题 1．求值：sin 105°＝(　　) A．　 B． C．　 D． 2．在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B，则这个三角形为(　　) A．锐角三角形　 B．钝角三角形 C．直角三角形　 D．等腰三角形 3．已知cos＝－(α为锐角)，则sin α等于(　　) A．　 B． C．　 D． 4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　　) A．　 B．－ C．　 D．－ 5．(多选)如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则以下结论正确的是(　　) A．cos α＝　 B．cos β＝ C．cos＝0　 D．cos＝0 二、填空题 6．已知cos＝，则cos α＝______． 7．已知tan α＝3，tan β＝1，则＝______． 8．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________． 三、解答题 9．(13分)(教材P220练习T5改编)已知sin(α－β)·cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值． 10．已知<α<π，且cos－cos α＝，则cos＝(　　) A．－　 B． C．－　 D． 11．已知0<β<α<，且cos(α－β)＝，cos 2β＝－，则sin(α＋β)＝(　　) A．　 B． C．　 D． 12．已知0<α<β<，cos 2α＋cos 2β＋1＝2cos(α－β)＋cos(α＋β)，则(　　) A．α＋β＝　 B．α＋β＝ C．β－α＝　 D．β－α＝ 13．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________． 14．(13分)已知cos α＝，且α，β∈． (1)若sin(α－β)＝，求cos(2α－β)的值； (2)若sin β＝，求α－β的值． 15．(15分)在△ABC中，cos Acos B＝________＋sin Asin B．已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，试比较实数a，b，c的大小关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(五十四) 1．B　[sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝＋＝，故选B．] 2．B　[∵在△ABC中，sin Asin B<cos Acos B， ∴cos(A＋B)>0，∴cos C<0， 则C为钝角，故△ABC是钝角三角形．] 3．C　[∵cos＝－(α为锐角)， ∴sin＝． ∴sin α＝sin ＝sin－cos ＝×－×＝．] 4．A　[因为cos B＝，且0<B<π， 所以sin B＝，又A＝，C＝π－(A＋B)， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sincos B＋cossin B＝×＋×＝．] 5．AD　[由三角函数定义可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，A正确，B错误； cos＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－， cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝0，C错误，D正确．故选AD．] 6．　[由题意知0<α－<， 又cosα－＝， 所以sinα－＝， 所以cos α＝cosα－＋ ＝cosα－cos－sinα－·sin ＝×－×＝．] 7．－1　[因为tan α＝3，tan β＝1， 所以＝＝ ＝＝－1．] 8．－　[由题意可知 ①2＋②2得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 即sin(α＋β)＝－．] 9．解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－， ∴sinβ＋＝sin βcos＋cos βsin ＝－×＋－×＝－． 10．A　[cosα－－cos α＝cos αcos ＋sin αsin －cos α＝sin α－cos α＝sinα－＝，因为<α<π，所以<α－<，则cosα－＝－．故选A．] 11．B　[因为0<β<α<，所以0<α－β<， 又cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝＝＝． 因为0<β<，所以0<2β<π， 因为cos 2β＝－， 所以sin 2β＝＝ ＝， 所以sin(α＋β)＝sin[(α－β)＋2β] ＝sin(α－β)cos 2β＋cos(α－β)sin 2β ＝×－＋×＝． 故选B．] 12．D　[由已知可令2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，则cos[(α＋β)＋(α－β)]＋cos[(α＋β)－(α－β)]＋1＝2cos(α－β)＋cos(α＋β)， 2cos(α＋β)cos(α－β)－2cos(α－β)－cos(α＋β)＋1＝0， [cos(α＋β)－1][2cos(α－β)－1]＝0， 即cos(α＋β)＝1或cos(α－β)＝． 又0<α<β<， 所以0<α＋β<π，－<α－β<0， 所以cos(α＋β)≠1， 即cos(α－β)＝，则α－β＝－， 所以β－α＝，故选D．] 13．－1　[＝sin 15°－cos 15° ＝2sin 15°－cos 15° ＝2sin(15°－45°) ＝2sin(－30°) ＝－1．] 14．解：(1)根据α∈，cos α＝，可得sin α＝＝， 由α－β∈，sin(α－β)＝，可得cos(α－β)＝＝， 所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝×－×＝． (2)由(1)知sin α＝， 根据sin β＝，β∈，可得cos β＝＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝， 结合α－β∈，可得α－β＝． 15．解：由题意，得横线处的实数应为cos(A＋B)，即cos(π－C)． 故当C是直角时，a＝cos(A＋B)＝cos＝0； 当C是锐角时，－1<b＝cos(A＋B)<0； 当C是钝角时，0<c＝cos(A＋B)<1， 故b<a<c． $