精品解析：江苏省启东中学2027届高三上学期第一次阶段测试数学试卷

2027届高三数学第一阶段测试试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 7. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 三、填空题 12. 已知函数，若、，，则_________． 13. 已知函数满足，．则________． 14. 已知，，且满足，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学第一阶段测试试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：若，，，则平行、异面、相交均有可能，错； B：若，，则或，错； C：若，，则或，错； D：若，，则，又且，是两条不同的直线，则，对. 4. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. -1 B. 1 C. 1或-1 D. 1或-1或0 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，结合定义域关于原点对称，对a的可能整数值逐一验证. 【详解】函数为偶函数需满足两个条件：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，均有。 当时，，定义域为，关于原点对称，对任意，都有，满足偶函数定义； 当时，，定义域为，关于原点对称，  ，满足偶函数定义； 当时： ，定义域为，关于原点对称，  ， 满足偶函数定义； 综上，或或 6. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 7. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 8. 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知方程，则方程的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用将方程转化为不等式，确定的范围，然后分段讨论即可. 【详解】因为，所以， 即，解得或， 当时，，此时（舍去）； 当时，，此时， 解得或（舍去）； 当时，，此时，满足题意. 二、多选题 9. 已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设公共值转化方程并用对数值表示，分析参数趋向两端无穷时三者的大小趋势，得到两种序关系；时得；构造辅助函数，用定义判断函数的单调性从而证明C选项中的关系不可能出现. 【详解】设， 则，， ，其中， 令，则， ，，， 当时，，，， 此时，选项D成立； 当时，， 因为，所以，即，选项A成立； 当时，， C选项，，即， ①， 先解，，解得， 再解， ， 任取， 则 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，， 即， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾， 不存在使得，选项C错误. 10. 已知函数（，且，）的最小值为1，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A： 当，则，所以在上单调递减，不存在最小值；对于B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值；对于C. 结合AB及函数的最小值可知是极小值点，从而可判断其正误；对于D. 举反例，取，则，矛盾. 【详解】A.当，则，所以在上单调递减，不存在最小值，矛盾，A错误； B. 若，则，所以在上单调递增，不存在最小值，矛盾，所以，B正确； C. 由AB可得，故， 而， 因为为上的增函数，为上的增函数， 故为上的增函数， 当时，，当时，， 故在存在唯一的零点， 且时，，时，， 故在上为减函数，在为增函数，故， 若，则，与题设矛盾； 若，则，与题设矛盾； 故，故，故正确； D. ，取，则，矛盾，D错误. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A，由题意 的定义域为 ， 因为 恒成立，当且仅当时， 所以在定义域内单调递增，A正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知 对恒成立，代入 整理得，令， 解得，所以的对称中心为 ，B正确； 选项C，因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时 ，C正确； 选项D，因为为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以 ，则， 故 ，得，D错误. 三、填空题 12. 已知函数，若、，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据解析式得到，可得出，由此可得出结果. 【详解】，，则，， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为 ， 因为，则， 因此，. 13. 已知函数满足，．则________． 【答案】110 【解析】 【分析】利用赋值法，先求得，再求得，最后用累加法求得. 【详解】函数满足，， 令，得. 令，得， 即. 所以， ， ， …… ， 累加得，， 所以. 14. 已知，，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，令，变形得到，由基本不等式得最小值为． 方法二：设其中，．令再令，得到，由基本不等式得到最小值为. 【详解】方法一：令，由，得 令 因为，所以，且从而 于是，， ， 因为，所以由基本不等式得， 因此，当且仅当，即 时等号成立． 此时 由，，得 此时，，且，所以所求最小值为． 方法二：设其中，． 由 ，得 因此， ， 令则， 且 再令 则 由基本不等式 所以 当 ，即时等号成立． 此时，所以． 结合，得 故所求最小值为 ． 四、解答题 15. 已知集合，，且为非空集合． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解对数不等式化简集合，代入化简绝对值不等式得到集合，再根据两集合交集为空列出区间无重叠的不等式，结合求出的范围； （2）令写出集合，由充分条件知此时，转化为两区间有公共元素的不等式，解不等式得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得， 而为非空集合，则，， 当时，， 因为，所以或，解得， 故实数的取值范围． 【小问2详解】 若“”，则， 而“”是“”的充分条件， 则 ， 所以或或， 解得或或，即， 所以实数的取值范围． 16. 已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． （1）求函数，的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【小问1详解】 是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． 【小问2详解】 由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 17. 已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【小问1详解】 因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． 【小问2详解】 当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点. （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. （2） （3）或不存在 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，， 所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，， 所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 19. 已知函数的定义域是D．对于，定义集合． （1）若，求； （2）对于集合A，若对任意都有，则称A是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； （3）若函数的定义域为，对任意,．试求b的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】（1） （2）证明： 必要性：因为是偶函数，所以任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义，代入数值，解不等式； （2）分必要性和充分性，结合偶函数的定义，以及“对称集”的定义，即可证明； （3）由定义可知，，所以在上单调不减，利用导数分析函数的单调性，求的取值范围. 【小问1详解】 由定义得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以恒成立. 所以. 当时，，等号仅当时成立，所以单调递增， 而，所以对任意，； 当时，若满足， 即时，，而， 因此当时，，不合题意 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $