江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 4. 设是抛物线的焦点，是上一点，且（为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 5. 若某社交APP的用户数每月增长，则用户数从100万户增加到1000万户需要的时间约为（ ） A. 15月 B. 25月 C. 35月 D. 45月 6. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 6 8. 已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ） A. 不可能是增函数 B. 不可能是偶函数 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，为AB的中点，则下列结论一定成立的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 的极大值为 C. 存在， D. 有最小值，无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量满足，且与的夹角为，则____________. 13. 已知直线是曲线和的公切线，则实数____________. 14. 已知四面体ABCD的顶点都在表面积为的球面上，若，则四面体ABCD的体积的最大值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：是等差数列； （2）记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求. 17. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为是上异于顶点的两点. （1）求的方程； （2）若在第一象限，的面积是的面积的2倍，求的坐标； （3）记在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断过点，，三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 19. 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1）已知，证明：对任意的最小导周期为4； （2）设，若函数的最小导周期为2，记，当实数a，b变化时，求的最小值； （3）设，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 因为底面，底面，所以. 又底面为矩形，所以， 又平面，且，所以平面. 又平面，所以. （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为，显然，所以， 所以， 即， 又，所以是以2为首项1为公差的等差数列. （2） 【17题答案】 【答案】（1），不独立； （2）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）是,圆的方程为. 【19题答案】 【答案】（1） 证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. 即最小导周期为4. （2） （3），证明： 因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $