第三十章 直线与圆的位置关系【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了直线与圆的位置关系、切线的性质与判定、三角形的内切圆及正多边形与圆等核心内容，通过知识框架图和对比表格将相离相切相交的判定条件、切线辅助线作法、正多边形四要素及公式等知识点串联，构建完整知识网络。 其亮点在于突出“模型化”复习策略，如正多边形计算依托“半径-边心距-半边长”直角三角形模型，结合中考考法设计分层练习，从基础选择填空到拔高解答题，培养学生几何直观和推理意识，帮助学生巩固核心知识，教师可精准把握复习重点。

人教版（新教材）数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 30.3 正多边形与圆（专项精讲） 一、核心知识点（中考必考） 1. 正多边形定义 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。 注意：仅各边相等或仅各角相等不是正多边形（例如菱形、矩形）。 2. 正多边形与圆的关系 把一个圆$$n$$等分（$$n\ge3$$），依次连接各分点，可得到这个圆的内接正n边形；这个圆叫做正多边形的外接圆。 任意正多边形有且只有一个外接圆和一个内切圆，且两圆同心。 3. 正多边形四要素（必考概念） ① 中心：正多边形外接圆的圆心。 ② 半径：正多边形外接圆半径（中心到顶点的距离）。 ③ 边心距：正多边形中心到边的距离（也是内切圆半径）。 ④ 中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。 4. 三大核心公式（背诵秒杀） 设正多边形边数为$$n$$，外接圆半径为$$R$$： 1. 中心角公式：$$\theta=\dfrac{360^\circ}{n}$$ 2. 内角公式：$$\text{内角}=\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$$ 3. 外角公式：任意正多边形外角和为$$360^\circ$$，单个外角$$=\dfrac{360^\circ}{n}$$ 5. 正多边形计算模型（万能直角三角形） 正多边形计算全部依托半个中心角、半条边长、边心距、外接半径构成的直角三角形： 半径$$R$$为斜边，边心距、半边长为两条直角边，满足勾股定理： $$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+r^2=R^2$$ $$a$$：边长，$$r$$：边心距，$$R$$：外接圆半径 二、常见正多边形特殊结论（填空速用） 1. 正六边形：边长 = 外接圆半径（最常考） 2. 正四边形（正方形）：对角线 = $$\sqrt{2}R$$ 3. 正三角形：边长$$=\sqrt{3}R$$ 三、高频易错点 1. 中心角、外角公式永远是$$\dfrac{360^\circ}{n}$$，内角公式不要记混； 2. 边心距是到边的距离，半径是到顶点的距离； 3. 正多边形的外接圆与内切圆同心圆，圆心都是正多边形中心； 4. 正多边形都是轴对称图形，偶数边还是中心对称图形。 --- 四、专项练习题 选择题（每题4分） 1. 正六边形的中心角为（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 正五边形的每个内角度数为（） A. 72° B. 108° C. 120° D. 144° 3. 关于正多边形与圆，说法正确的是（） A. 菱形是正多边形 B. 正多边形中心到各边距离相等 C. 正多边形外接圆与内切圆不同心 D. 矩形是正多边形 填空题（每题4分） 4. 正多边形的中心角计算公式是________。 5. 正八边形的中心角为________°。 6. 正六边形边长为4，则其外接圆半径为________。 计算题（20分） 7. 已知正六边形外接圆半径为6，求正六边形的边长和边心距。 拔高解答题（28分） 8. 已知正方形外接圆半径为$$2\sqrt{2}$$，求正方形的边长、边心距和面积。 --- 五、参考答案与详细解析 1. B 解析：正六边形中心角$$360^\circ\div6=60^\circ$$。 2. B 解析：内角$$\dfrac{(5-2)\times180^\circ}{5}=108^\circ$$。 3. B 解析：菱形、矩形边长、角度不全部相等，不是正多边形；正多边形内外接圆同心。 4. $$\dfrac{360^\circ}{n}$$ 5. 45 解析：$$360^\circ\div8=45^\circ$$。 6. 4 解析：正六边形边长等于外接圆半径。 第7题解析 解：正六边形边长等于外接圆半径，故边长$$a=6$$。 半边长为3，半径$$R=6$$，由勾股定理： 边心距$$r=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$。 答：边长为6，边心距为$$3\sqrt{3}$$。 第8题解析 解：正方形外接圆半径$$R=2\sqrt{2}$$， 半边长与边心距相等，设为$$x$$， 由勾股定理：$$x^2+x^2=(2\sqrt{2})^2$$，解得$$x=2$$， 边长$$=4$$，边心距$$=2$$，面积$$=4\times4=16$$。 本节小结 正多边形与圆核心就是一套公式、一个直角三角形模型。熟记中心角、内角、外角公式，掌握半径、边心距、边长的勾股关系，尤其牢记正六边形边长等于外接圆半径的特殊结论，可解决本章所有选择、填空、计算题型，是中考基础必考内容。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 直线与圆的位置关系 正多边形与圆 相交 相切 相离 画正多边形 三角形的内切圆 切线长定理 2 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d>r d=r d<r 公共点名称 — 切点 交点 直线 l 名称 — 切线 交线 总结 直线l与⊙O相离 ⇔d>r. 直线l与⊙O相切 ⇔d=r. 直线l与⊙O相交 ⇔d<r. 直线与圆的位置关系 知识点2 切线的性质与判定 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点2 切线的性质与判定 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 需证切线 切线的判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 切线判定的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 与切线相关的常见辅助线作法 知识点2 切线的性质与判定 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点. 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 尺规作图步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 知识点4 正多边形与圆 正多边形： 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形与圆的关系： 名称 概念 图示说明 圆内接正多边形 把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 的内接正九边形 圆外切正多边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 的外切正六边形 知识点4 正多边形与圆 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正n边形的每个内角都为. 内角 α= =120° 中心角等于外角： 半径、边长、边心距的关系： 周长：l=6a 面积：S=​lr 中心角 正n边形的每个中心角都为 外角 正n边形的每个外角都为. 半径、边长、边心距的关系 周长 正n边形的周长 . 面积 正n边形的面积 S=ar⋅n=​lr. 与正 n 边形有关的计算公式（正 n 边形的半径为 R，边长为 a，边心距为 r） 一、核心考点巩固 考点1 直线与圆的位置关系 （第1题） 1.半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中 有一个圆的圆心到直线 的距离为4，则这个圆是 ( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 11 2.的半径为，点到直线的距离为，，是关于 的方程 的两根，当直线与相切时， 的值为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 返回 考试考法 12 考点2 切线的性质与判定 （第3题） 3.如图，，为的两条弦，过点 的切线交 的延长线于点，若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 13 （第4题） 4.如图，，是的切线，，为切点， 是直径， ， 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 5.如图，在中，直径与弦交于点，连接 ，过 点的切线与的延长线交于点.若 ，则____ . 66 （第5题） 返回 考试考法 15 6.[山东中考] 如图，在中，点在上，边交于点 ， 于点，是 的平分线. （1）求证：为 的切线； 考试考法 16 解：证明： ， . ， . 是 的平分线， ， ，即 ， 又是的半径，为 的切线. 考试考法 17 （2）若的半径为2， ，求 的长. 解： ， ， 是等腰直角三角形， . 的半径为2， ， ， . 返回 考试考法 18 7.如图，是的弦，是 延长线上一点. （1）过点作的切线，切点在直线 的下方；（要求：尺规 作图，不写作法，保留作图痕迹） 考试考法 19 解：如图①， 即为所求. 考试考法 20 （2）在（1）的条件下，连接，.求证： . 解：如图②，连接， ， 设 ，是 的切线， ， . ， ， 在中， ， . 返回 考试考法 21 考点3 三角形的内切圆 （第8题） 8.如图，已知是的内心， ， 为平面上一点，点恰好又是 的外心，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 22 9.[西宁中考] 如图，四边形是的外切四边形， ， ，则四边形 的周长为____. 48 （第9题） 返回 考试考法 23 10.如图，在中， ，，与 的三边分别 相切于点，，，若的半径为2，求 的周长. 考试考法 24 解：连接，，设 ， 与的三边分别相切于点，， ， ，，，， ， 又 ， ， 四边形 为正方形. 的半径为2， . 又， . 考试考法 25 在中， ， ， 解得， ， ，， 的周长为 . 返回 考试考法 考点4 正多边形与圆 11. 苯（分子式为 ）环状 结构中的6个碳原子组成了一个完美的正六 边形（如图①），图②是其平面示意图， 已知点为正六边形 的中心，则其 中心角的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 27 12.半径为 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为 ，，，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 28 二、思想方法演练 思想1 分类讨论思想 13.[上海中考] 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边 上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小 是____________. 或 返回 考试考法 29 思想2 方程思想 14.[湖北中考] 如图，是的外接圆， .过点 作 ，垂足为，交于点，交于点.过点作 的切线， 交的延长线于点 . 考试考法 30 （1）求证： ； 解：证明：是 的切线， . 又, , ， ， . 考试考法 31 （2）若,，求 的半径. 解： ， . 由（1）知 . 又 ,是等腰直角三角形， , 由（1）得 ， . 考试考法 32 连接.设，则 ， 在中， ， ,解得 , , 即的半径为 . 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS $