第30章 直线与圆的位置关系 【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了直线与圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长定理、三角形内切圆及正多边形与圆等核心知识，通过表格对比（如位置关系的d与r关系、公共点个数）、辅助线作法归纳（如“见切点连半径”）等方式，将零散知识点串联成逻辑清晰的知识网络，帮助学生建立完整的单元知识体系。 其亮点在于采用“基础巩固-能力提升-中考衔接”的分层练习设计，如基础题直接应用d与r关系判断位置，提升题结合切线性质与勾股定理综合求解，中考题融入跨学科情境（如苯分子结构的正六边形计算），培养学生的几何直观和推理能力。易错点总结针对性解决学生易混淆的内心外心、切线证明条件等问题，既帮助学生精准巩固知识，也为教师提供清晰的复习教学路径。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 章末复习 2026年8月3日 人教版九年级数学 第三十章 直线与圆的位置关系 综合练习题 一、全章知识梳理 1. 直线与圆的三种位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。①相离：d＞r，直线与圆无公共点；②相切：d＝r，直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点为切点；③相交：d＜r，直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线。 2. 切线的判定与性质：判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。解题常用辅助线：证切线，连半径、证垂直；已知切线，连切点、得垂直。 3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，且垂直平分两切点连线。可用于线段等量代换、角度计算、三角形周长求解。 4. 三角形的内切圆与内心：与三角形三边都相切的圆为内切圆，内心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等（内切圆半径）。任意三角形半径公式r=2S/C，直角三角形专属公式r=(a+b−c)/2。 5. 正多边形与圆：正多边形可内接于圆，核心要素有中心、半径、边心距、中心角。依托半径、边心距、半边长构成的直角三角形，可求解正多边形边长、周长、面积，通用面积公式S=1/2Cr。 二、基础巩固练习题（选择+填空，共48分） 选择题（每题6分，共24分） 1. 已知⊙O半径r=5，圆心O到直线l的距离d=3，则直线l与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 解析：d=3＜r=5，直线与圆相交，故选C。 2. 下列条件中，能判定直线为圆的切线的是（） A. 直线与圆有公共点 B. 直线过半径中点 C. 直线垂直于圆的半径 D. 直线过半径外端且垂直于半径 解析：符合切线判定定理的只有D选项，故选D。 3. 点P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，若PA=6，则PB的长为（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法计算 解析：由切线长定理，PA=PB=6，故选B。 4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则该三角形内切圆半径为（） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 解析：由直角三角形内切圆公式r=(3+4−5)/2=1，故选A。 填空题（每题6分，共24分） 1. 已知⊙O半径为7，直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离为________。 2. PA、PB切⊙O于A、B，∠APB=80°，则∠AOB的度数为________。 3. 正六边形的外接圆半径为5，其边心距为________。 4. 三角形周长为40，面积为60，则其内切圆半径为________。 三、能力提升解答题（共52分） 9.（16分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB=30°，CD是⊙O的切线，交AB延长线于点D。（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若AB=8，求CD的长度。 10.（18分）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AB、PO，PO交AB于点M。（1）求证：PO垂直平分AB；（2）若PA=8，PO=10，求⊙O的半径和AB的长。 11.（18分）已知半径为6的圆内接正四边形（正方形），求该正方形的边长、边心距、周长和面积。 四、参考答案与详细解析 选择题答案 1.C 2.D 3.B 4.A 填空题答案 5. 7（解析：直线与圆相切时，d=r） 6. 100°（解析：切线垂直半径，四边形内角和360°，计算得∠AOB=100°） 7. $$\frac{5\sqrt{3}}{2}$$（解析：正六边形边心距$$r=R\cos30^\circ$$） 8. 3（解析：由r=2S/C=120/40=3） 解答题解析 9. 解：（1）连接OC，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°， ∵OA=OC，∠CAB=30°，∴∠OCA=30°，∠COD=60°，∠D=30°， ∴∠CAB=∠D，AC=CD，△ACD为等腰三角形； （2）AB=8，OC=4，Rt△OCD中，$$CD=4\sqrt{3}$$。 10. 解：（1）由切线长定理，PA=PB，PO平分∠APB， 根据等腰三角形三线合一，PO⊥AB且平分AB，即PO垂直平分AB； （2）连接OA，OA⊥PA，Rt△POA中，$$OA=\sqrt{10^2-8^2}=6$$，半径为6； 由面积法：$$\frac{1}{2}\times PA\times OA=\frac{1}{2}\times PO\times AM$$，得AM=4.8，AB=9.6。 11. 解：圆内接正方形半径R=6， 边长$$a=\sqrt{2}R=6\sqrt{2}$$，边心距$$3\sqrt{2}$$， 周长$$24\sqrt{2}$$，面积=72。 五、全章易错点总结 1. 位置关系判断失误：混淆d、r大小关系，记错相交、相切、相离的判定条件。 2. 切线证明不完整：只证垂直或只证过端点，忽略“过半径外端+垂直半径”两个必备条件。 3. 切线长定理应用不熟练：不会利用线段等量代换求解三角形周长、线段长度。 4. 内心、外心混淆：内心为角平分线交点，外心为垂直平分线交点，性质易记混。 5. 正多边形计算出错：忘记利用“半径、边心距、半边长”直角三角形模型，公式套用混乱。 （全文1211字） ①>　②＝　③< 返回 直线与圆的位置关系 正多边形与圆 相交 相切 相离 画正多边形 三角形的内切圆 切线长定理 3 知识点1 直线与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d>r d=r d<r 公共点名称 — 切点 交点 直线 l 名称 — 切线 交线 总结 直线l与⊙O相离 ⇔d>r. 直线l与⊙O相切 ⇔d=r. 直线l与⊙O相交 ⇔d<r. 直线与圆的位置关系 知识点2 切线的性质与判定 切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点2 切线的性质与判定 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 需证切线 切线的判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 切线判定的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 与切线相关的常见辅助线作法 知识点2 切线的性质与判定 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点. 知识点3 三角形的内切圆 三角形的内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 尺规作图步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 知识点4 正多边形与圆 正多边形： 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 正多边形与圆的关系： 名称 概念 图示说明 圆内接正多边形 把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 的内接正九边形 圆外切正多边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. 的外切正六边形 知识点4 正多边形与圆 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正n边形的每个内角都为. 内角 α= =120° 中心角等于外角： 半径、边长、边心距的关系： 周长：l=6a 面积：S=​lr 中心角 正n边形的每个中心角都为 外角 正n边形的每个外角都为. 半径、边长、边心距的关系 周长 正n边形的周长 . 面积 正n边形的面积 S=ar⋅n=​lr. 与正 n 边形有关的计算公式（正 n 边形的半径为 R，边长为 a，边心距为 r） 1. 返回 ⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为2，则反映直线l与⊙O位置关系的图形是(　　) C 考点1　直线与圆的位置关系 考试考法 12 返回 2. [青岛中考]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A.若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为(　　) A．52° B．54° C．64° D．74° C 考试考法 返回 3. [黑龙江中考]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝________. 70° 考试考法 返回 4. 如图，将刻度尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角板60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角板的接触点为B. (1)AB＝________cm； (2)该量角器的直径长为________cm.(结果保留根号) 2 考试考法 [邯郸期中]如图①，在△ABC中，点P在边AB上，∠ABC∶∠BAC∶∠BPC＝1∶2∶3，⊙O是△BCP的外接圆． (1)求证：AC是⊙O的切线； 5. 返回 证明：连接CO，延长CO交⊙O于点Q，连接PQ，如图所示，则CQ为⊙O的直径． ∵∠ABC∶∠BAC∶∠BPC＝1∶2∶3，∠BPC＝∠ACP＋∠BAC，∴易得∠ABC＝∠ACP. ∵CQ为⊙O的直径，∴∠CPQ＝90°， 考试考法 返回 ∴∠PCQ＝90°－∠CQP， ∵∠CQP＝∠CBP，∴∠CQP＝∠ACP， ∴∠PCQ＝90°－∠ACP，∴∠PCQ＋∠ACP＝90°， 即∠ACQ＝90°，∴CQ⊥AC，∴AC是⊙O的切线． 考试考法 (2)如图②，当BP是⊙O的直径时，∠ACP的度数是________． 返回 22.5° 考试考法 如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点． (1)过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB的下方；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 返回 6. 解：如图，PC即为所求． 考试考法 (2)在(1)的条件下，连接AC，BC.求证：∠PCB＝∠BAC. 返回 证明：如图，连接OB，OC， 设∠PCB＝α，∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°，∴∠OCB＝90°－α. ∵OB＝OC，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝2α， ∵∠BAC＝ ∠BOC＝α，∴∠PCB＝∠BAC. 考试考法 返回 7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，点I是△ABC的内心，BI的延长线交⊙O于点D，连接AD，则∠CAD的度数为(　　) A．35° B．30° C．25° D．20° 考点2　三角形的内切圆 C 考试考法 返回 8. 如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，⊙O与BC，AC，AB的切点分别为D，E，F，若AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径为(　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 B 考试考法 返回 9. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为________． 5 考试考法 23 返回 10. 【新趋势 跨学科综合】苯(分子式为C6H6)环状结构中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形(如图①)，图②是其平面示意图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，则其中心角的度数为(　　) A．30° B．60° C．70° D．120° B 考点3　正多边形和圆 考试考法 24 11. 如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接AG，BH，CI，DJ，EK，FL(A，G，H三点共线)，若CI＝2，IJ＝3，则正六边形ABCDEF的边长为(　　) C 返回 考试考法 25 返回 12. 如图，AB，AC分别是⊙O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC是⊙O的内接正n边形的一条边，则n＝______． 12 考试考法 26 13. [沧州期中]如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形． (1)若⊙O的半径为1，则六边形ABCDEF的周长为______； (2)设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 ＝________． 6 返回 2 考试考法 谢谢观看 THANKS 4 A． B．5 C． D．19 $