第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重点题型突破（四大高频+四大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系，分基础与核心模块系统归纳高频题型，梯度覆盖从概念判定到综合应用，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|4类高频题型（含判定、切线性质等）|侧重概念直接应用，基础计算与判定|从位置关系概念出发，推导切线性质与判定，延伸至切线长定理与正多边形计算| |核心提升|4类重难题型（含切线综合、动点最值等）|融合几何证明与代数计算，涉及动态问题|以切线为核心，结合坐标系、函数与动点，构建“性质-计算-综合应用”逻辑链|

第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线与圆的位置关系判定 题型2 切线的性质与判定 题型3 切线长定理 题型4 正多边形与圆 核心提升：重难题型归纳 题型1 切线综合 题型2 切线中的计算综合 题型3 圆与坐标系/一次函数综合 题型4 切线中的动点/最值问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 直线与圆的位置关系判定 1. 已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 2．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移  __________cm时与⊙O相切． 【答案】2 【详解】∵直线和圆相切时，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5-3=2cm． 故答案是：2． 【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R． 3．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 4．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离 5．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D ◆题型2 切线的性质与判定 1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判断即可． 本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本的概念是解题关键． 【详解】∵ ①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴ ①错误； ∵ ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴ ②正确； ∵ ③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴ ③正确； ∵ ④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴ ④错误； ∴ 正确说法有②和③，共2个． 故选：B． 2．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 4.如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程思想． （1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线性质证明垂线段等于半径，从而判定切线． （2）先在中求出半径，再设，利用等腰三角形三线合一与勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，，作于点． ∵，为的中点， ∴平分． ∵与相切于点， ∴是的半径，， ∵，平分， ∴． ∴也是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴． 设，则． ∵，为的中点， ∴，即． 在中，； 在中，， ∴， 展开化简得，解得， ∴． ◆题型3 切线长定理 1．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 2．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； (2)的长． 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． 3.已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【答案】．3； 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形是正方形是解题的关键； 首先设、、与的切点分别为D、E、F；证四边形是正方形；根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图； 设、、与的切点分别为D、E、F； 在，，，； 根据勾股定理； 四边形中，，； 则四边形是正方形； 由切线长定理，得：，，； 则； 即：． 当，，， 由以上可得： ； 即：． 则的半径r为：． 4.如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． ◆题型4 正多边形与圆 1． 已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】． 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 2．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：正六边形的每个中心角为， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为， 如图，是其中一个正三角形，其中， 过点A作于点D，则， 由勾股定理得， ∴正六边形的面积为 3．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． ◆题型1 切线综合 1．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作 的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 是直径，点在上， 是的中点， ， 在和中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． (2) 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ◆题型2 切线中的计算综合 1．如图在中，，D是的中点，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆经过点D，交于点E，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，再利用平行线的性质、矩形的性质、垂径定理等知识解题． （1）连接，证明，则，再根据圆的切线的判定定理证明是的切线； （2）设的半径为，则，作于点，证明四边形是矩形，在中根据勾股定理列方程即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 经过为的半径的端点，且， 是的切线． （2）解：如图，设的半径为，则， 作于点，则，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 的半径长为5． 2．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． ◆题型3圆与坐标系/一次函数综合 1．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． 【答案】 【分析】中长度固定，面积随点到直线的距离变化而变化.先求出的长度和直线的解析式，再求出圆心到直线的距离，结合的半径得到圆上点到的最小距离和最大距离，最后根据三角形面积公式计算的取值范围． 【详解】设直线的解析式为，代入坐标得： ，解得， 即直线的解析式为， 过圆心作轴， 把代入中得， 点的坐标为， 已知 ， 设， ， ， ， 的半径， 圆上点到直线的距离的最小值为，最大值为， 由三角形面积公式，其中为点到直线的距离，代入得： 当时， 当时， 故的取值范围为． ◆题型4 切线中的动点/最值问题 1．如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最值问题． 连接，证明，得到，点在以为圆心，3为半径的上，当在对角线上时，最小，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最小值． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，3为半径的上， 如图，当在对角线上时，最小， 在中，， ∴， 即长度的最小值为， 故答案为：． 一、选择题 1．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C到直线的距离，与半径比较判断位置关系． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴边上的高为， 即圆心到直线的距离是， ∵， ∴直线与相离， 故选：A． 2．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键． 直接根据直线与圆的位置关系得到半径，再逐项判断即可． 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可． 【详解】解：根据题意得，与直线无公共点， 则直线与相离， 因此圆心到直线的距离大于， 选项中只有， 故选：A． 4．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 6．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 二、填空题 7．如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 8．如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【答案】 【分析】设，则，由切线长定理可得，，，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵是的内切圆，为切点， ∴，，， ∴的周长． 9．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 10．如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【答案】140 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 11． 若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】．9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 12．如图，正六边形的周长为18，则它的外接圆的半径为____________． 【答案】3 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 先根据正六边形的性质求得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵正六边形 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长为18， ∴，即它的外接圆的半径为3． 故答案为3． 三、解答题 13．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到．，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 14．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 【答案】DB＝DI，理由见解析 【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：DB＝DI， 理由如下：连接BI， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC， ∵I是△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD， 由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴DB＝DI． 【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对等边是解决此题的关键． 15．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 16．如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案； （2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案． 【详解】（1）略 （2）过点D作，交于点G， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理，得． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 17．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）已知点C在上，先连接，由已知，，得，，所以得到，根据三角形内角和定理得，即能判断直线与的位置关系． （2）要求点A到所在直线的距离，先作，垂足为E，由，得，在中，半径，所以，，从而求出． 【详解】（1）∵是等腰三角形，， ∴． 连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 在中，又∵， ∴ ∴是的切线，即直线与相切． （2）过点A作，垂足为E． 在中，∵， ∴， ， 在中， ∵， ∴点A到边的距离为：． 【点睛】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三十章直线与圆的位置关系全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1直线与圆的位置关系判定 1.【答案】5 【详解】解：，⊙0的半径为5，直线AB与⊙O相切， ∴.圆心O到直线AB距离等于5： 故答案为：5 2.【答案】2 【详解】：直线和圆相切时，OH=5, 又，在直角三角形OH中，HA=AB÷2=4,OA=5, .0H=3. .需要平移5-3=2cm 故答案是：2. 3.【答案】相切 【详解】解：过点M作MC⊥OA,交OA于点C, 在RtAOMC中，OM=4cm,∠BOA=30°， CA-OM2cm. ,⊙M的半径是2cm,点M到直线OA的距离是2cm, :.⊙M与直线OA的位置关系是相切. B 4.【答案】A 【详解】解：由题意得，圆的半径r=6cm,圆心到直线的距离d=8cm 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d=8cm>r=6cm 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离 直线与圆的位置关系是相离 5.【答案】D 【详解】解：连接PA,作PC⊥AB于点C,由垂径定理得： B 4c=48=分25=5 在直角△PAC中，由勾股定理得：PA=PC2+AC2, 即PAP=1+(N3)2=4, PA=2, ∴.⊙P的半径是2 将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=1+2=3： 将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时，平移的距离=2-1=1. 故选：D ◆题型2切线的性质与判定 1.【答案】B 【详解】，①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，.①错误： ②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴.②正确： :③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴：③正确： ,④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，·.④错误： ∴.正确说法有②和③，共2个 故选：B 2.【答案】40 【详解】：BA与⊙O相切于点A, .OA⊥AB 2/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠0AB=90°， :∠AOB=50°， .∠B=90°-∠AOB=40°， 故答案为：40 3.【答案】（①）见解析 (2)6 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B :AB为⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B, CB⊥AB 、∠B=90, CD=CB,OD=OB CD2+0D2=CB2+0B2=0C2, ∴.aODC是直角三角形，且∠ODC=90°， :OD是OO的半径，且CD⊥OD, .CD是⊙O的切线： (2)解：，∠0DE=∠B=90°， .'DE2+OD2=OE2, AE=4,DE=8,OD=0A, 82+0A=(4+0A)2, 解得OA=6, :.⊙0的半径长为6 4.【答案】(1)证明见解析 9 Q4 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图，连接AO,D0,作OE⊥AC于点E. :AB=AC,O为BC的中点， ,AO平分∠BAC. :AB与OO相切于点D, OD是⊙0的半径，OD L AB, OE⊥AC,AO平分∠BAC, ..OD=OE .OE也是⊙0的半径， .AC是⊙O的切线： (2)解：在RtABDO中，BD=4,BO=5, .0D=√B02-BD2=V52-42=3. 设AD=x,则AB=AD+BD=x+4 :AB=AC,O为BC的中点， :A0⊥BC,即∠AOB=90° 在Rt△AD0中，AO2=AD2+OD2=x2+9: 在RtAABC0中，A02=AB2-B02=(K+42-25, x2+9=(x+4)2-25, 9 展开化简得8x-9=9解得x=4, D=9 4 ◆题型3切线长定理 1.【答案】24 【详解】解：~PA和PB是OO的两条切线， :PA=PB=12, 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得：DA=DC,EB=EC, ∴.△PDE的周长=PD+DE+PE PD+DC+EC+PE =PD+DA+EB+PE PA+PB=24(cm) 2.【答案】()证明：连接0C, D 直线， 分别切 于点， A DC DA ⊙0 C .CD=AD 在△ADO与△CDO中， CD=AD OC=OA OD=OD ..ADOACDO(SSS), ∴.∠AOD=∠COD 1 ∠AOD=5∠AOC, :∠B=2∠10C, ∠B=∠AOD, BC∥OD: 7 (②)8C的长=3π. 【详解】(1)略： (2)解：：△ADO2aCDO, ∴.∠ADC=2∠CD0=70° .∠AOC=180°-∠ADC=110°， ∴.∠B0C=70°， 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=12, OB=6, 70π×6 ÷BC的长=180 3交 3.【答案】.3：2a+b-c) 【详解】解：如图； 设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F: 在Rt△ABC,∠C=90°，AC=12cm,BC=9cm: 根据勾股定理AB=√AC2+BC2=15cm; 四边形OFCD中，OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°： 则四边形OFCD是正方形： 由切线长定理，得：AD=AE,CD=CF,BE=BF: 则cD-CF-4C+Bc-AB): 即：=2×(12+9-15)=3 当AC=b,BC=a,AB=c, 由以上可得： CD-CF-(AC+BC-AB): 0:ra+6-c). 则o0的半径r为： 和+b-e 4.【答案】(1)135 (2)2 6/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)5 【详解】(1)解：“⊙0是△ABC的内切圆， .OA平分∠CAB,OB平分∠CBA, 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠CAB+∠CBA=90°， 1 ∠01B+∠0BA=2∠C1B+∠CB0=45°， .∴∠AOB=180°-45°=135° (2)解：设半径为t,连接OE、OF, :OO是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F, .由切线长定理得BE=BD=6,AF=AD=4,CE=CF, :∠C=90°，OE⊥BC,OF⊥AC, 四边形OECF是正方形，CE=CF=r, .AC=AF+CF=4+r,BC=BE+CE=6+r, AB=AD+BD=4+6=10. 在Rt△ABC中，由勾股定理得： (4+r2+(6+r)}2=102, 解得：r=2或r=-12(舍去负值)， .⊙0的半径r=2. (3)解：由(2)知AC=6,BC=8,AB=10, 设斜边AB的中点为M,则M是Rt△ABC的外心， 分别连接OM,OD, AD=4,AB=10, .AM=14B=5. MD=AM-AD=5-4=1, OD是内切圆半径，OD⊥AB, 0D=r=2, 在RtOMD中，由勾股定理得： 0M=VOD2+MD2=V22+12=V5, ∴Rt△ABC的外心和内心的距离为V5 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 !! M D ◆题型4正多边形与圆 1.【答案】.30 【详解】解：~该正多边形的一个内角为150°， ·该正多边形的一个外角为180°-150°=30°， :任意多边形的外角和为360°， 360° 该正多边形的边数n= =12. 30° ~正多边形的中心角和为360°， 360° :该正多边形的中心角为12 =30° 2.【答案】24V3 360° 【详解】解：正六边形的每个中心角为6 =60°， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为4m, 如图，△ABC是其中一个正三角形，其中AB=BC=AC=4m, 过点A作AD1BC于点D,则BD=2BC=2m, 2 B 由勾股定理得AD=VAB2-BD2=2√5m, 8/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “.正六边形的面积为6×5BCAD=6x×4×25=245(m2） 3.【答案】1260 360° 【详解】解：多边形边数n= =9 40° “内角和为180°×(9-2)=1260° 故答案为：1260° 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1切线综合 2.【答案】(1)证明：连接OA, 是 直径，点在上， .BC⊙O .C⊙0 :D是AC的中点， ∠AOF=∠COF, 「OA=OC 在 和 中， ∠AOF=∠COF, △AOF△COF OF=OF aAOF≌aCOF(S,A,S), ∴.∠OCF=∠OAF=90°. .OC⊥FC, :OC是⊙0的半径， .CF与⊙O相切 (2)4v3-2π 【详解】(1)略 (2)解：AF,CF是⊙0的切线， ..AF=CF, 9/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AF:EF=1:2,CF=2, .AF=2,EF=4, .:∠FCE=90° .sinLE=FC2 1 EF=42 .∠E=30°， .∠CFE=90°-∠E=60° ÷∠0FC=∠0PA=180°-∠CFE=60 2 .∠F0C=90°-∠OFC=30°， .0F=2FC=4, 由勾股定理得，OC=2V3, S.rc= ×25x2=25. S四边形oc1F2S.0rc=4V5, 60°π(25月 S第形0AC =2π， 360° ·阴影部分的面积为S边004一-S扇形oc一4V3-2π ◆题型2切线中的计算综合 1.【答案】()见详解 (2)5 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B O A D .·OD=OB .∠ODB=∠OBD :D是EF的中点， ..DF=DE, 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .LOBD=ZDBC, ∴.∠ODB=∠DBC, .OD∥BC, .∠ODA=C=90°， ~AC经过⊙为的半径OD的端点D,且AC⊥OD, .AC是⊙O的切线。 (2)解：如图，设⊙0的半径为r,则OB=OD=r, E D 作OG⊥BE于点G,则BG=EG,LOGB=90°， :∠0DC=∠C=∠0GC=90°， ∴四边形ODCG是矩形， CE=2,CD=4, ..OG=CD=4,CG=OD=r, .BG=EG=r-2, 0B2=0G2+BG2, 2=42+0-2)2, 解得r=5, .⊙0的半径长为5 2. 【答案】(1)证明：如图，连接OE, E .AE DE, ∠ABE=∠CBE. 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE =OB, ,∠OBE=∠OEB. ∴∠OEB=∠FBE, BF∥OE, :EF⊥BC, ∴∠BFE=90°， :.∠BFE=LOEG=90°， ∴.OE⊥GE, ∴GF是⊙O的切线 (2)3 【详解】(1)略. (2)解：设⊙0的半径为r,AG=6,GE=6N2, ,在Rt△GOE中，OE2+GE2=OG, 2+(62=(6+r）, 解得r=3, 即⊙0的半径为3. ◆题型3圆与坐标系/一次函数综合 1.【答案】3-V2≤S≤3+√2 【详解】设直线AB的解析式为y=c+b,代入A,B坐标得： [-2k+b=0 [k=1 b=2 ,解得1b=2 即直线AB的解析式为y=x+2, 过圆心P作PD⊥x轴， y D 12/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把x=1代入y=x+2中得y=3, 点D的坐标为(1,3)， 已知A(-2,0),D(1,3) .AD=V(-2-102+(0-3)2=32, 设PG=d, 1 S.ADP ADd=AP-DP, 2 号5d-3x, d=32. 2 ⊙P的半径r=1, 圆上点0到直线B的距离的最小值为d-,=35-1,最大值为d+, 32+1, AB 2 2 D 由三角形面积公式S=方B-九，共中6为点0到直线4B的距离，代入B=25得： S=x2√2xh=√2h 当h31时.s=39-小-3-5 2 故S的取值范围为3-V2≤S≤3+√2 ◆题型4切线中的动点/最值问题 1.【答案】8W2-31-3+8V2 13/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接AP,CP, B :正方形ABCD ,AB=BC,∠ABC=90° ,将BP绕点B逆时针旋转90°得到BP, .BP'=BP,∠PBP=90°. ∴.∠ABP'=90°-∠ABP=∠CBP, △ABP'≌aCBP(SAS), AP'=CP=3, ,点P在以A为圆心，3为半径的⊙A上， 如图，当P在对角线CA上时，CP最小， B 在Rt△ABC中，AB=BC=8, .AC=VAB2+BC2=8√2， 即CP长度的最小值为AC-AP'=8V2-3, 故答案为：8V2-3」 题型专练 高频重难特训 1.A 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.A 4.A 5.B 6.D 7.1 8.16 9.2 10.140 11.9 12.3 13.30m 14.DB=D1 15.(1):⊙I为△ABD内切圆，G、E、F为切点， ∴.AG=AF,BG=BE .AB=AC, ∴.AB-AG=AC-AF即BG=CF .BE=CF (2)BE=7 16.(1)证明：AB=BC, .∠A=∠C ,DE⊥BC, .∠DEC=90°、 .∠CDE+LC=90°」 :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠A+∠ABD=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴.∠BDE=∠C=∠A .BO=OD. .∠OBD=∠ODB. .∠BDE+∠ODB=90°， .DE⊥OD, 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE是⊙O的切线： 吗 17.(1):△ACD是等腰三角形，∠D=30°， ∴.∠CAD=∠CDA=30° 连接OC, E B A0=C0, .△AOC是等腰三角形， .∠CA0=∠ACO=30°， .∠C0D=60°， 在△COD中，又：∠CD0=30°， ∴.∠DC0=90° ∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切. (2)9 16/16 第三十章 直线与圆的位置关系全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 直线与圆的位置关系判定 题型2 切线的性质与判定 题型3 切线长定理 题型4 正多边形与圆 核心提升：重难题型归纳 题型1 切线综合 题型2 切线中的计算综合 题型3 圆与坐标系/一次函数综合 题型4 切线中的动点/最值问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 直线与圆的位置关系判定 1.已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 2．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移  __________cm时与⊙O相切． 3．如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 4．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 5．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 ◆题型2 切线的性质与判定 1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 3．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 4.如图，中，，为的中点，与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． ◆题型3 切线长定理 1．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 2．已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 3.已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 4.如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． ◆题型4 正多边形与圆 1．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 2．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 3．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． ◆题型1 切线综合 1．如图，在中，点为上一点，点是的中点，是的直径．过点作 的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． ◆题型2 切线中的计算综合 1．如图在中，，D是的中点，点O在上，以点O为圆心，长为半径的圆经过点D，交于点E，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． ◆题型3圆与坐标系/一次函数综合 1．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． ◆题型4 切线中的动点/最值问题 1．如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 一、选择题 1．中，，，，以点C为圆心，以2为半径画圆，则直线与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 3．已知与直线无公共点，若半径为，则圆心到直线的距离可以是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 6．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 8．如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 9．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径_______． 10．如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 11．若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 12．如图，正六边形的周长为18，则它的外接圆的半径为____________． 三、解答题 13．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 14．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 15．如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 17．如图，是的直径，点D在的延长线上，点C在上，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求点A到所在直线的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $