精品解析：北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期高三年级适应性测试（一）数学试卷

北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期 高三年级适应性测试（一） 数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集定义可直接求得结果. 【详解】，，. 故选：B. 2. 若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 所以， ∴，， 所以. 故选：B. 3. 下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先判断奇偶性，再判断单调性． 【详解】由奇偶性定义知ACD三个函数都是奇函数，B不是奇函数也不是偶函数， 在上是减函数，是勾形函数，在上递增，在上递增， 只有在上递增． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶和单调性定义是解题基础． 4. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】把函数式化为形式可得． 【详解】， 因此把的图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，解题时对相位变换要注意平移的概念，特别是向左平移个单位，得不是． 5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知A正确；通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A正确； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当，时，，，则，C错误； 对于D，当，时，，，则，D错误. 故选：A. 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，， 所以． 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例即可求解充分性，根据正弦函数的性质即可求解必要性. 【详解】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件； 若，由函数的定义知，若，则必有，而时，能推出， 故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据变化规律可知每次去掉的线段长度成等比数列，利用等比数列求和公式可求得第次后，去掉的线段长度总和为，由，结合对数运算可解不等式求得，由此可得结果. 【详解】第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为，依次类推，可知第次操作去掉的线段长度为， 即每次去掉的线段长度成等比数列， 第次后，去掉的线段长度总和为， 由得：，， 的最小值为. 故选：D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域. 【详解】由题意，，解得且， 所以的定义域为， 故答案为： 12. 在中，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解. 【详解】在中，因为， 所以，即， 解得， 故答案为： 13. 已知数列满足，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由递推式，结合依次求出、即可. 【详解】由，可得：， 又，可得：. 故答案为：. 14. 设当时，函数取得最大值，则______. 【答案】； 【解析】 【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 15. 已知无穷数列满足.给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过分析数列的递推公式，结合逻辑推理，数学归纳等对不同的结论分别进行讨论，判断其正确性. 【详解】分析结论①，假设存在使得集合中有无穷多个元素. 当时，.那么， 因为，所以，则. 这意味着一旦，后面的项不可能再无限次地小于，所以①错误. 分析结论②，假设存在使得集合中有有限个元素. 由，当时，，. 如果，那么数列从第二项起都大于，即集合中只有有限个元素，所以②正确. 分析结论③，假设时，则. ，因为，所以，. 所以对于任意的，集合中至多有一个元素，③正确. 分析结论④，当时，，，. 通过计算发现恒成立. 用数学归纳法证明： 先证明， 当时，， 假设当时，成立，则， 所以成立， 再证明 当时，，，成立. 假设当时，成立. 则，所以. 所以当时也成立， 所以恒成立， 所以当时，集合，④正确. 故正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④ 三､解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）-1； （2）； （3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）自变量直接代入求值； （2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期； （3）利用正弦型函数性质求区间最值即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由题设． 所以的最小正周期为． 【小问3详解】 因为，所以， 当，即时，取得最大值， 所以在区间上的最大值为； 当，即时，取得最小值， 所以在区间上的最小值为． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示） 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分． 【答案】（1） （2） 选条件①或②不符合要求，选择③，可得. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差，进而得到； （2）利用等比数列通项公式可得，由可得与之间关系；若选条件①，可知当为偶数时，，不合题意；若选条件②，可知，不合题意；若选条件③，可知，并知，由此可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ，解得：，， . 【小问2详解】 若选条件①，，，又， 由得：，； 当为偶数时，，不符合，则不能选择条件①； 若选条件②，，，又， 由得：，； 当且时，为奇数，则，不合题意，则不能选择条件②； 若选条件③，，，又， 由得：，； 当时，为偶数，，满足题意； 综上所述：. 18. 已知函数在处取得极大值1.当变化时，导函数变化情况如下表所示. 1 0 0 （1）写出函数的单调区间，以及的值； （2）求函数的解析式； （3）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；的单调减区间是和，的单调增区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由原函数与导函数的关系，结合表格，即可得到结果； （2）由表格可知的零点是，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）分别求得极大值以及区间端点值，然后比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 由表格可知，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以时，取得极小值， 时，取得极大值，即， 的单调减区间是和， 的单调增区间是. 【小问2详解】 由可得， 由（1）可知，的零点是， 由韦达定理可得，解得， 由在取得极大值，即， 所以，则. 【小问3详解】 由（1）可知，在和上单调递减，在上单调递增， 且， ，， ，且， 所以函数在上的最大值为. 19. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离． 【答案】（1）; （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案； （2）求出和，由余弦定理即可求得答案. 【小问1详解】 在 中，，，所以． 由正弦定理：，得， 所以, ， 所以 的面积为． 【小问2详解】 由，，得，且, ． 在 中由余弦定理，得 , 所以． 即点C，D之间的距离为． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，令，则； 当时，，，即， 在上单调递增，又，， 在上有唯一零点，即在上有且仅有一个零点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）令，求导后可知，由此确定在上单调递增，结合零点存在定理可得结论； （3），将问题转化为恒成立；求导后，分析可知当时，单调递增；当时，利用零点存在定理可说明在上单调递减，由此可得，知不合题意；当时，可得，知单调递增，满足题意；当时，采用放缩法得，结合时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果. 【小问1详解】 当时，，则， ，又， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令， 则对任意，恒成立；又， 令，则； 当时，若，则，，， 在上恒成立，则在上单调递增； ①当时，，， ，使得，且当时，， 在上单调递减，此时，不合题意； ②当时，； 当时，，则在上单调递增， 恒成立，满足题意； ③当时，， 由②知：对任意，，满足题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围. 21. 对于一个m行n列的数表，用表示数表中第i行第j列的数，（；）．对于给定的正整数t，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． （1）以下给出数表1和数表2． 数表1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 （i）数表1是否具有性质？说明理由； （ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为．求的最大值． 【答案】（1）（i）数表1不具有性质． 理由：． （ii）存在．. （2）不存在数表具有性质． 假设存在m使得数表具有性质， 则． 即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k列是第i行的数为1，第行的数为0， 则有列是第i行的数为0，第行的数为1， 所以，从第i行到第行，一共增加了个1，1的个数的奇偶性不变． 所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同， 与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾， 所以，不存在具有性质的数表． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据数表具有性质的定义，可判断（i）中数表1不具有性质，（ii）中数表当时满足条件，即得答案； （2）假设存在m使得数表具有性质，根据题意可推出任意两行中，1的个数的奇偶性相同，与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾，可得结论； （3）定义行n列的数表，满足设定的条件其第i行第j列为，（），在其条件下先证明，再证时，，综合可得，，从而得的最大值的为． 【小问1详解】 （i）略 （ⅱ）存在． 由图表可知， 故时，数表2具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的最大值为． 定义行n列的数表： 其第i行第j列为，（）， 则，且表示，两数相同，表示，两数不同． 因为数表的第1行确定，所以给定数表后，数表唯一确定． ①先证． 按照如下方式，构造数表：对于第行和第2s行，， 令，，，， 且在这两行其余的列中，任选相同的列都为1，其他列都为0， 于是可得到具有性质的数表如下： 第1列 第2列 第3列 第4列 第n－1列 第n列 第1行 1 1 1 1 … 1 1 第3行 0 0 1 1 … 1 1 第5行 0 0 0 0 … 1 1 … 第行 0 0 0 0 … 0 0 即对于每个，当时，都存在数表具有性质． 所以． ②再证时，． 记（）． 因为是奇数，所以与的奇偶性不相同（）． 因为，，所以m是奇数． 考虑的第i行和行， 因为，所以这两行中都有列为1，1列为0． 若这两行相同，则数表的第i行和第行相同，． 若这两行不同，设其分别在第p，q列为0，则数表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，． 因为，，其中n是偶数． 所以， 所以，即． 结合①，． 综上所述，的最大值为． 【点睛】本题考查了关于数表新定义的问题，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好地考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据其定义解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期 高三年级适应性测试（一） 数学学科 1.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共110分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_______________. 12. 在中，，则_____. 13. 已知数列满足，，若，则_______． 14. 设当时，函数取得最大值，则______. 15. 已知无穷数列满足.给出下列四个结论： ①存在，使得集合中有无穷多个元素； ②存在，使得集合中有有限个元素； ③对于任意的，集合中至多有一个元素； ④当时，集合. 其中所有正确结论的序号是_________. 三､解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求在区间上的最大值和最小值． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示） 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分． 18. 已知函数在处取得极大值1.当变化时，导函数变化情况如下表所示. 1 0 0 （1）写出函数的单调区间，以及的值； （2）求函数的解析式； （3）求函数在上的最大值. 19. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内） （1）求的面积； （2）求点之间的距离． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 21. 对于一个m行n列的数表，用表示数表中第i行第j列的数，（；）．对于给定的正整数t，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． （1）以下给出数表1和数表2． 数表1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 数表2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 （i）数表1是否具有性质？说明理由； （ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由； （2）是否存在数表具有性质？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由； （3）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $