北京市第八十中学2026-2027学年高三上学期九月阶段评价数学试题

**基本信息** 高三开学阶段评价，以函数、三角、数列等核心知识为载体，通过药物衰减（第8题）、激光通讯模型（19题）等真实情境考查应用能力，新定义数列（21题）凸显创新思维，适配高三初期复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合运算、函数奇偶性与单调性、三角函数图象变换|基础巩固，覆盖高频考点| |填空题|5/25|不等式解法、三角函数定义与平移、函数零点|梯度设计，考查数学眼光| |解答题|6/85|解三角形（16题）、导数应用（18题）、概率统计（19题）、新定义数列（21题）|综合应用，通过真实情境与创新问题发展数学思维与语言表达|

北京市第八十中学2026—2027学年第一学期九月阶段评价 高三数学-参考答案2026年9月 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D A C D B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在答题卡上写上每小题的正确答案） 11． 【详解】由不等式，可化为，因为函数为定义域上的单调递增函数，所以，所以不等式的解集为. 12． 【详解】根据任意角三角函数的定义，角终边过点，其中横坐标，纵坐标，因此 ，由二倍角的正切公式可得. 13．6（答案不唯一） 【详解】由题意得，，且有，即，所以ω的取值可以是6. 14． 【详解】当时，， 当时， 所以当，即，作出函数的图象，如图， 当，都有，且，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当或，都有，且对任意， 都有，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，且对任意都有，则需满足，即，解得，所以. 15．②③④ 【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误； 对于②，当显然不成立，故， 当时，令，即，得，，要使有且仅有两个零点，则，故，②正确， 对于③, 当时,,此时在单调递减，在单调递增，如图： 若，由，故，所以的取值范围为；③正确 对于④,由①③可知：时，显然不成立,故， 要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上，则只需要的图象与有两个不同的交点，如图：   故， ， 由对称可得， 化简可得，故， ，化简得 所以 由于均大于0，所以，， 因此 由于，为单调递增函数，且， 此时，因此，④正确， 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解： （1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 17．解： （1）由， 若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①； 若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②； 若选条件③：， 所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③； 综上所述：故可选择条件①或③，此时. （2）由（1）知，当时，， 且的最小值为，所以可得，解得，又， 所以，的取值范围为. 18．解： （1）因为，所以， 所以，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， （2）因为，， 所以， 函数的定义域为， 所以， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间有，；单调递减区间有， （3）因为，，， 所以， 所以，设， 则， 所以在上单调递增，又，， 所以存在，满足关系，故， 故， 当时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 所以， 因为，设，，，则， 所以函数在上单调递增，所以当时，，所以，所以，所以函数的图像在直线的上方. 19．解： （1）设“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振相同”独立作为事件，易知共有3个基本事件，则． （2）的可能取值为. ，，，， 所以，的分布列如下： 0 1 2 3 P ． （3） 20．解： （1）证明： 由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 21．解： （1）：2，4，6，7，10不是数列，理由如下： 因为，所以，但，所以不满足性质①，故不是数列； （2）根据：是数列可得：满足： 或，或， ①若，因为，，成等比数列，所以， 又，所以，所以，得， ②若，因为，，成等比数列，所以， 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 当时，，解得，与为自然数矛盾，舍去； 所以， 由以及， 得，所以， 由以及， 得， 由以及， 可知，所以； （3）当时，根据数列的定义，可知或, 若，取，则，结论成立， 若，取，则，结论成立， 假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为， 即存在数列对任意实数，存在，使得， 根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列， 从而存在实数，使得，， 即， 令，则， 令 ，则， ①若，根据的定义，存在，使得， 又， 则且， 所以， ②若，根据的定义，存在，使得， 又， 则，且， 所以， 所以， 令，则， 即， 所以， 所以， 即，与假设矛盾， 综上，结论成立. 答案第4页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $北京市第八十中学2026—2027学年第一学期九月阶段评价 高三数学 2026年9月 北京市第八十中学2026—2027学年第一学期九月阶段评价 高 三 数 学2026年9月 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1．已知集合，则=（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 A． B． C． D． 3．已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（   ）（精确到0.1小时，参考数据，） A．5.6小时 B．4.6小时 C．3.8小时 D．2.2小时 9．已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（    ） ① ② ③存在，使得成立 ④记表示不超过的最大整数，且，则. A．①② B．①②③ C．②③ D． ①②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.在答题卡上写上每小题的正确答案） 11．不等式的解集是___________. 12．角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 13．已知函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，写出一个符合题意的的值为_________. 14．已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为______． 15．设函数给出下列四个结论：     ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是______． （请把答案填涂在答题卡上，在试卷上作答无效） 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 17．已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题． （1）求的值； （2）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围． 条件①：对任意的，都有成立； 条件②：； 条件③：． 18．已知函数和函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）设函数，求证：函数的图象在直线的上方. 19．激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息． 某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系． 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 3 解密信息的单光子的偏振状态 0，1，2 0，1，3 1，2，3 0，2，3 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现． （1）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率； （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望； （3）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明） 20．已知函数 . （1）求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； （2）函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数. 21．若有穷自然数数列：满足如下两个性质，则称为数列： ①，其中，表示，这个数中最大的数； ②，其中，表示，这个数中最小的数. （1）判断：2，4，6，7，10是否为数列，说明理由； （2）若：是数列，且，，成等比数列，求； （3）证明：对任意数列：，存在实数，使得.（表示不超过的最大整数） （请把解答过程写在答题卡上，在试卷上作答无效） 草 稿 纸 （高三数学 第3页 共6页） （高三数学 第4页 共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $