北京市广渠门中学2026-2027学年第一学期高三年级定位考试数学试题

参考答案 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. 题号 1 2 5 6 8 9 10 答案 A C D A B D A C D D 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分， 5 3 11.3 12.5,-80 13.V3,4 14.e,215.③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.解：(I)因为四边形ABCD为正方形，所以ABIICD,且AB=CD. 因为四边形CDEF为矩形，所以CDIEF,且CD=EF 所以AB∥EF,且AB=EF,即四边形ABFE是平行四边形. 所以AEIIBF,又因为AEc平面ACE,BF文平面ACE, 所以BF∥平面ACE. …6分 (Ⅱ)选择条件①：DE⊥AC. 因为四边形CDEF为矩形，所以DE⊥DC. 又因为DE⊥AC,AC∩DC=C, 所以DE⊥平面ABCD. 故DE⊥AD 又因为ABCD为正方形，所以DE,AD,DC两两垂直. 如图建立空间直角坐标系D-2, C A X 则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),E(0,0,2),AC=(-3,3,0),AE-(-3,0,2).AB=(0,3,0) 4C.n=0, -3x+3y=0, 设平面ACE的法向量为n=(c,y,2),则AE:n=0.即-3y+2z=0. 令x=2,则y=2,z=3,于是1=(2,2,3) 4B.n sin6=cos(AB,n》 6-2V17 3×V1717 设直线AB与平面AEC所成角为B,则 2W17 所以直线AB与平面AEC所成角的正弦值为17 …14分 选择条件②：AE=EC, 因为AE=EC,AD=CD,DE=DE, 所以△ADE≌△CDE 因为四边形CDEF为矩形，所以DE⊥DC. ∠ADE=LCDE=T 所 2,所以DE⊥DA. 又因为ABCD为正方形，所以DE,AD,DC两两垂直. 接下来同选择条件①. 17.解：(I) ()-3sin2x-c0s2x-2in2x- 所以f(?的最小正周期为 -2x 2元 函数y=sinx的单调递增区间 22版+e2列 2-号s2x-若s2-5e刀.前血-后5s6a+号e列 由 2 6 0m%0-2,2如24-副=3.m24引-1 2A-=A= 因为A∈(0，π)，所以62， 3 ∠CAD=∠BAD= 因为AD为∠A的平分线，所 6 根据S△4CD+S△MBD=S△4CB, AC.AD:sin∠CAD+AB-AD-sin∠BAD=AC.AB-sin∠CAB 有2 x3xAD 1.1 即2 xi-1x3x2x L+x2xAD×22 22 4D= 22,解得 5.【13分】 18.【答案】(1)n=100:b=0.1 (2)X的分布列为 X 0 2 2-5 8 1 0) (3)应选择方案二 【小问1详解】 60 因为在30,60)内频数为60，频率为0.6，则”=0.6 n= 100 30=0.3 C= 且在[60,100]内频数为30.则=100 B=10 则在[0,30)内频数为a=100-60-30=10,颜率0=100 0.1 【小问2详解】 因为综合得分为[B0,60)和[60,100]的人数比为60：30=2：1， 2 1=2 则在综合得分为B0,60)内特取人数为62产4，在综合何分为【6@10]内抽取人数为62 6× =4 可知随机变量X的可能值为0,1,2，则有： 0x-答号x=爱-x-2答日 C215 所以X的分布列为 X 0 2 8 1 5 15 15 E(x)=0x2+1x8 X的期望 *2x2 153 【小问3详解】 方案一：该公司员工的人均综合得分15×0.1+45×0.6+80×0.3+10=62.5： 方案二：该公司员工的人均综合得分20×0.1+65×0.6+80×0.3=65： 因为62.5<65，所以应选择方案二. x2 +y2=1 19.【答案】(1)4 (2)证明见详解 【小问1详解】 e=c_v3 由题意可得： a2,a=2,可得c=V5,b2=a2-c2=1, +y2=1 所以椭圆E的标准方程为4 【小问2详解】 由题忘可知：4(2,0).直线MN的率存在。 设直线MN:y=+m,M(x,y).N(x,) y=kx+m 联立方程4+少1 消去y可得（42+)r2+8kmx+4m2-4=0 则△=64m-4(4+14m-4少>0.可得㎡2<4秋2+1. 8km 4m2-4 1+x2= 则1 4k2+1, x=4k2+1, wkw=上，》，=+m,+则_§ 因为 x+2x2+2(x+2)(x2+2)4 整理可得（42-5小x,+(4km-10)(:+x)+4m2-20=0 (4k2-54m2-4_8km(4km-10）+4m㎡2-20=0 即 4k2+1 4k2+1 整理可得m2-5km+6k2=0,解得m=2k或m=3k, 若m=2k,则直线MN:y=+2k=k(x+2)过定点4(-2,0），不合思意： 若m=3认，则直线MN:y=c+3张=k(+3)过定点（一3,0），符合思盒： 综上所述：直线MW过定点(-3,0). 20.【答案】(1)1(2)（-∞，0) (3)答案见解析 【小问1详解】 自数/()=(-lax+a,可得=nr++2aw=nr+1-+2ax 则f'()=2a,f0=(1-1)ln1+ax1P=a 因为f'(0)-f0=1,可得2a-a=1,解得a=1. 【小问2详解】 函数f()=(-1h+ar的完义峻为Q+）,因f四=nr+1-士2ax 令o()=r+1-+2asp)=++2a2ar2+x4l ,则 x x2 x2 令g()=2ar2+x+1.x∈(0，+o)】 ①当2a=0时，即a=0时，8()=x+1>0在(0，+)上恒成立， 即()>0在(0，+w)上恒成立：所以f()在(0，+o)上单调递增，()无最大值，不合题意： ②当2a>0时，即a>0时，二次函数8()=2ar+x+1的图象开口向上， =a0.&0=1>0,e(闭>00）收立 且对称轴4a 即(，)>0在(0，+∞)上恒成立：则()在(0，+∞)上单调递增，f'()无最大值，不合愿意： ③当2a<0时，即a<0时，∫'()在8(x)=0的根处取得最大值， ->0 由二次函数8()的图象开口向下，对称轴4a了 因为8(0)=1>0，所以存在∈(0，+），g()=0 当x∈(0，)时，g(>0,即'()>0，f'()在(0，)上单调递增； 当x∈(，+∞)时，8()<0，即p()<0,∫（在(，+0）上单调递减， 所以∫'()在x=处取得最大值， 综上可得，实数a的取值范围为（-0,0) 【小问3详解】 =f=+1-+2g羚e)-+2a-2m 由(1)知 ,可得 x2 因为了()在x=1处取得最大值，则x=1是（的极大值点， 即=1是96闭=0的根.则00-211=2a+2-0 12 ，解得a=1. 把a=1代入得)=(-lmr-,可存厂代国)=ax+1-是2x 则曲线y=f()在点Pf刃处的切线方程为”-f0=∫0x-), 令x=0,可得。=f()-tf'(), X因%f0-=e-0m-f,0=*1-}2 -f0-f0=--）-t+1-2 可得 tlnt-Int-t2-tlnt-t+1+22=t2-t-Int+1, 在△OP0中，0为原点，P飞f(刃，(0，e)】 所5am2a=a 当t>1时，%=-i-t+1,令h0)=t-i-l+1,1>1, h(0=21-1-1-(2+10-) 可得 t 当1>1时，h'(0>0,h0在（L,+o)单调递增，所h(0>h0=1-1-0+1=1>0, 6>0,5am0%--*l 1 因为△OP9的面积为4，可得2 e1-m0-4,用-f- 1=0 1 F0=-+1-r-五，1>1，可特F0）=3-2+1--1=-2-l， 设 设G0=302-21-lt,t>1,可 G0=61-2-1_6r2-21-1 tt, 令m(0)=6-21-1,t>1,可得m(在（，+o)上单调递增， 所以m()>m(0)=3>0,可得G(☑>0，所以G(0在+o）上单调递增， 所以G)>G0)=3x1P-2×1-1n1=1>0 可得F'()>0,所以F(在(L,+∞)上单调递增， 所F0小>F0=P-P+1-1xn1- 22」 所以F(=0在(，+o)上无解，即不存在t的值，使得△OP的面积为4. 21.【答案】(1)①具有性质Ψ；②不具有性质平. (2)证明见解析. (3)证明见解析. 【小问1详解】 ①当0，=2n-l时，显然am为正整数，且0，<a. 又因为0，=2n-1,所以0.=20，-1 从而4+a,++a,=1+3+5++(2a,-1) 前0个正奇数的和为a,所以4+a,+…+a,=a 故数列a。=2n-l具有性质平. ②当0，=2”时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取n=1,有4=2 而4=4，同时4+4，=2+4=6 所以a≠a+a2. 不满足性质平中的条件②，故数列0。=2”不具有性质平. 【小问2详解】 由数列c}具有性质平，得=G+G++C。. +4++d=6+6++e.)】-[1+3++(2e,-=g-+2,k-0 因此 所以d+d,+…+d=-d,所以(d+d+…+d=d. 【小问3详解】 设数列e.}满足e.=a,-(2n-l),neN 由题知4，<aH,得e+(2i-)<e+(2i+),即9-e>-2, 假设e,}中满足e,=0的项数有限，则存在正整数K,使得当m>K时，。≠0， 即当m>K时，em>0或em<0 ①若满足e。>0的项数有限，则存在正整数≥K),使得当m>1时，e。<0, 由第二问可知4+6++6，=0(n∈N)恒成立.1) 设S=6+6,+…+e,由于当m>l时，em<0,又em是整数，有em≤-1， 所uT=(6+6++e)+(9+e2++e)sS+(-10S+1)s-1 所以对满足0，≥1++1的正整数n,9+6++e<0,与1)式矛盾. ②若满足m<0的项数有限，同理可得矛盾. ③由①②可知， {e}中有无穷多项满足m>0,且有无穷多项满足em<0 因此，存在正整数1，>j>K),使得>0且e<0, 因此，存在正整数(i>12》,使得9>0，且<0，即921且≤-1，于是91-G≤-2， 与9-8>-2矛盾， 所以数列，}中有无穷多项为0. 即失合M=eN1a=2i-是无限袋 北京市广渠门中学2026—2027学年度第一学期 高三年级定位考 数学学科 时间：120分钟 2026.8 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，那么下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A． B．是函数的图象的一条对称轴 C．在上是减函数 D．在上是增函数 7．已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，，若的最大值为，则（ ） A．，有2个零点 B．，有3个零点 C．，有2个零点 D．，有3个零点 9．设，，则（ ） A． B． C． D． 10．若函数在区间上，对，，，，，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”．已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则________． 12．若的展开式的二项式系数和为32，则________，的系数为________． 13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则________；面积为________． 14．若直线是曲线与曲线的公切线，则________，________． 15．已知，为定义域为的函数，其中为奇函数，为偶函数，下列命题所有正确的序号是________． ①存在，使得恒成立； ②使，，恒成立的存在且不唯一； ③使，恒成立的，存在且唯一； ④满足当时，恒成立的有无穷多个． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分； 如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长． 18．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表． 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求，的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人．若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训．该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分． 用样本估计总体．为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 19．已知椭圆：的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为的菱形． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为．求证：直线过定点． 20．已知函数，是的导函数． （1）若，求的值； （2）若存在最大值，求的取值范围； （3）设在处取得最大值．直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点．是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 21．已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质． （1）判断下列无穷数列，是否具有性质． ①； ②． （2）对于任意具有性质的数列，记． 求证：； （3）若数列具有性质，证明：集合是无限集． 学科网（北京）股份有限公司 $