2.3 等腰三角形的性质 同步练习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 同步练（提升版），初中数学新授课用，聚焦等腰三角形性质，通过分层设计实现从基础应用到综合探究的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）|如选择3直接考查三线合一，填空9结合三边关系训练分类讨论| |能力提升|性质与全等、角平分线综合应用|如选择2结合尺规作图，填空10通过全等转化角关系| |综合应用|动态探究与开放问题|如解答17设置动点探究角关系，选择1分割三角形考查多解思维|

（提升版）浙教版数学八上 2.3 等腰三角形的性质 同步练习 一、选择题 1．（2026八上·祁东期末）如图，已知△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 2．（2025八上·镇原县期中）如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD 3．（2025八上·石林期末）大观公园是国家4A级旅游景区，始建于明朝洪武元年（公元1368年），位于昆明市以西约2公里的滇池湖畔，完好保存着许多古典园林建筑群，既反映中国清代古建筑的风格，又具有云南地方民族建筑的特色，是云南清代园林建筑的博览苑．如图，建筑的顶端可看作等腰三角形，，是的中点．下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026八上·嘉兴期末）将一张等边三角形纸片沿图中虚线剪开，则∠α的度数可能是（　　） A．56° B．58° C．60° D．62° 5．（2026八上·黔南期末）如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2026八上·宽城期末）如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，一束太阳光线平行照射在垂直放置于水平地面的等边三角形ABC上，若∠1=24°，则∠2的度数为(　　) A．24° B．36° C．48° D．56° 8．（2022八上·安化期中）定义：若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“优美三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”．下列四个三角形中，BD平分∠ABC，其中BD是“优美线”的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026八上·潮南期末）若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是　 　． 10．（2026八上·涪城期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC延长线上一点，连接AD，过A作AE=AD，且∠DAE=∠BAC，连接CE交AD于点F．若∠FCD=α，则∠B的大小是　 　 （用含α的代数式表示）． 11．（2026八上·越秀期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为　 　． 12．（2025八上·长春期中）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为　 　． 三、解答题 13．（2026八上·番禺期末）如图，在中，，为延长线上一点． （1）尺规作图并在图中标出相应的字母：在射线的右侧，过点作射线，并在射线上截取，连接交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求证：点为线段的中点． 14．（2023八上·安宁期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，连接AE． （1）证明：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 15．（2025八下·建德月考）如图1所示的云梯是古代攻城用的器械，传说由鲁班发明．云梯底架以木为床，下置六轮，梯身以一定角度固定装置于底盘上，并在主梯之外增设了一具可以活动的副梯，主、副梯长度相等，立柱、底板、主梯构成一个三角形．如图2为其平面示意图，，米，AD可以绕点A旋转，以便调节云梯的高． （1）若，，求的度数； （2）当时，计算出点D到的距离． 16．（2026八上·门头沟期末）已知：如图与都是等边三角形，点、、在一条直线上，连接、．求证： 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是　 　，②是　 　． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 17．（2025八上·衢州期中）如图， 等腰△ABC 中， AB=AC， 点P 是边 BC上的一个动点(不与B，C重合)， 连接AP， 在边AB上取一点Q， 使得AQ=AP， 连接PQ. （1） 若∠C=70°， ∠CAP=20°， 求∠BPQ 的度数； （2） 若∠C=60°， ∠CAP=x°， 请用含x的代数式表示∠BPQ的度数； （3）由(1)(2)的结论，请猜想∠CAP 与∠BPQ 的数量关系，并证明你的猜想. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：如图所示，当AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG时，都能得到符合题意的等腰三角形，共计有4条. 故选：B. 【分析】运用等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形. 2．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【解答】如图， 根据尺规作图得：， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴BM=BD，故Ｄ正确. ∵根据已知不能得，故∠ABN≠∠A，故A错误. ∵，， 又∵无法证明， ∴无法证明，即无法证明BN⊥AC，故Ｂ错误. ∵根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误. 故答案为：Ｄ. 【分析】根据尺规作图得相等，根据角平分线定义得相等，再根据三角形外角性质得，，进一步推理得，再根据等角对等边即可得BM=BD，而根据已知条件无法得，故∠ABN≠∠A，故A错误，无法证明，即无法证明BN⊥AC，根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误，即可得答案. 3．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴，故选项A正确； ∵，是的中点， ∴，，故选项B、C正确． 由已知得不到，故D不正确； 故答案为：D. 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中点和底边上的高线是同一条线）分析求解即可. 4．【答案】D 【知识点】等边三角形的性质；三角形的外角和 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵∠α是下方小三角形的外角， ∴∠α=∠B+剪开处的小角， ∴∠α>60°. 同时，剪开的虚线在三角形内部，因此∠α<120°． 在选项中，只有62°>60°，故∠α的度数可能是62°． 故答案为：D. 【分析】先利用等边三角形性质得出∠B=60°；再根据三角形外角和定理，判断∠α一定大于60°；最后在选项中筛选出大于60°小于120°的答案，即62°． 5．【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：在等边△ABC中，三条边相等（AB = BC = AC），三个内角均为60°，（∠ABC = ∠ACB = 60°）。 已知BD = CE，结合等边三角形的性质AC = CB，且∠ACE = ∠CBD = 60°，满足SAS（边角边）判定条件，可证得△AEC ≌ △CDB。 由此可得对应角相等：∠CAE = ∠BCD。 ∠AFD是△ACF的一个外角，根据外角定理，它等于不相邻的两个内角之和，即： ； 将∠CAE替换为∠BCD，可得：， 而∠BCD + ∠ACD就是等边△ABC的内角∠ACB，其度数为60°，因此：。 故答案为：B。 【分析】这道题的核心是利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，再结合三角形外角定理来求解角度。首先通过已知条件证明两个三角形全等，得到角相等的关系，再利用外角定理将目标角转化为等边三角形的内角，从而得出结果 6．【答案】C 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， ∴，BD平分，∠BDC=90°， ， ， ， ∴∠BDE=180°-∠DBE-∠E=120°， 故答案为：C． 【分析】由等边三角形三个内角都为60°得∠ABC=60°，由等边三角形三线合一得∠CBD=30°，由垂直的定义得 ∠ BDC=90°，再由等边对等角得出∠DBC=∠E=30°，然后根据三角形内角和定理求出∠BDE的度数，最后根据角的构成可求出∠CDE的度数. 7．【答案】B 【知识点】等边三角形的性质 【解析】【解答】解：如图. 因为等 边 三 角 形 ABC中， ∠ACF = 60°， 所以 ∠ACD = 120°. 因为∠1= ∠CBD =24°，所以∠BDC = 180°-120°-24°=36°. 因为太阳光线平行，所以DB∥EF，所以∠2=∠BDC=36°. 故答案为： B. 【分析】先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得∠ 再利用三角形内角和求出 再由平行线的性质可得 的度数. 8．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：A.在直角三角形ABC中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项A不符合题意，A错误； B.在中， ∴是等边三角形， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴ ∴ ∴，，即BD不是“优美线” 故选项B不符合题意，B错误； C.在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD不是“优美线” 故选项C不符合题意，C错误； D. 在中， ∴ 又平分 ∴ ∴ ∴，即BD是“优美线” 故选项D符合题意，D正确； 故答案为：D 【分析】本题考查“优美线”的定义，角平分线的定义，三角形的边角关系.A，先利用三角形的内角和定理可求出，再根据平分，利用角平分线的定义可得：，进而可求出，利用三角形的边角关系可推出，，根据“优美线”的定义可判断A选项；利用等边三角形的性质可得：，，再根据BD平分∠ABC，利用角平分线定义和角的运算可得：根据三角形的边角关系可得：，，根据“优美线”的定义可判断B选项；先利用三角形的内角和定理可求出，根据平分，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得：，利用三角形的边角关系可得：，根据“优美线”的定义可判断C选项；先利用三角形的内角和定理可得：，根据平分，利用角平分线的定义可得：，利用三角形的内角和定理可得：，根据等角对等边可得：，根据“优美线”的定义可判断D选项. 9．【答案】4cm 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：当腰为时，底边长为， ∵， ∴不满足三角形三边关系； 当底边为时，腰长为， ∵，7-7＜4，满足三角形三边关系， 因此底边长为． 故答案为：． 【分析】本题先根据等腰三角形的性质，分腰为和底边为两种情况，分别计算出对应的底边长度和腰长；最后结合三角形的三边关系“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”进行验证，即可得出答案。 10．【答案】​​​​​​​ 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠B=∠ACB=∠ACE， ∵∠ACB+∠ACE+∠FCD=180°， ∴∠B+∠B+α=180°， ∴ 故答案为：. 【分析】先由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，再证△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠B=∠ACB=∠ACE，即可得出结果. 11．【答案】或 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：如图， 过点P作交于点M，过点P作交于点N， ∵， ∴， ①当点D在点时， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②当点D在点时， ∵ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【分析】过点P作交于点M，过点P作交于点N，根据条件求出，当点D在点时，根据角平分线的性质得到与相等，根据条件证明证明出和全等，根据全等性质得得到，即可得的度数，同理得当点D在点时，求得的度数为，综合即可得的度数. 12．【答案】6 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° ∴∠DBA=∠DCA=90° 延长AB至F，使BF=CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC ∴△BDF≌△CND ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN=MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6． 故答案为：6 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得∠BCD=∠DBC=30°，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，根据全等三角形判定定理可得△BDF≌△CND，则∠BDF=∠CDN，DF=DN，再根据全等三角形判定定理可得△DMN≌△DMF，则MN=MF，再根据三角形周长即可求出答案. 13．【答案】（1）解：如下图， 过点A作的平分线， ∵， ∴， ∵，且平分， ∴， ∴， 在上截取，连接交于点，即可完成作图； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点为线段的中点． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）过点A作的平分线，再在上截取，连接交于点即可. （2）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段中点判定定理即可求出答案. （1）解：如下图， 过点A作的平分线， ∵， ∴， ∵，且平分， ∴， ∴， 在上截取，连接交于点，即可完成作图； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点为线段的中点． 14．【答案】（1）解：∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求证。先利用垂直平分线的性质得到，再利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出； （2）根据30度直角三角形的性质求解。先利用三角形内角和定理求出，再求出，最后利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 15．【答案】（1）解：∵， ∴． ∵主、副梯长度相等， ∴， ∴． ∴ （2）解：过点D作于F， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴米 即点D到的距离为5米 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到∠ACB=∠DAC=40°，再由等边对等角和三角形内角和定理即可得到答案； (2)过点D作DF⊥AC于F，可证明△DAF≌△CAB，则DF=BC=5米. 16．【答案】（1）∠1+∠2=∠3+∠2；BA=BC （2）证明： ∵△ABC与△BED是等边三角形， ∴∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE， ∴∠1+∠2=∠3+∠2 即：∠ABE=∠CBD 在△CBD与△ABE中， ∴△CBD≌△ABE(SAS). ∴CD=AE. 【知识点】角的运算；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】 解：（1）∵ ∴∠1+∠2=∠3+∠2 ∴ 故答案为：∠1+∠2=∠3+∠2 ∵ 是等边三角形 ∴BA=BC 故答案为：BA=BC 【分析】 （1）根据角度的和差运算可得∠1+∠2=∠3+∠2；根据等边三角形的性质得到BA=BC，解答即可； （2）先根据等边三角形的性质得到∠1=∠2 ， BA=BC， BD=BE，再计算角度的和差运算得到∠ABE=∠CBD，即可利用SAS证明△CBD≌△ABE，再根据全等三角形的性质即可解答. 17．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠C=70°， ∴∠B=∠C=70°。 在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-70°-70°= 40°。 ∵∠CAP=20°， ∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=40°-20°=20°， ∵AQ = AP， ∴∠AQP=∠APQ。 在△AQP中， (180°-20°)=80°。 ∵∠AQP是△BPQ的一个外角， ∴∠AQP=∠B+∠BPQ， ∴∠BPQ =∠AQP-∠B=80°-70°=10° （2）解：∵AB=AC，∠C=60°， ∴∠B=∠C =60°， 在△ABC中， ∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-60°-60°=60°， ∵∠CAP=x°， ∴∠BAP=∠BAC-∠CAP =(60-x)°， ∵AQ=AP， ∴∠AQP=∠APQ， 在△AQP中，， ∵∠AQP是△BPQ的一个外角， ∴∠AQP=∠B+∠BPQ， （3）解：猜想： ∠CAP=2∠BPQ， 证明： 设∠C = m°， ∠CAP =n°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C =m°， 在△ABC中， ∠BAC =180°-∠B-∠C =(180–2m)°， ∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=(180-2m-n)°， ∵AQ = AP， ∴∠AQP=∠APQ， 在△AQP中， ∵∠AQP是△BPQ的一个外角， ， 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形两底角相等求出的度数，再利用三角形内角和定理求出 的度数，然后根据等腰三角形性质求出 的度数，最后根据三角形外角性质求出 的度数； （2）同样先根据等腰三角形性质求出的度数，再用含x的式子表示出的度数，接着根据等腰三角形性质求出的度数，最后根据三角形外角性质求出的度数； （3）通过 (1)(2)的计算结果，猜想 与 PQ的数量关系，然后根据前面的推理过程进行证明. 学科网（北京）股份有限公司 $