2.3 等腰三角形的性质定理 同步训练 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，覆盖等腰三角形性质定理的直接应用到动态几何综合，通过梯度题型培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三线合一、等边对等角直接应用|选择/填空题考查性质判断（如第1题三线合一结论辨析）| |提升层|性质与全等、平行线结合|解答题涉及简单推理（如第19题用三线合一证线段相等）| |综合层|动态几何、分类讨论|含动态三角板旋转（第16题）及多结论面积问题（第12题）|

浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 同步训练 一、选择题 1.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，下面结论中不一定成立的是（　　） A.∠BAD＝∠DAC B.BD＝DC C.∠ADC＝90° D.∠B＝∠BAD 2.已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC＝a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA＝h，最后连接AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD＝h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC＝a，最后连接AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（　　） A.甲错误，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 3.已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A.BD＝CD B.BD＝AD C.AD平分∠BAC D.∠B＝∠C 5.如图，已知线段a、h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．王秀同学的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB、AC．△ABC即为所求的三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 6.若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 7.如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20°           D.22.5° 9.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①△ABD≌△CAE；②∠BFE＝60°． A.① B.② C.①② D.都错 10.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（　　） A.67.5° B.52.5° C.45° D.75°． 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 12.如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 二、填空题 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 14.在等腰△ABC中，∠A为110°，则∠B为 　  　． 15.如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 16.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　             　． 17.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠B＝100°．延长线段BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM﹣DN|的值最大时，∠ACE的度数为 　   　． 三、解答题 18.如图，AD、BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点O．求∠AOB的度数． 19.已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 21.如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD． （1）若∠C＝36°，求∠B的度数； （2）若∠BAD＝x°，∠C＝y°，求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）． 22.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β． ①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值， ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 浙教版（2024）八年级上册 2.3 等腰三角形的性质定理 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，下面结论中不一定成立的是（　　） A.∠BAD＝∠DAC B.BD＝DC C.∠ADC＝90° D.∠B＝∠BAD 【答案】D 【解析】∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAC，AD是△ABC的中线，高线， ∴BD＝DC，∠ADC＝90°， 故A、B、C都成立，只有D不一定成立． 故选：D． 2.已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC＝a，再作BC的垂直平分线MN交BC于点D，并在DM上截取DA＝h，最后连接AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD＝h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC＝a，最后连接AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确的是（　　） A.甲错误，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 【答案】B 【解析】根据甲同学的作法，AD垂直平分BC，则AB＝AC，所以△ABC为直角三角形，而根据乙同学的作法，AD只垂直BC，不平分BC，所以不能判断△ABC为等腰三角形， 所以甲同学作法正确，乙同学作法错误． 故选：B． 3.已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，延长交直线于， 是等边三角形，，，，，． 故选C． 4.已知：△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A.BD＝CD B.BD＝AD C.AD平分∠BAC D.∠B＝∠C 【答案】B 【解析】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD是底边BC上的高， ∴BD＝CD，AD平分∠BAC， ∴A、C、D都是正确的，一定成立，不符合题意， B不一定成立，符合题意， 故选：B． 5.如图，已知线段a、h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．王秀同学的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB、AC．△ABC即为所求的三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 【答案】C 【解析】在直线MN上截取线段h，说法错误，应该是：在直线MN上截取线段AD＝h． 故选：C． 6.若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（　　） A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100° 【答案】C 【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角（180°﹣40°）＝70°； 当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°， 故它的底角的度数是70°或40°． 故选：C． 7.如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是等边三角形，， 过作直线， ，，直线直线，直线，，，， 故选：C. 8.如图，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为（　　） A.15° B.17.5° C.20°           D.22.5° 【答案】A 【解析】∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF， ∴∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，∠EDF＝∠EFD， ∴∠EFD＝4∠A， ∵∠1＝∠EFD+∠A＝5∠A＝75°， ∴∠A＝15°． 故选：A． 9.如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（　　） ①△ABD≌△CAE；②∠BFE＝60°． A.① B.② C.①② D.都错 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠DAF＝∠ABD， ∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°， 故①②正确，符合题意； 故选：C． 10.如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A＝30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为（　　） A.67.5° B.52.5° C.45° D.75°． 【答案】A 【解析】∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BE＝BD＝BC， ∴∠BDC＝∠ACB＝75°， ∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°， ∴∠BED＝∠BDE（180°﹣45°）＝67.5°． 故选：A． 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∵∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠DAC∠BAC＝40°． 故选：B． 12.如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（　　） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】D 【解析】连接等边△ABC各边上的三等分点，如下图所示： 依题意得：图中9个三角形是全等的等边三角形， ∴这9个小等边三角的面积都相等，设每个小等边三角形的面积为a， 则S△ABC＝9a， ∴S△ABC＝3a， 图①中阴影部分的面积S1＝S△AEI+S△OEI+S△OFG＝3a ∴S1S△ABC， 故图①符合题意； ∵BF＝FG， ∴△BOF与△OFG等底上的高相同， ∴S△BOF＝S△OFG＝a， ∴图②中阴影部分的面积S2＝S△BOF+S△OFG+S△CGH＝3a， ∴S2S△ABC， 故图②符合题意； ∵AI＝IH， ∴△HEI和△AEI等底上的高相同， ∴S△HEI＝S△AEI， 即S△AEH＝S△HEI+S△AEI＝2a， 同理：S△BFE＝2a，S△CHF＝2a， ∴图③中阴影部分的面积S3＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CHF＝3a， ∴S3S△ABC， 故图③符合题意， 综上所述：符合题意的图是①②③． 故选：D． 二、填空题 13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件：　         　，能使AD⊥BC成立． 【答案】答案不唯一，如BD＝CD 【解析】①若BD＝CD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC． ②若∠BAD＝∠CAD，则AD⊥BC， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴AD⊥BC． 故填BD＝CD． 14.在等腰△ABC中，∠A为110°，则∠B为 　  　． 【答案】35° 【解析】由题意得： ∠A是等腰三角形的的顶角， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝35°， 故答案为：35°． 15.如图，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　°． 【答案】30 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠DBA＝∠A＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30． 16.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，现将一含30°角的三角板（∠DAE＝90°，∠E＝30°） 的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 　             　． 【答案】40°或140° 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠B＝∠C70°， 分两种情况： 当DE在点A下方时，设DE交AB于点F，如图： ∵DE∥BC， ∴∠AFD＝∠B＝70°， ∵∠AFD是△AEF的一个外角， ∴∠BAE＝∠AFD﹣∠E＝70°﹣30°＝40°； 当DE在点A上方时，延长CA交DE于点F，如图： ∵DE∥BC， ∴∠EFC＝∠C＝70°， ∵∠EAC是△AEF的一个外角， ∴∠EAC＝∠E+∠EFC＝70°+30°＝100°， ∴∠BAE＝∠BAC+∠EAC＝100°+40°＝140°； 综上所述，∠BAE的度数为40°或140°， 故答案为：40°或140°． 17.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠B＝100°．延长线段BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM﹣DN|的值最大时，∠ACE的度数为 　   　． 【答案】130° 【解析】如图，过点B作BH直线l于点H． ∵DN⊥直线l，BH⊥直线l， ∴∠DNC＝∠BHC， ∵∠DCN＝∠BCH，BC＝CD， ∴△CDN≌△CBH（ASA）， ∴BH＝DN， ∴|AM﹣DN|＝|AM﹣BH|， ∵AM与AB重合时，|AM﹣BM|的值最大， ∴当DN与DP重合，AM与AB重合时，|AM﹣DN|＝|AM﹣BM|的值最大，此时|AM﹣DN|＝AB， ∵∠ABC＝100°， ∴∠CBM＝180°﹣100°＝80°， ∵AM⊥CE， ∴∠AMC＝90°， ∴∠BCM＝90°﹣80°＝10°， 又∵AB＝BC， ∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCM＝180°﹣40°﹣10°＝130°， 故答案为：130°． 三、解答题 18.如图，AD、BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点O．求∠AOB的度数． 【答案】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线， ∴，BE⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AOB＝∠CAD+∠AEB＝120°． 19.已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ．求证：BP＝CQ． 【答案】证明：过点A作AO⊥BC于O． ∵AB＝AC，AO⊥BC ∴BO＝CO ∵AP＝AQ，AO⊥BC ∴PO＝QO ∴BO﹣PO＝CO﹣QO ∴BP＝CQ． 20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【答案】证明：在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AD是三角形的角平分线， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）． 21.如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD． （1）若∠C＝36°，求∠B的度数； （2）若∠BAD＝x°，∠C＝y°，求x和y的数量关系（用x的代数式表示y）． 【答案】（1）解：∵AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝36°， ∴∠ADB＝36°+36°＝72°， ∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝72°； （2）解：∵AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB， ∵CD＝AD， ∴∠C＝∠DAC∠ADB， 即y°， 即y＝45°x． 22.如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且EG＝FG，EF平分∠AEG． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由． （2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点O，设∠Q＝α，∠EHG＝β． ①若β＝92°，∠QGE＝20°，求α的值， ②判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，写出α和β的数量关系并证明：若变化，请说明理由． 【答案】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由： ∵EF平分∠AEG， ∴∠AEF＝∠GEF， 又∵∠EFG＝∠FEG， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴AB∥CD； （2）①∵∠QGE＝20°，GQ是∠EGH的平分线， ∴∠QGH＝∠QGE＝20°． ∵β＝92°， ∴∠HMG＝180°﹣92°﹣20°＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠QGF＝∠HMG＝68°， ∴∠EGF＝∠QGF﹣∠QGE＝68°﹣20°＝48°， ∵EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴∠GEF66°， ∴∠Q＝∠GEF﹣∠QGE＝66°﹣20°＝46°； ②点H在运动过程中，α和β的数量关系不发生变化， ∵∠FEG是△EGQ的外角，∠AEG是△EGH的外角， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH， 又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH， ∴∠FEG∠AEG，∠EGQ∠EGH， ∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ （∠AEG﹣∠EGH） ∠EHG， 即αβ． 学科网（北京）股份有限公司 $