2.3等腰三角形的性质定理常考题型归纳与强化训练 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质定理，通过“基础认知-能力提升-综合应用”三层设计，实现从单一性质到跨知识综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|等边对等角、三线合一基本性质|直接应用性质的选择填空题，如已知底角求顶角| |能力提升|性质的分类讨论与辨析|含不确定角的底角计算、三线合一作图依据分析| |综合应用|性质与内外角、平行线、等边三角形结合|跨知识解答题，如房梁水平检测的实际应用证明|

2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理常考题型归纳与强化训练 题型一：利用“等边对等角”性质求角度 例题： （选择题）一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　 ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的两底角相等，结合三角形的内角和定理可得答案。 【详解】等腰三角形的底角等于， 又等腰三角形的底角相等， 顶角等于， 故选：C。 同步练： （选择题）1.在中，，，（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，由已知条件判断出是底角是正确解答本题的关键。 由已知条件判断出是底角，结合等腰三角形的两个底角相等，可知。 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C。 （选择题）2.已知等腰三角形的一个角等于，则它的底角为（　 　）。 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论。 【详解】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角的度数是或， 故选：D。 （填空题）3.在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC。则∠C＝________。 【答案】120° 【分析】由题意易得BC=AC，进而可得∠B=∠A，然后问题可求解。 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且AB＞BC， ∴BC=AC， ∴∠B=∠A， ∵∠B＝30°， ∴∠C＝180°-2∠B=120°， 故答案为120°。 （填空题）4.在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝ 。 【答案】90°或108° 【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论。 【详解】解：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 设∠B=∠C=x， ∵BD=AD，CD=AD， ∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x， ∴4x=180°， ∴x=45°， ∴∠BAC=2x=45°×2=90°； ②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 设∠B=∠C=x， ∵AD=BD，AC=CD， ∴∠BAD=∠B=x，∠CAD=， ∴+x=180°-2x， 解得：x=36°， ∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°， 故答案为：90°或108°。 （填空题）5.如图，在四边形中，。设，则______（用含的代数式表示）。 【答案】 【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论。 【详解】解：在△ABD中，AB=BD， ∴∠A=∠ADB= ， 在△BCD中，BC=BD， ∴∠C=∠BDC=， ∵ ， ∴ ， = = = = 故答案为：。 题型二：利用“三线合一”性质辨析与求解 例题： （选择题）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（     ）。 A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 【答案】D 【分析】根据在等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合对各选项进行判断即可。 【详解】解：等腰三角形中三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合；故选D。 同步练： （选择题）1.如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ， ∴ ， 故选：B。 （选择题）2.如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接。这样作法的根据是（     ）。 A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键。根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解。 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一，故选：A。 （选择题）3.如图，在中，，，，（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键。 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C。 （填空题）4.等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为________。 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案。 【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为：。 （填空题）5.如图，在中，，AD为的角平分线，且，若的周长为12，则的周长是 。 【答案】16 【分析】由等腰三角形的顶角的角平分线、底边中线、高线三线合一，可知，故的周长等于，根据的周长为12，，求出即可。 【详解】解：在中，，AD为的角平分线， AD也是BC边的中线， ， 的周长， 的周长为12，， ， 的周长， 故答案为：16。 （填空题）6.如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________。 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数。 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴；故答案为：。 （解答题）7.某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的。他们的方法对吗？为什么？ 【答案】解：他们的方法对的； ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴（三线合一）， ∵垂直地面， ∴平行地面，即房梁是水平的；故他们的方法正确。 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解。 【详解】略 （解答题）8.如图，在中，，垂足为D。已知，的周长为36，求的各边长。 【答案】 【分析】利用等腰三角形“三线合一”的性质得到，设，利用的周长为，列方程即可求解。 【详解】解：， 设则， ， 。 的周长为36， ， 解得， 。 题型三：利用“等边对等角”性质结合三角形内外角关系求解 例题： （选择题）中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（    ）。 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等边和三角形内角和定理求出的度数，再分和两种情况，画出对应的图形讨论求解即可。 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图1所示，当时，则； 如图2所示，当时，则； 综上所述，的度数为或， 故选：D。 同步练： （选择题）1.如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动。若，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B。 （选择题）2.如图，，，则等于（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A。 （填空题）3.如图，在中，若，，，则_____°。 【答案】 【分析】本题考查了外角的定义，等腰三角形的判定及性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键。 设，利用等腰三角形的判定及性质得到，由外角定义得到，再利用三角形的内角和列式运算即可。 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：。 （填空题）4.已知是的高，，，则的度数为______。 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键。当高在等腰三角形外部时；当高在等腰三角形内部时；然后分别进行计算即可解答。 【详解】解：当高在等腰三角形外部时，如图： ， ， ， ， 是是的外角， ， ， ； 当高在等腰三角形内部时，如图： ， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：或。 （解答题）5.已知在中，，点D是边上一点，。 （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F， ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数。 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或。 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键。 （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得；再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答。 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或。 题型四：利用“等边对等角”与平行线性质求角度 例题： （选择题）如图，四边形中，，，若，则的度数为（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等边对等角。 根据等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用平行线的性质得到，进而求解即可。 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B。 同步练： （选择题）1.图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A。 （选择题）2.如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键。 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：。 （解答题）3.如图，，点在直线上，点在直线上，，求的度数。 【答案】 【分析】此题考查三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，根据等边对等角推出，利用两直线平行同位角相等得到，由此求出的度数，即可求出的度数。 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， 。 题型五：利用等边三角形的性质求值或证明 例题： （选择题）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（     ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出。 【详解】解：是等边三角形， ， 于点， ， 故选：A。 同步练： （选择题）1.如图，等边中，点D是上一点，，则（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得。 【详解】∵是等边三角形， ∴， 在中，， 即， 又∵， 即， ∴， 故选D。 （选择题）2.如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；。其中正确的有（      ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，根据等腰三角形三线合一，即可一一判断。 【详解】解：是等边三角形，是等边三角形， ，，，， ∵是角平分线， ， ，故①正确，， ，，故②正确， ，故③正确， 故选：D。 （选择题）3.如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（    ）。 A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质。由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解。 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即， ∴为中线，则， 故选：C 。 （解答题）4.等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？并画出所有的对称轴。 【答案】有，3条，见解析 【详解】有“三线合一”的性质 （解答题）5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP。 【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAP=∠CBQ=60°，求出∠BCP=30°，由三角形内角和定理得出∠BHC=90°，则可得出结论。 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，∴。 （解答题）6.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合等边三角形的性质和三角形内角和可求得答案。 【详解】解：如图，为等边三角形，、分别为、边上的中线，交于点， ∵为等边三角形，、分别为、边上的中线， ，平分， ，， ， ∴等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.3等腰三角形的性质定理常考题型归纳与强化训练 题型一：利用“等边对等角”性质求角度 例题： （选择题）一个等腰三角形的底角等于，则这个等腰三角形顶角的度数是（　　 ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.在中，，，（   ）。 A． B． C． D． （选择题）2.已知等腰三角形的一个角等于，则它的底角为（　 　）。 A． B． C．或 D．或 （填空题）3.在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC。则∠C＝________。 （填空题）4.在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝ 。 （填空题）5.如图，在四边形中，。设，则______（用含的代数式表示）。 题型二：利用“三线合一”性质辨析与求解 例题： （选择题）性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（     ）。 A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 同步练： （选择题）1.如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接。这样作法的根据是（     ）。 A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 （选择题）3.如图，在中，，，，（ ）。 A． B． C． D． （填空题）4.等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为________。 （填空题）5.如图，在中，，AD为的角平分线，且，若的周长为12，则的周长是 。 （填空题）6.如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________。 （解答题）7.某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的。他们的方法对吗？为什么？ （解答题）8.如图，在中，，垂足为D。已知，的周长为36，求的各边长。 题型三：利用“等边对等角”性质结合三角形内外角关系求解 例题： （选择题）中，，，点在线段上，若为直角三角形时，的度数为（    ）。 A． B． C．或 D．或 同步练： （选择题）1.如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动。若，则的度数是（    ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，，，则等于（   ）。 A． B． C． D． （填空题）3.如图，在中，若，，，则_____°。 （填空题）4.已知是的高，，，则的度数为______。 （解答题）5.已知在中，，点D是边上一点，。 （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F， ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数。 题型四：利用“等边对等角”与平行线性质求角度 例题： （选择题）如图，四边形中，，，若，则的度数为（　 　）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（   ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（    ）。 A． B． C． D． （解答题）3.如图，，点在直线上，点在直线上，，求的度数。 题型五：利用等边三角形的性质求值或证明 例题： （选择题）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（     ）。 A．2 B．4 C．6 D．8 同步练： （选择题）1.如图，等边中，点D是上一点，，则（     ）。 A． B． C． D． （选择题）2.如图，是等边三角形，是角平分线，是等边三角形，与相交于点F，有以下结论：；；。其中正确的有（      ）。 A． B． C． D． （选择题）3.如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（    ）。 A．1 B． C．2 D．3 （解答题）4.等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？并画出所有的对称轴。 （解答题）5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP。 （解答题）6.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $