2.8 直角三角形全等的判定 同步练习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习分层清晰，梯度合理，以直角三角形全等判定为核心，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的路径，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|HL判定、角平分线性质|选择1-4结合尺规作图情境，直接应用单一知识点，强化概念理解| |综合应用|多性质综合（角平分线+垂直平分线）、全等模型|填空11-12以多结论判断题形式，整合角平分线判定与全等推理，培养逻辑思维| |拓展探究|动态问题、实际应用、开放探究|解答15-16结合三角板摆放与动点最值，渗透一线三垂直模型，发展空间观念与创新意识|

（培优版）浙教版数学八上 2.8 直角三角形全等的判定 同步练习 一、选择题 1．（2026八上·黄岩期末）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E.若CB=5，BE=3，则AC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2025八下·资兴期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，点G在边上．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2024八上·富顺月考）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，　∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　） A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm 4．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点 D，E，AD=3，BE=1，则DE=(　　). A． B．2 C． D． 5．（2025八下·涟源期中）如图，在中，，的角平分线交于点，于点．若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CD相交于点P，则下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠BAP=∠CAP B．△ABP与△ACP的面积比等于边AB与AC之比 C．BC=AP+AC D．若∠BAC=60°，则∠BPC=120° 7．如图，在 Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE 相交于点 P，过点 P 作PF⊥AD交BC 的延长线于点 F，交AC 于点 H.则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH= PD；④连接 CP，CP 平分∠ACB.其中正确的是(　　). A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 8．（2023八上·巴中期末）如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（2026八上·宁海期末）如图，△ABC中，D是AC中点，过D作DE⊥AB于点E，BC的垂直平分线分别交BC，DE于F，G，且．若AE=2，BE=5，则DG长为　 　． 10．如图，BE平分△ABC 的外角∠ABD，F 是AC 的中点，过点 F 作AC 的垂线交BE 的反向延长线于点 G，连接CG.若∠ABC=80°，则∠ACG的度数为　 　. 11．（2025八上·嘉陵期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 12．（2025八上·江油期中）如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是　 　． 三、解答题 13．已知 AP 是△ABC 的外角平分线，连接PB，PC. （1）如图1. ①若 BP 平分∠ABC，且∠ACB=28°，求∠APB 的度数. ②若点 P 与点A 不重合，请判断AB+AC与PB+PC的大小关系，并证明你的结论. （2）如图2，过点 P 作PM⊥BA，交 BA 的延长线于点 M，且∠BPC=∠BAC. 求 的值. 14．（2025八上·温州期中）如图，是边长为的等边三角形，为中点． （1）求的长． （2）如图，点在线段上，连接并延长至点，使，连接，为线段上一动点． ①当时，求的长； ②若，且，求的最小值． 15．（2025八上·桂林月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． （1）图1中，，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ， ， ， ，… （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，直接写出的面积． 16．（2025八上·温州期中）如图1， △ABC是边长为4的等边三角形， O为BC中点. （1）求AO的长. （2）如图2， 点E在线段AC上， 连结BE并延长至点F， 使EF=BE， 连接AF， G为线段BC上一动点 ①当AE=1 时， 求AF 的长； ②若AG=AF，且∠BAF=150°，求AE+BG 的最小值. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，交于M，N， ∴直线MN是线段AB的垂直平分线． ∵点D在MN上， ∴AD=BD． 过点D作DF⊥AC于F， ∵CD平分∠ACB，DE⊥CB，DF⊥AC， ∴DF=DE 在Rt△ADF和Rt△BDE中， ∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL）， ∴AF=BE=3 ∵CB=5，BE=3，且E在CB延长线上， ∴CE=CB+BE=5+3=8． 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL）， ∴CF=CE=8 ∵AC=AF+CF，∴AC=3+8=11． 故答案为：D. 【分析】先根据作图得到MN是AB的垂直平分线，推出AD=BD；再利用角平分线性质得到DF=DE；接着通过两次HL全等分别证明AF=BE和CF=CE；最后将AF与CF相加，得到AC的长度为11． 2．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：如图，过点D作于点H， 由作法得：平分， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 故选：B 【分析】 如图，过点D作AB的垂线段DH，由基本尺规作图知AD平分，再由角平分线的性质可得DC＝DH，则可利用HL证明，即． 3．【答案】C 【知识点】全等三角形的实际应用；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】解：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴； ∴，， ∴， 故选：C． 【分析】本题以矩形木块和等腰直角三角形为背景，考查全等三角形的判定与性质的实际应用。由题意可知 AD DE，BE DE，结合等腰直角三角形的两腰相等及直角条件，利用“同角的余角相等”证得 DAC = BCE，进而用 AAS 证明。根据全等三角形的对应边相等可得 EC = AD，DC = BE，而两木塔之间的距离即为 DE = DC + CE，代入木块高度计算即可。 4．【答案】B 【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵BE⊥CE， AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°， ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA， 在△CEB和△ADC中 ∴△CEB≌△ADC (AAS)， ∴BE = DC=1， CE=AD=3， ∴DE=EC-CD=3-1=2， 故选：B. 【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC， 就可以得出BE = DC， 就可以求出DE的值. 5．【答案】B 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【解答】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的证明，勾股定理，三角形周长的计算. 解题关键在于利用角平分线上的点到角两边的距离相等，将CD转化为DE，再通过全等三角形转化线段，最终将的周长转化为已知线段的和. 6．【答案】C 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念；补角 【解析】【解答】解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H ∵BE平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥AC ∴PM=PN ∵CD平分∠ACB，PN⊥AC，PH⊥BC ∴PN=PH ∴PM=PN ∵PM⊥AB，PN⊥AC ∴AP平分∠BAC ∴∠BAP=∠CAP，A选项正确，不符合题意 ∴，B选项正确，不符合题意 ∵∠BAC=60° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120° ∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB ∴ ∴ ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°，D选项正确，不符合题意 根据题意无法证明C选项 故答案为：C 【分析】过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AC于点N，作PH⊥BC于点H，根据角平分线性质可得PM=PN，PN=PH，则PM=PN，根据角平分线判定定理及定义可判断A选项；根据三角形面积可判断B选项；根据补角可得∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可判断D选项. 7．【答案】D 【知识点】等腰直角三角形；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解： 在△ABC中， ∵∠ACB = 90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC 45°， ∴∠APB =135°， 故①正确. ∴∠BPD=45°， 又∵ PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°= 135°， ∴∠APB=∠FPB， 又∵∠ABP =∠FBP， BP= BP， ∴△ABP≌△FBP(AAS)， ∴∠BAP=∠BFP， AB=FB， PA=PF， 故②正确. 在 和 中， 故③正确. 的角平分线AD、BE相交于点P， ∴点P到AB、AC的距离相等， 点P到AB、BC的距离相等， ∴点P到BC、AC的距离相等， ∴点P在 的平分线上， ∴CP平分 ，故④正确. 故答案为： D. 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④. 8．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：①平分，，， ，∠BFD=∠AED=90°， 在和中， ， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， ，故结论①符合题意； ②， ， ，， ，故结论②符合题意； ③垂直平分， ，， 又，， ，故结论③符合题意； ④， ， ， ，故结论④不符合题意； ⑤， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ，故结论⑤符合题意． 故答案为：D． 【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE，用“HL”证Rt△AFD≌Rt△AED，由全等三角形对应边相等的AF=AE；由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，用“HL”证Rt△CDE≌Rt△BDF，据此可判断①；由全等三角形对应边相等得BF=CE，据线段和差及等量代换可判断②；利用线段垂直平分线性质及勾股定理，推导出，据此可判断③；利用全等三角形的对应角相等得∠ACD=∠DBF，由三角形外角性质得∠DAF=∠DBF+∠ BDA，据此可判断④；⑤在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出． 9．【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】解：如图，延长ED至H，使得DH=ED，连接HC， GB， GC， ∵D是AC的中点， 在 和 中， ∵GF垂直平分BC， ∴∠GFB=∠GFC=90°， GB=GC， ∴△GFB， △GFC是等腰直角三角形， ∴∠BGF=∠CGF=45°， ∴∠BGC=90°， ∴△GBC是等腰直角三角形， 又∵∠DHC =∠AED=90°， ∴∠EGB=90°-∠HGC =∠HCG， 在△EBG和△HGC中， ∴△EBG ≌△HGC(AAS)， ∴BE =GH =5， EG= HC=2， 故答案为： 【分析】先用长中线法证明 得出 ，进而得出证明 是等腰直角三角形， 得出BE=GH=5，EG=HC=2，进而根据线段的和差关系即可求解. 10．【答案】50° 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【解答】解：如图，过点 G 作GM⊥BC于点M，GN⊥AB交AB 的延长线于点 N，连接AG交BC 于点 H. ∵F是AC 的中点，GF⊥AC， ∴AG=GC. ∵BE平分∠ABD，BN，BM，BG分别是BA，BD，BE的反向延长线， ∴BG平分∠CBN. 又∵GM⊥BC，GN⊥BN， ∴GM=GN，∠CMG=∠ANG=90°. ∴Rt△GCM≌Rt△GAN(HL). ∴∠GCM=∠GAN. ∵∠AHB =∠GHC，∠GCM=∠GAN， ∴∠AGC=∠ABC=80°. ∵GA=GC， 故答案为：50°. 【分析】过点 G 作GM⊥BC于点M，GN⊥AB交AB 的延长线于点 N，连接AG交BC 于点 H.根军垂直平分线的定义得到AG=GC，然后根据角平分线的性质得到GM=GN，然后根据HL得到Rt△GCM≌Rt△GAN，进而推理得到AGC=∠ABC=80°，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ACG的度数解答即可. 11．【答案】①③④ 【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②只有当是的中线时，，故②错误； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③正确； ④过作，于点，， 由③知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④正确． 综上所述：正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【分析】根据三角形内角和定理可求出∠ACB+∠CAB的度数，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可求出∠AFC的度数，可对①作出判断；若，则可知AD是BC的中线才能成立，可对 ②作出判断；作的平分线交于点，利用ASA可证得，，利用全等三角形的性质可证得，，据此可对③作出判断；过作，于点，，利用角平分线的性质可证得GH=GM，由此可推出，再利用全等三角形的性质，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. 12．【答案】①②④ 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 【分析】利用角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断①；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断②；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④；没有条件得出，即可判断③；综上所述，可得到正确结论的序号. 13．【答案】（1）解：①14°. ②PB+PC>AB+AC. 理由如下： 如图1-1， 在射线AD上取一点H， 使AH = AC，连接PH. ∵AC=AH， ∠PAD=∠PAC， AP =AP， ∴△APH≌△APC(SAS)， ∴PC = PH， 在△BPH中， PB+PH > BH， ∴PB+PC>AB+AC. （2）解： 过点P作PN⊥AC于N， ∵AP平分∠MAN， PM⊥BA， ∴PM = PN， 在Rt△APM与Rt△APN中， ∴Rt△APM≌Rt△APN(HL)， ∴AM =AN， ∵∠BAC =∠BPC， ∴∠MBP =∠PCN， 在△PMB与△PNC中， ∴△PMB≌△PNC(AAS) ∴BM =CN， ∵AM = AN， ∴AC-AB=2AM， . 【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【解答】解： (1) ①∵AP平分 PB平分 【分析】(1)根据三角形的角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论； (2)在射线AD上取一点H，是的.AH=AC，连接PH.则 ，根据三角形的三边关系即可得到结论. (3)过P作 于N，根据角平分线的性质得到PM=PN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，BM=CN，于是得到结论. 14．【答案】（1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点， ∴，， ∴∠AOB=90°， 在中，，， ∴； （2）解：①取中点，连接，则， 同理（）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②在上取点，使， 同理①可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】（）根据等边三角形的性质得，，再利用勾股定理即可求出AO的长； （）①取中点，连接，同理（）可得，再证明，得到，即可求出AF的长； ②在上取点，使，同理（）可得，得出，从而即出，再证出，得出，，从而得出，，即可得出，即可得出的最小值为． （1）解：∵是边长为的等边三角形，点为中点， ∴，， 在中，，， ∴； （2）解：①取中点，连接，则， 同理（）可得，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； ②在上取点，使， 同理①可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 15．【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型 【解析】【解答】（3）解：的面积为24． 理由如下： 延长，过点作于，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 延长，过点作于，如图4所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （2）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （3）延长，过点作于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得PE，延长，过点作于，根据直线平行判定定理及性质可得，再根据三角形面积即可求出答案. （1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：的面积为24． 理由如下： 延长，过点作于，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， 延长，过点作于，如图4所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 16．【答案】（1）解：因为点O为BC中点. 所以 因为△ABC为等边三角形 所以AO⊥BC 在 Rt△ABO中， AB=4 由勾股定理知： 所以 （2）解：①取AC中点 D， 连结BD， 则 由(1)同理可得： 因为AE=1 所以AE=ED 因为EF=BE， ∠BED=∠AEF 所以△BED≌△FEA 所以 ②在AC上取点D， 使EH=AE 由 (2) 同理可得： △BEH≌△FEA 所以BH=AF 因为AG=AF 所以AG=BH 因为BD=AO 所以Rt△AOG≌Rt△BOH 所以DH=GO 所以BG=CH 所以AE+BG=CE 所以AC=CE+AE≤2CE 所以CE≥2 即AE+BG的最小值为2. 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得，AO⊥BC，再利用勾股定理解答即可求解； (2)①取AC中点D，连接BD，同理(1)可得，再证明ABEDAFEA(SAS)，得到AF-BD=2V3，即可求解； ②在AC上取点H，使EH=AE，同理(2)可得△BED≌△FEA，得到BH=AF，即得AG=BH，进而可得Rt△AOG≌Rt△BOH(HL)，得到GO=DH，即得到BG=CH，得到AE+BG=EH+CH=CE，再得到AO=CE+AE≤2CE，解得CE≥2，即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $