2.8　直角三角形全等的判定 同步练 2026-2027学年数学浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦直角三角形全等判定，分层设计基础巩固、能力提升与综合拓展三阶练习，通过概念辨析、推理证明及综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直角三角形全等判定条件（HL、AAS等）|选择填空结合图形辨析，强化概念理解（如第1题判定条件辨析，第2题HL条件补充）| |提升层|判定应用与作图|尺规作图与简单证明结合，培养推理意识（如第6题作直角三角形，第7题利用∠1=∠2证全等）| |拓展层|判定与角平分线等综合应用|多知识点融合与开放探究，发展推理能力（如第11题内角外角平分线综合，第12题角平分线性质与线段关系推导）|

2.8　直角三角形全等的判定 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是(　D　) A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加的条件可以是(　C　) A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD 3.(3分)如图，AC⊥BC，BD⊥BC，若AB=CD=10，AC=7，则BD的长为　7　。  4.(3分)如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。给出下列条件，①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE。可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是　①②③④　(填序号)。  5.(3分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点H。若BH=AC=2，DH=DC=1，则AB=  　。  【解析】 ∵AD⊥BC，BH=2，DH=1， ∴BD=。 在Rt△ADC和Rt△BDH中， ∵ ∴Rt△ADC≌Rt△BDH(HL)， ∴AD=BD=， ∴在Rt△ABD中， AB=。 6.(8分)如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 解：如答图所示， △ABC为所求作的直角三角形。 第6题答图 7.(8分)如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 证明：∵∠1=∠2，∴DE=EC。 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∵ ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。 8.(8分)求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等(画出图形，写出已知、求证和证明过程)。 解：已知：如答图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC=B'C'，CD=C'D'。 求证：△ABC≌△A'B'C'。 第8题答图 证明：∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'， ∴∠CDB=∠C'D'B'=90°。 在△CDB与△C'D'B'中， ∵ ∴△CDB≌△C'D'B'(HL)， ∴∠B=∠B'。 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)。 9.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E。分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D。若AC=3，BC=4，则CD的长为(　C　) A. B.1 C. D.2 第9题图　　 第9题答图 【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB于点H。 ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5。 由作图知，AD平分∠CAB。 又∵∠C=90°，DH⊥AB， ∴CD=DH。 在Rt△ACD与Rt△AHD中， ∵ ∴Rt△ACD≌Rt△AHD(HL)， ∴AH=AC=3， ∴BH=AB－AH=2。 ∵BH2＋DH2=BD2， ∴22＋CD2=(4－CD)2，∴CD=。 10.(8分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF， ∴∠ABC=∠DEF=90°。 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∵ ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)， ∴BC=EF， ∴BC－BE=EF－BE， 即CE=BF。 11.(8分)(1)(4分)求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等(利用图1，写出已知、求证和证明过程)。 (2)(4分)如图2，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP。若∠BAC=62°，求∠PAC的度数。 解：(1)已知：如答图1，作∠BAC的平分线，与∠BCA的平分线相交于点F，连结BF。过点F作FG⊥AB于点G，FD⊥BC于点D，FE⊥AC于点E。 求证：∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。 第11题答图1 证明：∵∠GAF=∠EAF，FG⊥AB，FE⊥AC， ∴FG=FE。 同理可得FD=FE， ∴FG=FD=FE， ∴点F在∠ABC的平分线上，即BF平分∠ABC， ∴∠ABC，∠BCA，∠CAB三个角的平分线相交于点F，且点F到三边的距离相等。 (2)如答图2，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA，交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M。 第11题答图2 ∵CP平分∠ACD， ∴PM=PN。 ∵BP平分∠ABC， ∴PF=PN， ∴PF=PM， ∴∠FAP=∠PAC， ∴∠FAC=2∠PAC。 又∵∠FAC＋∠BAC=180°， ∴2∠PAC＋∠BAC=180°。 又∵∠BAC=62°， ∴∠PAC=(180°－∠BAC)=×(180°－62°)=59°。 12.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF。 (1)(3分)求证：AC=AE。 (2)(3分)若DF=DB，则∠B与∠AFD之间有何数量关系？请说明理由。 (3)(4分)在(2)的条件下，若AB=m，AF=n，求BE的长(用含m，n的代数式表示)。 解：(1)∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°。 ∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠EAD。 在△ACD和△AED中， ∵ ∴△ACD≌△AED(AAS)， ∴AC=AE。 (2)∠B＋∠AFD=180°。理由如下： 由(1)，得△ACD≌△AED， ∴DC=DE。 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ∵ ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)， ∴∠CFD=∠B。 又∵∠CFD＋∠AFD=180°， ∴∠B＋∠AFD=180°。 (3)∵Rt△CDF≌Rt△EDB， ∴CF=EB。 ∵AB=AE＋BE，AC=AE， ∴AB=AC＋BE。 又∵AC=AF＋CF，CF=BE， ∴AB=AF＋2BE。 又∵AB=m，AF=n， ∴BE=(m－n)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.8　直角三角形全等的判定 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列条件中，不能使两个直角三角形全等的是( ) A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加的条件可以是( ) A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD C.BC=AD D.∠ABC=∠BAD 3.(3分)如图，AC⊥BC，BD⊥BC，若AB=CD=10，AC=7，则BD的长为 。  4.(3分)如图，已知AB=DC，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F。给出下列条件，①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE。可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (填序号)。  5.(3分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点H。若BH=AC=2，DH=DC=1，则AB= 。  6.(8分)如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 7.(8分)如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 8.(8分)求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等(画出图形，写出已知、求证和证明过程)。 9.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E。分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D。若AC=3，BC=4，则CD的长为( ) A. B.1 C. D.2 第9题图　　 10.(8分)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，AC=DF，AB=DE。求证：CE=BF。 11.(8分)(1)(4分)求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等(利用图1，写出已知、求证和证明过程)。 (2)(4分)如图2，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，连结AP。若∠BAC=62°，求∠PAC的度数。 12.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF。 (1)(3分)求证：AC=AE。 (2)(3分)若DF=DB，则∠B与∠AFD之间有何数量关系？请说明理由。 (3)(4分)在(2)的条件下，若AB=m，AF=n，求BE的长(用含m，n的代数式表示)。 学科网（北京）股份有限公司 $