2.2 等腰三角形 同步练习 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 浙教版数学八上2.2等腰三角形培优同步练，通过基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，以几何直观和推理能力为核心，构建从概念理解到跨情境应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等腰三角形概念、三线合一、三边关系|选择/填空题考查垂直平分线性质（如第1题）、简单周长计算（如第8题），夯实核心概念| |能力提升|代数与几何综合（分式、坐标）、分类讨论|填空题结合坐标（第9题）、质数三角形（第11题），培养推理意识与分类思想| |综合探究|网格作图、问题探究|解答题设计格点等腰三角形作图（第12题）、中线周长差探究（第15题），发展创新意识与应用能力|

（培优版）浙教版数学八上 2.2 等腰三角形 同步练习 一、选择题 1．（2024八下·新津月考）如图，中，作，垂直平分，交于点F，交于点E，，若周长为16，，，则为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024八上·苏州月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 3．（2025八上·荔湾月考）若实数、满足等式，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（　　） A．6 B．8 C．8或10 D．10 4．（2025七上·增城开学考）一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（　　）． A．18 B．24 C．45 D．60 5．（2024·威县模拟）如图，图中三角形有一个是等腰三角形，则x的值是（　　） A．5 B．8 C．9 D．16 6．（2023八上·九龙坡期末）若三角形三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　） A．不等边三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 7．（2024八上·汉阳期中）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2025八上·上城期中）等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该三角形的底边长为　 　． 9．（2025七下·竞赛）在平面直角坐标系中，点A（-2，3)，点B（4，5)，点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C有　 　个。 10．（2025·雨花期末）已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，则此三角形的周长为　 　． 11．将长度为25cm的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a，b，c，且满足a≤b≤c，则（a，b，c）有　 　组解，所构成的三角形都是　 　三角形. 三、解答题 12．（2025八上·温州期中）如图，在8X8的正方形网格图中，△ABC的顶点均在格点上. （1）请在图中作出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'(点A， B， C的对称点分别是点A'， B'， C')； （2）在线段A'B'上找一点P(点 P 在格点上)，使得△ABP为等腰三角形. 13．（2025八上·盐边期末）（1）已知a+b＝5，ab＝2．求的值； （2）已知等腰ABC的三边a、b、c为整数，且满足，求ABC的周长． 14．（2025八上·余杭月考）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）展开探究。 如图1，在一个5×5的方格图中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形。 小聪的作法：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置。 （1）按照小聪的作法，能确定　 　个点C，此时等腰三角形的底边是　 　 （填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点　 　为圆心，以　 　长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置。 （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来（不写作法，保留作图痕迹）。 （4）小聪、小明和你一共作出了　 　个符合要求的点C。 15．（2024八上·田阳期中）【问题背景】小李同学在学习了数学第13章内容后，他对三角形的三边关系及三角形的中线特别感兴趣，下面是他总结的一些题目笔记．请同学们帮他分析． 【新知探究】如图1，在等腰中，、是的腰．已知三角形两条边的长度分别为，，求的周长？小李经过计算，得出的的周长是或． 任务1：小李的答案是否正确？如果不正确请写出正确的答案． 【新知拓展】根据【任务1】的答案，小李继续探索三角形中线的重要作用． 如图2，当添加条件：是等腰的中线时．求与的周长差． 任务2：请你帮小李写出解答过程． 【拓展应用】结合【任务2】的解答过程，小李继续探索三角形中线在一般三角形中是否具有同样作用． 如图3，在中，已知是的中线（且），其中，．则与的周长差是多少． 任务3：请用含，的代数式表示与的周长差． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ，， ， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的周长公式求出的值，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据AB+BC=10可得关于AB的方程，解方程即可求解. 2．【答案】C 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 【分析】将已经截断下来的4厘米为等腰三角形的腰和底讨论，分别算出其他边的长度，再利用三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判定即可． 3．【答案】D 【知识点】三角形三边关系；绝对值的非负性；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ∴，， 分两种情况： 当为等腰三角形的腰，为底时， ， 当为等腰三角形的腰，为底时， ∵， ∴，，不能组成三角形， ∴的周长是． 故答案为：D． 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，三角形周长的计算公式，绝对值的非负性．分两种情况进行计算是解题的关键． 根据绝对值的非负性：两个非负数的和为0，可得：，，解得m=2，n=4，再根据等腰三角形的定义：两腰相等可分两种情况： 以为等腰三角形的腰，为底和为等腰三角形的腰，为底，当为等腰三角形的腰，为底时，此时三角形的三边长为2，2，4，再根据等腰三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边可得：2+2=4，不满足三边关系，故这种情况不存在；当为等腰三角形的腰，为底时，此时三角形三边长为4，4，2，再根据等腰三角形的三边关系可得：4+2=6＞4，符合题意，再根据三角形周长的计算公式：三角形的周长等于三边之和可得：△ABC的周长=4+4+2=10，由此可得出答案． 4．【答案】D 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是 故选：D． 【分析】先求出等腰三角形的两边长，然后分为两种情况，利用三角形的三边关系确定三边的长，然后计算周长即可． 5．【答案】D 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵上面三角形的三边长分别为9，8，x， ∴， 即， ∵下面三角形的三边长分别为5，16，x， ∴， 即， ∴， ∵图中三角形有一个是等腰三角形， ∴x只能取16， 故答案为：D． 【分析】首先根据三角形三边之间的关系可得出， 然后根据x的范围，逐项进行判断，即可得出答案。 6．【答案】B 【知识点】分式的值为零的条件；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：∵分式的值为0， ∴a-c≠0，ab-ac+bc-b2=0， ∴ ab -b2-ac+bc =b（a-b）-c（a-b）=（a-b）（b-c）=0， ∴a≠c，a=b，或b=c， 因此可知此三角形一定是腰与底边不等的等腰三角形． 故选B． 【分析】本题考查分式为0的条件以及三角形形状的判断，结合因式分解分析边的关系是解题关键.根据分式等于0的条件，分母不为0，分子等于0，即可得（a-b）（b-c）=0，得a=b或b=c，又a≠c，故三角形是腰与底边不等的等腰三角形，选B. 7．【答案】B 【知识点】等腰三角形的概念 【解析】【解答】当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：． 【分析】根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案. 8．【答案】或 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰为时， 底边长为， 则三边长为、、，满足三角形三边关系，此时底边长为， ②当等腰三角形的底边为时， 腰长为， 则三边长为、、，满足三角形三边关系，此时底边长为， 综上所述：该三角形的底边长为或． 故答案为：或． 【分析】分底边为3和腰为3两种情况进行讨论，利用三角形的周长及等腰三角形的性质求出其它边长，最后验证是否满足三角形三边关系即可． 9．【答案】10 【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：以A为圆心，AB长为半径作弧交坐标轴于4个点； 以B为圆心，AB长为半径作弧交坐标轴于4个点； 以AB为直径作圆，与y轴交于两点，与x轴无交点， ∴构成 △ABC是等腰三角形的点C有4+4+2=10个， 故答案为：10. 【分析】分三种情况作图得到与坐标交点个数解答即可. 10．【答案】10或11 【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：由已知可得： 3-a≥0 且 2a-6≥0， ∴a=3. ∴b=4. 当此三角形的腰为a，底是b时，周长=3+3+4=10. 当此三角形的腰是b，底是a时，周长=4+4+3=11. ∴此三角形的周长为10或11. 故答案为：10或11. 【分析】先由已知求出a、b的值。再分别讨论：a为该等腰三角形的腰，b为底时该三角形的周长和b为该等腰三角形的腰，a为底时该三角形的周长。即可得出结果. 11．【答案】2；等腰 【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：由题意可得：最长边介于周长的 和 之间， ∴最长边可取整数12，11，10，9， ∵三边长都是质数，则最长边为11， 另两边的和为14 其中符合条件的有11+11+3=25，7+7+11=25 故答案为：2；等腰 【分析】由题意可得：最长边介于周长的 和 之间，则最长边可取整数12，11，10，9，根据质数可得最长边为11，另两边的和为14，结合三角形性质即可求出答案. 12．【答案】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；作图-画给定对称轴的对称图形 【解析】【分析】(1)利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线l的对称点即可； (2)当BP=BA=5时可确定P点位置；当AP'=AB=5时，可确定点P'的位置. 13．【答案】解：（1）∵a+b＝5，ab＝2， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． ∵△ABC是等腰三角形， ∴当，时，符合三角形的三边关系，△ABC的周长为2+2+3=7； 当，时，符合三角形的三边关系，△ABC的周长为3+3+2=8． 综上可得，△ABC的周长为7或8． 【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【分析】（1）由题意，用完全平方公式计算即可求解； （2）先把等式右边的移到等式左边，然后用完全平方公式可得，根据偶次方的非负性可得关于a、b的方程，解方程求出a和b的值再根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理即可求解． 14．【答案】（1）3；BC （2）B；AB （3）解：如图所示，即为所求； （4）8 【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【解答】解：（1）如图， 符合条件的C点有3个，此时等腰三角形的底边为BC， 故答案为：3；BC. ⑵如图， 以点B为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置 ，共有3个符合条件的C点. 故答案为：B；AB. (4)由以上作图知，共有8个符合条件的C点. 故答案为：8. 【分析】⑴ 以点A为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图轨迹作答. ⑵以点B为圆心，以AB长为半径画弧， 根据作图方法作答. ⑶以A、B分别为圆心，以大于AB长为半径作图. ⑷综合以上作图可知答案. 15．【答案】解：任务1：∵三角形两条边的长度分别为，∴①当，时 ∵，围不成三角形，不符合题意，应舍去； ②当，时 ∵，能围成三角形，符合题意， ∴的周长为； 综上所述，的周长为． ∴小李的答案不正确，正确答案是； 任务2：∵是等腰的中线 ∴ ∴的周长为， ∴的周长为， ∴与的周长差为； 任务3：∵是等腰的中线 ∴ ∵， ∴的周长为， ∴的周长为， ∴与的周长差为． 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；三角形的中线 【解析】【分析】任务1：根据三角形三边之间的关系可得出，围不成三角形，故而只能得出一种情况； 任务2：根据图形可知，两三角形的周长差，也就是腰AB与底BC的差，由（1）知答案为：9-4=5（cm）； 任务3：同任务2的方法求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $