精品解析：浙江杭州市观城实验学校2026-2027学年九年级上学期开学检测数学试题

2026学年第一学期九年级数学学科暑期自学反馈试题卷 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键．根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可． 【详解】解：因为线段c是线段a、b的比例中项，线段， 所以， 所以或（舍去）， 故选：C． 2. 如图，在中，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴tanA=． 故选C． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 3. 如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先连接，结合，得，又因为是直径，得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故选：C． 4. 1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（ ） A. 2000 B. 2500 C. 3500 D. 4000 【答案】B 【解析】 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 6. 如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 7. 平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移．根据二次函数的顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点， ∴平移后的函数解析式为， 故选：C． 8. 已知相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的面积之比为， 故选：D． 9. 如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，则，，所以，由，根据垂径定理得，则，可证明，则，所以，由，且度，度，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、，则，， ∴， ∵是的直径，且弦， ∴， ∴， ∵等腰三角形的底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且度，度， ∴， 故选：D． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可 【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为， ∴=， 解得n=6， 经检验n=6是原方程的根， 故答案为：6 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键． 12. 半径为的中，圆心角所对的弧长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，要熟练掌握弧长公式．根据弧长公式即可直接求解． 【详解】解：弧长为， 故答案为：． 13. 二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握关于对称轴对称的点的纵坐标相等是解题的关键．根据表格数据，二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性及点，即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值均为7， 故对称轴为， ， 由点可得，当时，， 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，熟记定理并作辅助线构造出弧所对的圆心角是解题的关键． 连接，根据正五边形的性质求出，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， 五边形是正五边形， ， ． 故答案为：． 15. 我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、正多边形和圆、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点Q，于点P，连接、，则，，由圆心O和正方形的中心重合，可知和是正方形的边心距，则，可根据“”证明，得，可证明，则，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点Q，于点P，连接、，则，， ∵四边形是正方形，且圆心O和正方形的中心重合， ∴和是正方形的边心距， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝_____ 【答案】2﹣2 【解析】 【分析】由对折的性质得，，再由，证明，从而得，由相似三角形的性质求得，进而由勾股定理得． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，关键是证明三角形相似． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. 按要求进行计算． （1）； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值计算即可得出结果； （2）设，则，，，再结合计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 18. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式与列表法求概率， （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有4个张卡片，从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图， 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红2 红1，黄 红1，蓝 红2 红2，红1 红2，黄 红2，蓝 黄 黄，红1 黄，红2 黄，蓝 蓝 蓝，红1 蓝，红2 蓝，黄 共有12种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片，有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片． 19. 如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用垂径定理证明即可； （2）利用垂径定理，勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的面积为4，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）25 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． （1）由， ，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 21. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由圆周角定理得到，再证明即可； （2）设半径为，则，由即可求解． 【详解】（1） 略 （2）连接并延长交于点， 设半径为，则， 由上得：， ∴， 解得：（舍负）， ∴的半径为． 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 23. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3． （1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式． （2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围． （3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）﹣3＜m＜0；（3）y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），①当a＞﹣3时，y2＞y1，②当a＝﹣3时，y2＝y1，③当a＜﹣3时，y2＜y1． 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数，可得a、b，即得到二次函数的表达式．（2）根据抛物线的图象，可得m，n的取值范围．（3）根据二次函数表达式，可得y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），分析a的取值范围，可得到y1和y2的大小关系． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴此二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3； （2）如图，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，且（m，n）是二次函数图象在第三象限内的点， ∴﹣4≤n＜0， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， x＝﹣3或1， ∴图象过（1，0）和（﹣3，0）， ∴﹣3＜m＜0； （3）由条件可得：y1＝ax12+（3﹣a）x1﹣3，y2＝ax22+（3﹣a）x2﹣3， ∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）[a（x2+x1）+3﹣a]， ∵x1+x2＝2且x1＜x2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3）， ①当a＞﹣3时，y2＞y1， ②当a＝﹣3时，y2＝y1， ③当a＜﹣3时，y2＜y1． 【点睛】 本题考查二次函数表达式中未知数的求解，以及抛物线的图象性质. 24. 如图，是矩形的对角线，，点E、F分别在边、上，把和分别沿直线、折叠，使点A、C分别落在对角线上的点G、H处，连接． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴， ∴， 即； （2）线段的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，由折叠得：，，推出，即可证得结论； （2）利用勾股定理可得，根据折叠的性质，设，利用，建立方程可求得，再利用勾股定理即可求得答案； （3）由相似三角形性质可得出，设，，则，利用勾股定理可得，再利用折叠性质可得，由，可得，令，解得：，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：，， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中， , ∴线段的长为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∵， ∴， 在中，， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令，则， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，换元法解方程等知识，熟练掌握相关性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科暑期自学反馈试题卷 满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知线段，线段c是线段a、b的比例中项，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 9 2. 如图，在中，，（ ） A. B. C. D. 3. 如图，内接于，是直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（ ） A. 2000 B. 2500 C. 3500 D. 4000 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 7. 平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，等腰三角形的底边、腰分别交于点，，其中弦．连接，，设度，度，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是______． 12. 半径为的中，圆心角所对的弧长为______．（结果保留） 13. 二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 14. 如图，正五边形内接于，求的度数___ ． 15. 我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形的中心重合，分别延长，交于点E，F．若的半径为2，正方形的边长为1，则_____ ． 16. 如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM∥CD，BC＝4．则AF＝_____ 三、解答题（本大题有8个小题，共72分） 17. 按要求进行计算． （1）； （2）已知，且，求的值． 18. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 19. 如图，是的直径，弦与半径平行，连结交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的面积为4，求的面积． 21. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦，交于点，则． 【定理证明】（1）如图1，连结，，求证：． 【解决问题】（2）如图2，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 23. 已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3． （1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式． （2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围． （3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系． 24. 如图，是矩形的对角线，，点E、F分别在边、上，把和分别沿直线、折叠，使点A、C分别落在对角线上的点G、H处，连接． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $