30.1.2.2切线长定理 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线长定理及应用”，通过问题引导（过圆外一点作切线）、动手作图（直尺圆规步骤）和折叠探究（对折图形分析性质），衔接上节课切线作法，搭建从具体操作到抽象定理的认知桥梁。 其亮点是以探究式学习为主线，通过作图验证、推理证明（如Rt△OAP≌Rt△OBP）落实几何直观与推理能力，结合圆外切四边形模型、中考题（如测量铁环半径）培养模型意识。学生能提升问题解决能力，教师可获得系统的知识点梳理、易错总结及分层题型。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 30.1.2.2切线长定理 第30章 直线与圆的位置关系 30.1.2.2 切线长定理（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 重点区分：切线 vs 切线长 ① 切线：是直线，不可度量； ② 切线长：是线段长度，可以度量。 2. 切线长定理（核心必考） 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言（大题满分格式）： ∵ PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点， ∴ PA = PB，OP平分∠APB（∠APO=∠BPO）。 3. 切线长定理四大隐藏结论（超级高频） 已知：PA、PB为⊙O切线，A、B为切点，OP连线，可直接推出： ① 切线长相等：$$PA=PB$$； ② 夹角被平分：$$\angle APO=\angle BPO$$； ③ 垂直关系：OP 垂直平分弦AB； ④ 弧相等：$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$$（OP平分对应弧）。 4. 经典几何模型（考试必考） （1）直角模型 连接OA、OB，可得：$$OA\perp PA,\ OB\perp PB$$，出现两个直角三角形$$Rt\triangle OPA、Rt\triangle OPB$$，且两三角形全等。 （2）圆外切四边形模型 对边和相等：圆外切四边形的两组对边之和相等。 公式：若四边形ABCD外切于圆，则 $$AB+CD=AD+BC$$。 5. 解题万能辅助线 遇圆外一点双切线： 1. 连接圆心与切点（得垂直）； 2. 连接圆心与圆外点（得角平分线、垂直平分弦）。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，若PA=6，则PB的长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 2. 下列关于切线长说法正确的是（） A. 切线是线段 B. 切线长不可度量 C. 圆外一点引两条切线，切线长相等 D. 任意点都能引两条切线 3. 圆外切四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，则AD长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （二）填空题 4. 从圆外一点引圆的两条切线，________相等，圆心与该点的连线________两条切线的夹角。 5. 切线是直线，切线长是________。 6. 圆外切四边形对边和________。 （三）解答题 7. 已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，PA=8，求PB的长和∠APO的度数。 8. 如图，PA、PB切⊙O于A、B，连接AB、OP，求证：OP垂直平分AB。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：根据切线长定理，圆外一点引两条切线，切线长相等，$$PB=PA=6$$。 2. 答案：C 解析：切线是直线、切线长是可度量线段；圆上、圆内的点无法引两条切线。 3. 答案：C 解析：外切四边形对边和相等：$$AB+CD=BC+AD$$，$$3+5=4+AD$$，得$$AD=4$$。 4. 答案：切线长；平分 5. 答案：线段（线段的长） 6. 答案：相等 7. 解析： 由切线长定理得：$$PB=PA=8$$， OP平分$$\angle APB$$， $$\angle APO=\dfrac12\angle APB=\dfrac12\times60^\circ=30^\circ$$。 答：$$PB=8$$，$$\angle APO=30^\circ$$。 8. 解析： 证明： ∵ PA、PB是⊙O的切线， ∴ $$PA=PB$$，OP平分$$\angle APB$$， ∴ △PAB是等腰三角形，OP为顶角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”，可得：OP⊥AB，且OP平分AB， ∴ OP垂直平分AB，得证。 四、高频易错总结 1. 概念混淆：分不清切线（直线）与切线长（线段长度），填空选择高频丢分； 2. 定理条件遗漏：切线长定理只适用于圆外一点引两条切线，单点单切线不适用； 3. 隐藏结论不会用：忘记OP垂直平分公共弦，错失几何证明关键条件； 4. 外切四边形记错：混淆内接（对角互补）与外切（对边和相等）性质； 5. 大题书写不规范：未写“切线长定理”依据，直接得出边长相等，容易扣分。 掌握切线长的定义及切线长定理. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A 探究新知 切线长定理及应用 知识点 用直尺和圆规作出圆外一点的圆的切线的步骤： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP 交于点C； （2）以点C为圆心，CO 为半径作圆，与⊙O 相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线. 探究新知 O. P A B M N C P 1.切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 探究新知 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B． OB是☉O的一条半径吗？ PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B 探究新知 B P O A 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA，PB分别切☉O于点A，B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 探究新知 O. P 已知，如图，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 探究新知 想一想：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点, ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线, ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 探究新知 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. 证明：∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点, ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB. 又∵PC=PC， ∴ △PCA ≌ △PCB（SAS）. ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 探究新知 例1 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，连接 AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB 的周长. · A B O P 切线长定理的应用 素养考点 1 探究新知 分析 根据切线长定理可证明△PAB 是等边三角形，根据切线的性质，可连接切点和圆心得垂直，即PA⊥AO，根据直角三角形的性质求边长，即可求解. 11 · A B O 解：如图 ，连接 OA. P 探究新知 ∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA. 又 ∠APO=30°， ∴ ∠APB=60°. ∴ △PAB 是等边三角形. ∴ AB=PA=PB. 又 在 Rt△POA 中，∠APO=30°，OP=2， ∴ OA=1，PA==​． ∴ △PAB 的周长为 3​． 12 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 切线长定理在生活中的应用 素养考点 2 探究新知 B C 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP，OA. ∵AP，AQ为⊙O的切线， ∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°. 即铁环的半径为 探究新知 B C 知识点1 切线长定理 （第1题） 1. 如图，已知切于点， 切 于点，交于点 ，下列结 论中错误的是( ) D A. B. C. D. 平分 中考考法 15 （第2题） 2. 如图，，是 的切 线，切点为，，点，在 上，若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 （第2题） 【点拨】如图，连接 四边形 是 的内接四边形， . .，是的切线，切点为， ， . . ， . 中考考法 17 （第3题） 3.如图，与中， 的 延长线及 边相切，且 ，，， 所对的边长依次为3，4，5，则 的半径是___． 2 中考考法 18 （第3题） 【点拨】如图，设,的延长线及 与的切点分别为,,,连接 ， 与，， 都相切， ，， ， ， ， .又， 四边形 是正方形.设 ，则 ， 中考考法 19 ， ，，，解得，即 的半径是2． （第3题） 中考考法 知识点2 切线长定理的应用 （第4题） 4. 我们古代数学家擅长通过计算 来研究图形的性质.例如《测圆海镜》卷中记 载：“假令有圆城一所，不知周径，四面开门， 门内纵横各有十字大道……其东南十字道头 定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地， 中考考法 21 乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙 与城参相直，问径几何？”意思是：如图， 是直角三角形， ，已知 步，步，与 相切于 点,直线,分别与相切于点, ，求 的半径. 根据题意， 的半径是_____ 步. 120 （第4题） 中考考法 （第4题） 【点拨】如图，连接，， 直线 ，是的切线，切点分别为， ， ， .又 . 四边形 是矩形.又 四边形 是正方形.设 步，则 步，步.，，是 的切 中考考法 23 线. 步， 步. 步. 步. .故 的半 径为120步. （第4题） 中考考法 （第5题） 5. 如图，半圆的圆心在梯形 的下底 上，并与其他三边均相切， 若，， ，且 ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 中考考法 25 （第5题） 【点拨】如图，连接, 半圆 的圆心在梯形的下底 上，并 与其他三边均相切， ， . 故选B. ， .同理可得， 中考考法 26 （第6题） 6. 如图，现有一块边长为 的正方形空 地，在边取一点，以 长为直径， 在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游 乐场，过点 划出一条与这个半圆相切的分 割线，正方形 位于分割线右下方的部 C A. B. C. D. 分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于 ( ) 中考考法 27 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 课堂小结 $