30.2 三角形的内切圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，涵盖内切圆与内心定义、性质、半径公式及角度公式，通过“三角形废料裁圆形”情境导入，衔接直线与圆位置关系，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以情境引入培养数学眼光，通过外心与内心对比表格、半径公式推导强化数学思维，分层练习题结合实例助学生掌握应用。对学生可深化概念理解与公式运用，对教师提供系统教学资源与清晰知识脉络，提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 30.2 三角形的内切圆（专项精讲） 一、核心知识点（中考必考） 1. 内切圆与内心定义 与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 核心关键：三角形有且只有一个内切圆。 2. 内心的性质（高频考点） 1. 内心是三角形三条角平分线的交点； 2. 内心到三角形三边的距离相等，距离长度即为内切圆半径$$r$$； 3. 内心一定在三角形内部（任意三角形均成立）； 4. 内心平分三角形的三个内角。 3. 内切圆半径公式（必考计算） 通用公式（任意三角形）：$$r=\dfrac{2S}{C}$$ $$S$$：三角形面积，$$C$$：三角形周长 直角三角形专属速算公式：$$r=\dfrac{a+b-c}{2}$$ $$a、b$$：直角边，$$c$$：斜边（仅直角三角形可用，秒杀神器） 4. 内心角度公式（填空秒杀） 在△ABC中，I为内心，则：$$\angle BIC=90^\circ+\dfrac{1}{2}\angle A$$ 二、外心与内心对比（极易混淆） 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等； 内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点，到三条边距离相等。 三、高频易错点 1. 内心是角平分线交点，不是垂直平分线交点，千万不要和外心弄混； 2. 直角三角形半径公式只能用于直角三角形，普通三角形必须用面积公式； 3. 内切圆是切三边，外接圆是过三顶点。 --- 四、专项练习题 选择题（每题4分） 1. 三角形内心是三角形（）的交点 A. 三边垂直平分线 B. 三条角平分线 C. 三条中线 D. 三条高 2. 直角三角形两直角边为3、4，斜边为5，则内切圆半径为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 关于三角形内切圆，下列说法正确的是（） A. 内心在三角形外部 B. 内心到顶点距离相等 C. 内心到三边距离相等 D. 三角形有无数个内切圆 填空题（每题4分） 4. 三角形内切圆的圆心叫做________，是三条________的交点。 5. 任意三角形的内心都在三角形________。 6. 在△ABC中，I是内心，∠A=40°，则∠BIC=________°。 计算题（20分） 7. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求该三角形内切圆半径。 拔高解答题（28分） 8. 已知△ABC周长为36，面积为54，求△ABC内切圆的半径。 --- 五、参考答案与详细解析 1. B 解析：内心定义：三角形三条角平分线的交点。 2. A 解析：直角三角形半径公式 $$r=\dfrac{3+4-5}{2}=1$$。 3. C 解析：内心恒在内部、到三边距离相等，三角形有且只有一个内切圆。 4. 内心；角平分线 5. 内部 6. 110 解析：$$\angle BIC=90^\circ+\dfrac{1}{2}\times40^\circ=110^\circ$$。 第7题解析 解：由勾股定理得斜边$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$$， 代入直角三角形内切圆半径公式：$$r=\dfrac{a+b-c}{2}=\dfrac{6+8-10}{2}=2$$， 所以内切圆半径为2。 第8题解析 解：已知三角形面积$$S=54$$，周长$$C=36$$， 代入通用公式 $$r=\dfrac{2S}{C}=\dfrac{2\times54}{36}=3$$， 所以内切圆半径为3。 本节小结 三角形内切圆核心考点：内心性质、两类半径计算公式、内心角度公式。做题优先区分普通三角形和直角三角形，灵活套用对应公式，是圆与三角形综合题、填空计算题的高频考点，常结合切线长定理综合考查。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 了解三角形内切圆和内心的概念. 能用直尺和圆规作三角形的内切圆. 能运用三角形内心的性质证明或解决问题. 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆及作法 情境导入 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案. A B C A B C A B C A B C 方案一 方案二 方案三 方案四 √ 情境导入 A B C 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径. 如何确定这个圆的圆心和半径呢？ · 思考：如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心. 圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 探究新知 如图 ，分别作 ， 的平分线 ，，设它们相交于点 ，那么点  到 ，， 的距离都相等. 过点  作  的垂线，垂足为 . 以点  为圆心， 为半径作圆，则  与  的三条边都相切.  即所求作的圆. A B C M N I D · 探究新知 知识点 三角形的内切圆与内心 1.如图，是的内切圆，为与的切点， ， 则 的度数是( ) D （第1题） A. B. C. D. 返回 举一反三 7 （第2题） 2.如图，在中， ，点是 的 内心，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心.这个三角形叫作圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 探究新知 三角形内心的性质： (1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径. (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 探究新知 如图，△ABC 的内切圆 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13. 求 AF，BD，CE 的长. 例1 解：设 AF = x，则 AE = x. 则 BD = BF = AB AF = 9 x. CD = CE = AC AE = 13 x. 由 BD + CD = BC， 可得 解得 因此 探究新知 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等， 即 OA=OB=OC. 内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF. 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠BOC=2∠BAC. ∠BIC=90°+ ​∠A. 思考：你能说出三角形外心、内心的区别吗？ 探究新知 （第3题） 3.［教材例题变式］如图，的内切圆 分别与，，相切于点，，.若 ， ，，则 的周长为( ) A A.18 B.17 C.16 D.15 返回 举一反三 13 4.在中，，，为的内心.若 的面积 为20，则 的面积为____. 15 返回 举一反三 14 如图，点  是  的内切圆的圆心，若 ， 则  的度数为（ ） A.  B.  C.  D.  跟踪训练 解析：∵ 点  是  的内切圆的圆心， ∴  分别平分 ， ∴ ，，， ∴ . C 探究新知 5.［教材P 159练习T 3变式］如图，已知是的内心，连接 ， ，.若的内切圆半径为1，的周长为12，求 的面积. 举一反三 16 解：如图，作的内切圆，设与 ， ，的切点分别为，，，连接，， . ，， ， . 的周长为12， . 的面积为 . 返回 举一反三 17 （第6题） 6.如图，已知是的内切圆，切点为 ， ，，若，， ，则内切圆的 半径 ( ) B A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 返回 举一反三 18 （第7题） 7.如图，点是外接圆的圆心，点是 的 内心，连接，.若 ，则 的度数 为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 8.[攀枝花中考] 如图，是的内切圆，与，， 分别相 切于点，，， ， . （1）求 的三个内角的大小； 举一反三 20 解：是 的内切圆， ，, ， . ， ， ， ， . 举一反三 21 （2）设的直径为，证明： . 解：证明：由切线长定理得，, ， . ， . 易得四边形 是矩形， . 的直径为，为 的半径， ， . 返回 举一反三 22 三角形的内切圆 三角形的内切圆 三角形的内心 尺规作图 定义：三角形三条角平分线的交点. 性质：(1)三角形的内心到三角形三条边的距离相等； (2)三角形的内心与三角形三个顶点的连线分别平分三角形的三个内角. 定义：与三角形各边都相切的圆 步骤： (1)定圆心：作三角形任意两内角的平分线，其交点为圆心； (2)定半径：以圆心到任意一边的距离为半径画圆. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $