30.2 三角形的内切圆（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内切圆，系统涵盖定义、内心性质、半径公式及与外心的区别。通过木工裁圆形木料的情境引入，引导学生从实际问题抽象出数学对象，结合合作探究与作图步骤，搭建从圆与直线位置关系到内切圆的学习支架。 其亮点在于以情境和作图培养数学眼光（几何直观、抽象能力），通过推理证明（如∠BOC度数计算）和公式应用（半径计算）发展数学思维（推理能力、运算能力），用符号语言表达数学关系。资料结构完整，助力学生深化理解，教师教学更高效。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 2026年8月1日 人教版九年级下册30.2三角形的内切圆专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的________，内切圆的圆心叫做三角形的________。 2. 三角形的内心是三角形三条________的交点，内心到三角形________的距离相等。 3. 一个三角形有________个内切圆，一个圆有________个外切三角形。 4. 三角形的内心一定在三角形的________，与三角形形状无关。 5. 直角三角形内切圆半径公式：$$r=$$________（$$a、b$$为直角边，$$c$$为斜边）。 6. 任意三角形内切圆半径公式：$$r=$$________（$$S$$为面积，$$C$$为周长）。 7. 三角形的外心是三边垂直平分线交点，到________距离相等；内心是角平分线交点，到________距离相等。 8. 等边三角形的内心、外心、重心、垂心________，四线合一。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 三角形内心的定义是（） A.三边垂直平分线交点 B.三条角平分线交点 C.三条中线交点 D.三条高的交点 2. 三角形内心的性质正确的是（） A.到三个顶点距离相等 B.到三边距离相等 C.一定在三角形外部 D.一定在三角形边上 3. 下列三角形中，内心、外心重合的是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 4. Rt△ABC中，直角边3、4，斜边5，则内切圆半径为（） A.1 B.2 C.1.5 D.2.5 5. 关于三角形内切圆说法错误的是（） A.与三边都相切 B.圆心为内心 C.有且只有一个 D.圆心在三角形外部 6. 三角形外心与内心的区别说法正确的是（） A.外心到三边等距 B.内心到顶点等距 C.外心决定外接圆 D.内心决定外接圆 7. 任意三角形内切圆半径大小与三角形的（）相关 A.边长和面积 B.仅边长 C.仅角度 D.形状无关 三、解答题（共42分） 1. 基础概念解答（每题6分，共24分） 1. 简述三角形内切圆和内心的定义及核心性质。 2. 精准区分三角形内心与外心的位置、性质差异。 3. 写出直角三角形和任意三角形内切圆半径计算公式。 4. 为什么任意三角形有且只有一个内切圆？ 2. 基础计算题（9分） 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求该直角三角形内切圆的半径。 3. 综合应用题（9分） 已知△ABC的周长为36cm，面积为54cm²，求△ABC内切圆的半径。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 内切圆；内心 2. 角平分线；三边 3. 1；无数 4. 内部 5. $$\dfrac{a+b-c}{2}$$ 6. $$\dfrac{2S}{C}$$ 7. 三个顶点；三边 8. 重合 二、选择题 1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 三、解答题 1. 解：（1）定义：与三角形三边都相切的圆为三角形内切圆，内切圆圆心为内心；性质：内心是三条角平分线交点，恒在三角形内部，到三边距离相等。 （2）内心：角平分线交点，到三边等距，对应内切圆；外心：垂直平分线交点，到三顶点等距，对应外接圆。 （3）直角三角形：$$r=\frac{a+b-c}{2}$$；任意三角形：$$r=\frac{2S}{C}$$。 （4）任意三角形三条角平分线有且只有一个交点，即唯一内心，且内心到三边距离唯一，故仅有一个内切圆。 2. 解：由勾股定理得斜边$$c=10\mathrm{cm}$$，代入公式$$r=\frac{6+8-10}{2}=2\mathrm{cm}$$，内切圆半径为2cm。 3. 解：根据任意三角形内切圆半径公式$$r=\frac{2S}{C}$$，代入$$S=54、C=36$$，得$$r=\frac{2\times54}{36}=3\mathrm{cm}$$。 拓展思考题 思考：为什么钝角、直角、锐角三角形内心都在内部？ 答：三角形三条角平分线始终交于三角形内部一点，与三角形角度大小无关，因此内心恒在三角形内部，区别于位置可变的外心。 （总字数：1020） 了解三角形内切圆和内心的概念. 能用直尺和圆规作三角形的内切圆. 能运用三角形内心的性质证明或解决问题. 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案. A B C A B C A B C A B C 方案一 方案二 方案三 方案四 √ 合作探究 猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________. A B C 方案二 切 ∟ ∟ ∟ O 三角形的内切圆 画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？ 如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等. 半径 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点. 平分线 平分线 交 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 1. 返回 已知⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点 B 举一反三 7 返回 2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则∠BOC的度数为(　　) A．105° B．110° C．115° D．125° C 举一反三 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？ 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC 的各边都相切的圆. 作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE， 它们相交于点 O； （2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M； （3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆． ⊙O 就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫作三角形的内心. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切， 因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 返回 3. 如图，点P是△ABC的内心，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1________S2＋S3.(填“<”“＝”或“>”) ＜ 举一反三 返回 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，求△ABC的周长． 解：连接OE，OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x. ∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F， ∴OE⊥AC，OF⊥BC，BD＝BF. 又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形OECF为正方形． 举一反三 ∵⊙O的半径为2，∴CE＝CF＝2. 又∵BC＝5，∴BD＝BF＝BC－CF＝3. 在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(x＋2)2＋52＝(x＋3)2，解得x＝10， ∴AD＝AE＝10，∴AB＝13，AC＝12， ∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝12＋5＋13＝30. 返回 举一反三 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数. 解: ∵ ∠A = 70°， ∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°. ∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线， 即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB. ∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB） = 180°- × 110° = 125°. 【教材P74页】 [邯郸丛台区期中]如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，若AE＝2，CD＝1，BF＝3，则内切圆的半径r＝________. 5. 返回 1 举一反三 如图，已知P为平面上一点，若O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝70°，则∠BPC的度数为________． 返回 6. 62.5° 举一反三 返回 7. [攀枝花中考]如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°. (1)求△ABC的三个内角的大小； 解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC， CA分别相切于点D，E，F， ∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF， ∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°.　 举一反三 ∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°， ∴∠B＝360°－∠ODB－∠OEB－∠DOE＝60°， ∠C＝360°－∠OEC－∠OFC－∠EOF＝30°， ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝90°， ∴∠A，∠B，∠C的度数分别为90°，60°，30°. 返回 举一反三 返回 (2)设⊙O的直径为d，证明：d＝AB＋AC－BC.　 证明：由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD＋CF＝BE＋CE＝BC. ∵AB＋AC＝AD＋BD＋CF＋AF＝2AF＋BC， ∴2AF＝AB＋AC－BC. ∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°， ∴四边形ADOF是矩形，∴OD＝AF， ∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径， ∴d＝2OD＝2AF，∴d＝AB＋AC－BC. 举一反三 只适合于直角三角形 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内切圆 应用 重要结论 内心(三角形三条角平分线的交点) 外切三角形 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢观看 THANKS $