精品解析：北京师范大学附属中学2026-2027学年九年级第一学期开学适应性练习 数学试卷

2026—2027初三第一学期开学适应性练习 数学试卷 考生须知： 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长90分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回． 一．选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，6 C. 3，3，5 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断三根木棍能否摆成直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，满足条件即可构成直角三角形． 【详解】解：A，最长边为，，，，不能构成直角三角形； B，最长边为，，，，不能构成直角三角形； C，最长边为，，，，不能构成直角三角形； D，最长边为，，故，能构成直角三角形． 2. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 3. 在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入解析式得 ，解得 ，即直线解析式为， ∵点在直线上， ∴把代入解析式得 . 4. 已知一次函数，点，在该函数图象上，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于一次函数 ，一次项系数为 ， 该函数中 随 的增大而减小， ， ． 5. 下列各式中运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，此项错误； B、和不是同类二次根式，不可合并，此项错误； C、，此项正确； D、，此项错误． 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 【答案】C 【解析】 【分析】只需比较题目给出的四种分组的组内离差平方和大小，选取最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵四种分组的组内离差平方和分别为，，，， ∴比较大小得， ∵分组原则为组内离差平方和最小， ∴第三种分组符合要求． 7. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. P点离地面最高为 D. P点离地面时，摩天轮运动了 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像读出点离地面的最大高度，结合中心距地面的高度求出摩天轮的半径和直径，进而判断各选项． 【详解】解：A：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小再增大再减小，故该选项不符合题意； B：由图像知，函数的最大值为，即点到地面的最大距离为，，， ∴摩天轮的直径为，故该选项符合题意； C：点到地面的最大距离为，故该选项不符合题意； D：点离地面时，对应的摩天轮运动的时间点有个，故该选项不符合题意． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 二．填空题（本大题共8小题，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 10. 若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=2，则CD=________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点， ∴AB是Rt△ABC的斜边，CD是直角三角形斜边上的中线． ∵AB=2， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握该知识点是解题关键． 12. 六边形的内角和、外角和分别为，，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式求出六边形内角和得到的值，再根据多边形外角和定理得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据多边形内角和公式：边形内角和为， 六边形的边数为，因此内角和，即 根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和都为，因此 代入得． 13. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据中位数，平均数和方差的意义，逐一判断即可． 【详解】解：由于乙班学生每分钟输入汉字的中位数为151，说明有一半以上的学生都达到每分钟150个及以上，而甲班学生的中位数为149，说明不到一半的学生达到150个及以上，说明乙班优秀人数比甲班优秀人数多，故②正确；由平均数和方差的意义可知①③也正确． 故答案是：①②③． 【点睛】本题主要考查中位数，平均数和方差，掌握中位数和方差的意义，是解题的关键． 14. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如表所示， … … … … 比较大小：____________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的增减性，以及自变量的大小关系比较函数值的大小． 【详解】解：设该一次函数解析式为，将和代入解析式， 得， 解得， 该一次函数解析式为， ， 随的增大而增大， 又， ， 故答案为：． 15. 如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接，由函数图象得，点C到的距离是线段的长，进而求得，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接， 由图2知，和时的函数值都为4，即，当时，函数值最小，即点C到的距离为线段的长， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 即点C到的距离是． 16. 如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】根据菱形性质及三角形中位线定理判断；利用垂线段最短及勾股定理求出的最小值和最大值判断②；通过特殊位置法，当与重合时验证是否符合条件判断③ 【详解】解：四边形是菱形， ， 是线段的中点，是的中点， 是的中位线， ，即，故①正确 四边形是菱形，， ∴， ，， 当时，取得最小值，如图 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最大值，如图 过点作交的延长线于点， ，， ∴， ∴， ∴， 是的中点， ， ， 在中， ， ，故②正确， 连接，如图 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 是的中点， ∴， ∴， 当时，取点与点重合此时为中点，在上，，在上取， ∴， 此时点G在菱形的内部，如图 可以取， 结论③中错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②． 三．解答题（17题10分，18题10分，19题6分，20题6分，21题6分，22题8分，23题7分，24题7分，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 即或者， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴，． 19. 如图，在中，，分别在，上，且，连结、．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵，分别在，上， ∴，分别是，上的线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 【解析】 【分析】根据平行四边形性质，得到对边平行且相等，结合，推得，平行且相等，判定四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，即可求解和的值； （2）根据题意列出不等式组，结合推导出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，对于的每一个值，①且②， 由①得， 而，∴，解得， 由②得， 而，∴，解得， 综上，． 21. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）． 【解析】 【分析】由可得，然后证明，所以，得四边形为平行四边形，又，故有四边形为菱形； 由得四边形为菱形，则，，，由勾股定理得，所以，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图， 由得四边形为菱形， ∴，，， ∴，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为． 22. 某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及A设备灌溉水量和B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 0 3.0 5.0 6.0 6.5 6.8 7.0 （1）在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象； （2）利用以上信息，解决下列问题： ①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是___________立方米，当两种设备的灌溉水量相同时，_____________小时（结果保留一位小数）； ②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案： 方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉； 方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉． 在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为_____________，最短灌溉时长为_____________小时（结果保留一位小数）． 【答案】（1）关于的函数图象如下： （2）①2，； ②方案二；5.3 【解析】 【分析】（1）描点，连线，即可画出关于的函数图象． （2）①结合函数图象求解即可． ②利用待定系数法求出，然后根据方案一和方案二分别求出灌溉时长，然后比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：①结合函数图象可知当时，最大，即立方米， 当时，则． ②设， 把代入，得， ∴ 方案一：先用B设备灌溉1小时后，剩余立方米， 则再用A设备灌溉需要时间：， 解得：（小时） 则方案一所需时间为：（小时） 方案二：先用B设备灌溉2小时后，剩余立方米， 再用A设备灌溉需要时间：， 解得：（小时） 则方案二所需时间为：（小时） ∵， ∴灌溉时长最短的方案为方案二，最短灌溉时长为5.3小时． 23. 在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接． （1）如图1，若点与点重合，连接，求的大小； （2）如图2，点在延长线上， ①依题意补全图2； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）根据正方形得和，结合中点利用证明，有，由等腰三角形的性质得，设，则，进一步求得，再次结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得，则； （2）①根据题意作图即可； ②过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，根据直角三角形的性质得，得到和，由正方形的性质得和，即可利用证明，有，则，设，结合（1）得，再次利用证明，得到及，根据作图可知四边形为矩形，有和，则，结合即可求得． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为线段的中点，点与点重合， ∴， ∴， ∴， 则， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴； 【小问2详解】 解：①略， ②，理由如下： 过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，如图， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴，， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 则， 设， 由（1）得，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 则， 在中， 则， ∴， 则． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，和正实数给出如下定义：若满足，则称点，互为“倍伴随点”． （1）如图，点． ①在点，，中，是点的“1倍伴随点”的是________； ②以点，，，为顶点的四边形上存在点的“2倍伴随点”，直接写出的取值范围； （2）直线与，轴分别交于，两点，点，，，．若存在，使得当时，线段上存在四边形上所有点的“倍伴随点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据1倍伴随点定义求解即可； ②代入求出，由四边形是竖直矩形得到，得到结合矩形中求出的取值范围即可； （2）设，根据定义求得，变形得到的表达式，代入临界值，在临界值条件下代入四边形顶点坐标求出关于的表达式分情况讨论． 【小问1详解】 解：①代入定义：，， 分别检验三点： ：，不满足； ：，满足； ：，满足， 答案：； ②设点的“2倍伴随点”为，则，， ∵， ∴四边形是矩形，，， 由题意得，直线与矩形有交点，即存在，使得， 解不等式：，，， 即要与有重叠： 矩形右边界，， 矩形左边界， 综上：． 【小问2详解】 解：在直线中， 令，解得；令，解得， 所以， 设线段上一点，矩形上任意一点，，为倍伴随点： ， 整理得： ①， 由题意得：存在，对任意，存在，使矩形内所有满足式①． 将①改写为： ，② ， 对每个在四边形上存在满足： 当：，， 当时，，则， 即与有重叠： 有，， ，， 存在值，则，得，则； 当时，，则， 即与有重叠： 有，， ，， 存在值，则，得，则； 当时，②式变形为，存在值使与四边形有交点， 当时，或； 当：，， 当时，，则， 即与有重叠： 有，， ，， 存在值，则，得，则； 当时，，则， 即与有重叠： 有，， ，， 存在值，则，得，则； 当时，②式变形为，存在值使与四边形有交点， 当时，取任意值均可， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027初三第一学期开学适应性练习 数学试卷 考生须知： 1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长90分钟，满分100分． 2．考生务必将答案填写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，考生应将机读卡和答题纸交回． 一．选择题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，6 C. 3，3，5 D. 5，12，13 2. 方程的解为（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知一次函数，点，在该函数图象上，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 下列各式中运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某年5个城市的人均生活用电量如下表所示： 城市 A B C D E 人均生活用电量／ （） 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ） 分组 组内离差平方和 第一种：和 第二种：和 第三种：和 第四种：和 A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种 7. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. P点离地面最高为 D. P点离地面时，摩天轮运动了 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，共16分） 9. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 10. 若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=2，则CD=________． 12. 六边形的内角和、外角和分别为，，则的值为____________． 13. 某校八年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表： 班级 参加人数 平均字数 中位数 方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论： ①甲、乙两班学生的平均水平相同； ②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）； ③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大． 上述结论正确的是___________（填序号）． 14. 已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如表所示， … … … … 比较大小：____________（填“”“”或“”）． 15. 如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 16. 如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论： ①若是线段的中点，则； ②的取值范围是； ③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是__________________________． 三．解答题（17题10分，18题10分，19题6分，20题6分，21题6分，22题8分，23题7分，24题7分，共60分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，，分别在，上，且，连结、．求证：． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求和的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 21. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接并延长，交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接，若，，，求的长． 22. 某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及A设备灌溉水量和B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 0 3.0 5.0 6.0 6.5 6.8 7.0 （1）在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象； （2）利用以上信息，解决下列问题： ①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是___________立方米，当两种设备的灌溉水量相同时，_____________小时（结果保留一位小数）； ②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案： 方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉； 方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉． 在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为_____________，最短灌溉时长为_____________小时（结果保留一位小数）． 23. 在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接． （1）如图1，若点与点重合，连接，求的大小； （2）如图2，点在延长线上， ①依题意补全图2； ②用等式表示，，的数量关系，并证明． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，和正实数给出如下定义：若满足，则称点，互为“倍伴随点”． （1）如图，点． ①在点，，中，是点的“1倍伴随点”的是________； ②以点，，，为顶点的四边形上存在点的“2倍伴随点”，直接写出的取值范围； （2）直线与，轴分别交于，两点，点，，，．若存在，使得当时，线段上存在四边形上所有点的“倍伴随点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $