30.1.2.1切线的性质与判定-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦切线的性质与判定，系统梳理定义、性质定理（知切线得垂直）、判定定理（过半径外端且垂直）及两种证明模型。通过下雨天雨伞水滴、砂轮火星等情景导入，引导学生从现实现象中抽象出切线概念，衔接直线与圆位置关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过反证法证明性质定理培养推理能力，用“有交点连半径证垂直、无交点作垂直证半径”模型结构化解题策略，结合中考题和变式题强化应用意识。专项练习分层设计，小结提炼“切线必出直角”关键方法，助力学生形成几何直观与逻辑推理能力，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2.1切线的性质与判定 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/5 30.1.2.1 切线的性质与判定（专项精讲） 一、核心知识点（中考必考） 1. 切线的定义 和圆有且只有一个公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。切线与圆位置关系满足：$$d=r$$（圆心到直线距离等于半径）。 2. 切线的性质定理（知切线，得垂直） 内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：若直线$$l$$是⊙O的切线，切点为A，则 $$OA\perp l$$，$$\angle OAl=90^\circ$$。 核心用途：题目已知切线，直接造直角、证垂直、求角度、算边长。 3. 切线的判定定理（证切线，必考） 内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两个缺一不可条件：①过半径外端；②与半径垂直。 二、切线证明两种万能模型（大题秒杀） 模型一：有交点，连半径，证垂直 适用场景：题目明确直线与圆有交点/点在圆上。 步骤：连接圆心与交点 → 证明连线与直线垂直（$$90^\circ$$）→ 判定为切线。 模型二：无交点，作垂直，证半径 适用场景：题目未标注交点，不知道直线哪里碰圆。 步骤：过圆心作直线的垂线段 → 证明垂线段长度等于半径 → 判定为切线。 三、高频易错点 1. 只证垂直不证过半径外端，判定无效，必须两个条件同时满足。 2. 切线性质是“垂直过切点的半径”，不是任意半径。 3. 看到切线第一反应：找直角，这是解题突破口。 --- 四、专项练习题 选择题（每题4分） 1. 下列能判定直线为圆的切线的是（） A. 直线与圆有公共点 B. 直线垂直于圆的半径 C. 直线过半径外端且垂直于半径 D. 直线到圆心距离小于半径 2. 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，若OA=5，则直线l与OA的位置关系是（） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 重合 3. 在圆中，切线与过切点的半径所成的角为（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° 填空题（每题4分） 4. 切线的性质：圆的切线________于过切点的半径。 5. 判定切线的两个条件：经过半径外端、________。 6. 直线是圆的切线，则圆心到直线的距离等于圆的________。 基础证明题（20分） 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，$$\angle ACB=90^\circ$$，且$$\angle CAB+\angle CBD=90^\circ$$，求证：BD是⊙O的切线。 拔高证明题（28分） 8. 如图，O为△ABC一边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作圆，BC=AC，$$\angle A=\angle OBC$$，求证：AC是⊙O的切线。 --- 五、参考答案与详细解析 1. C 解析：切线判定定理两大核心条件：过半径外端、垂直半径，缺一不可。 2. B 解析：切线性质定理，切线垂直于过切点的半径。 3. B 解析：切线与过切点半径夹角为直角。 4. 垂直 5. 垂直于这条半径 6. 半径 第7题解析 证明：∵AB是⊙O直径，C在圆上，∴$$\angle ACB=90^\circ$$，即$$\angle CAB+\angle ABC=90^\circ$$。又∵$$\angle CAB+\angle CBD=90^\circ$$，∴$$\angle ABC=\angle CBD$$。∴$$\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD=90^\circ$$，即$$AB\perp BD$$。∵AB是直径，B在圆上（半径外端），∴BD是⊙O的切线。 第8题解析 证明：∵BC=AC，∴$$\angle A=\angle ABC$$。∵$$\angle A=\angle OBC$$，∴$$\angle ABC=\angle OBC$$。∵OB=OC（圆半径），∴$$\angle OBC=\angle OCB$$，可得$$\angle ABC=\angle OCB$$。在△ABC中，可推得$$\angle ACO=90^\circ$$，即$$OC\perp AC$$。∵OC是⊙O半径，AC过半径外端且垂直半径，∴AC是⊙O的切线。 本节小结 本节是圆大题核心考点，所有切线题目只有两类思路：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径。牢记“切线必出直角”，结合等腰三角形、直角三角形性质即可完成绝大多数证明题，是中考几何高频必考题型。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 会判定一条直线是不是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. 新课导入 情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的? 情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的? 情境导入 思考： ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ A l O 切线的性质定理 如图 ，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点，因为直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A，所以点 P 在 ⊙O 外，从而 OP>OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线.因此，半径 OA 与直线 l 垂直，由此得到切线的性质. P 情境导入 A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用格式 探究新知 情境导入 汽车车轮在平整路面行驶、自行车轮碾过地面，下雨天转动雨伞，伞边缘飞出的水珠，飞溅的方向和伞的边缘是什么位置关系？ 这些日常现象，背后都藏着我们今天要学习的几何知识 ——圆的切线. 探究新知 P A l O 如图，设  为直线  上不同于点  的点， 因为直线  与  只有一个公共点 ， 所以点  在  外. 从而 ， 即半径  是圆心  与直线  上的点的最短连线. 因此，半径  与直线  垂直 . 思考： 的半径 OA 与过点 A 的切线 l 有什么关系？ 用反证法证明试一试. 探究新知 假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M. (2) 则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于的半径，因此，CD与相交.这与已知条件“直线与相切”相矛盾. (3) 所以AB与CD垂直. C D B O A M 反证法： 切线的性质定理的证明 探究新知 由此得到切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言： ∵ l与相切于点 A， ∴ l ⊥ OA. 探究新知 跟踪训练 如图 ，AB 是  的弦， 与  相切于点 B，圆心 O 在线段 PA 上. 已知 ，则  的大小为 ______°. 解析：如图 ，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，∴ . ∵ ，∴ ， ∴ . 20 探究新知 类型 依据 作法 简称 已知切线 切线的 性质 通常连接过切点的半径，得出切线和半径垂直的结论. 见切点，连半径，得垂直. 与切线相关的常见辅助线作法 探究新知 A l O P 思考：按上述性质，若  的切线 l 经过半径 OA 的外端点 A，那么 l OA. 反过来，如图 ，若直线 l 过半径 OA 的外端点 A，且 l OA，那么直线  是  的切线吗？ 可以看出，这时圆心  到直线  的距离就是  的半径， 因而直线  就是  的切线. 探究新知 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言： ∵ OA是 的半径，l 经过点 A 且 l⊥OA， ∴ l 是 的切线 . 探究新知 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注意：判定定理中的两个条件缺一不可，否则不成立. ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径； 探究新知 思考：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 设圆心为 O，圆上已知点为 P，如图 ， ① 连接 OP 并延长， ② 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧，交射线 OP 于点 A，B， ③ 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C，作直线CP，即所求作的切线. 探究新知 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 分析：因为点 B 在  上，所以 OB 为  的半径.要证明 PB 是  的切线，只需证明 PB ⊥ OB. 例1 P O B A 探究新知 如图 ，AB 是  的弦，PA 是  的切线，PA=PB. 求证：PB 是  的切线. 证明：如图，连接 . ∵  与  相切于点 ， ∴ ，即 . 又 ，，， ∴ △PAO ≌ △PBO，∴ ∠PBO=∠PAO=90°， ∴ . 这样， 经过  的半径 OB 的外端点 B，并且垂直于半径 ， 所以  是  的切线. 例1 P O B A 探究新知 知识点1 切线的性质 1.如图，是的切线，点为切点，连接，， ， 则____ . 50 （第1题） 返回 举一反三 18 （第2题） 2.如图，已知，以为直径的交 于 点，与相切于点，连接.若 ， 则 的度数为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 （第3题） 3.如图，为的切线，为切点，交 于 点， ，，则 的长为( ) D A.6 B. C.4 D.8 返回 举一反三 20 如图，AB 为 的直径，如果圆上的点 D 恰使 ∠ADC=∠B， 求证：直线 CD 与 相切. 证明：如图，连接 . ∵ ，∴ . ∵  为  的直径，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ，即 . ∵  是  的半径， ∴ 直线  与  相切. 跟踪训练1 探究新知 在 Rt ABC 中，， 的平分线交  于点 ， 以点  为圆心， 为半径作 . 求证：AC 与  相切. 跟踪训练2 证明：过点  作  于点 ，如图所示. ∵ ， ∴ . 又  平分 ，， ∴ ， ∴  与  相切. E 探究新知 类型 依据 作法 简称 需证切线 切线的 判定定理 通常连接过直线与圆的公共点的半径，证明该直线与半径垂直，得出直线是圆的切线的结论. 有公共点，连半径，证垂直. 如跟踪训练1. 切线判定 的距离法 通常过圆心作直线的垂线，证明圆心到该直线的距离等于半径，得出直线是圆的切线的结论. 无公共点，作垂直，证半径. 如跟踪训练2. 与切线相关的常见辅助线作法 探究新知 在生活中，有许多直线与圆相切的实例. 例如：列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的：在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（如图）. 探究新知 （第4题） 4.［教材习题变式］如图，是 的弦， 与相切于点，圆心在线段 上.已知 ，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 25 5.[广东中考] 如图，点是斜边 上的一点， 以为半径的与边相切于点.求证： 平分 . 举一反三 26 证明：连接 . 与边相切于点 ， ，即 . 为 的斜边， ， ， ， . ， ， ，平分 . 返回 举一反三 27 知识点2 切线的判定 （第6题） 6.如图，点在上，下列条件不能说明是 的切线的是( ) D A. B. C. ， D. 返回 举一反三 28 7.如图，,是上的两点，是过点 的一条直线，如果 ,那么当____ 时，与 相切. 60 （第7题） 返回 举一反三 29 8.[临沂期末] 如图，为的直径，如果圆上的点 恰使 ，求证：直线与 相切. 举一反三 30 证明：连接 ， . 为 的直径， ， . 又 ， ， ，即 . 又是 的半径， 直线与 相切. 返回 举一反三 31 9.如图，在中， ， 的 平分线交于点，以点为圆心， 长为半径 作.求证：是 的切线. 证明：过点作于点 . ， . 平分， ， ， 点在 上， 是 的切线. 返回 举一反三 32 （第10题） 10.[福建中考] 如图，与相切于点， 的 延长线交于点，，且交于点 . 若 ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 33 11. [自贡中考] ，分别与相切于， 两点. 点在上，不与点，重合.若 ，则 的度数为 ( ) D A. B. C. D. 或 返回 举一反三 34 （第12题） 12.[青岛中考] 如图，四边形是 的内接四 边形， ，，直线与 相 切于点.若 ，则 的度数为 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 35 切线的性质与判定 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 探究新知 谢谢观看 THANKS $