30.1.2.1切线的性质与判定 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“切线的性质与判定”核心知识点，涵盖判定定理、性质定理、证明模型及辅助线口诀。通过“思考半径与切线关系”“反证法证明性质”等问题链导入，衔接直线与圆位置关系前知，构建递进式学习支架。 其亮点在于以结构化梳理（如“两大条件”“两种证明模型”）和问题链探究培养数学思维，通过反证法、构造法证明及规范例题解析发展推理能力与数学语言表达。辅助线口诀“见切线，连切点，得垂直”强化模型意识，助力学生夯实基础提升解题能力，教师可直接用于高效教学。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 30.1.2.1切线的性质与判定 第30章 直线与圆的位置关系 30.1.2.1 切线的性质与判定（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 切线的判定定理（证切线必考） 判定定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大缺一不可条件： ① 直线经过半径外端（在圆上有公共点）；② 直线与该半径互相垂直。 几何语言： ∵ OA是⊙O半径，直线l⊥OA，且点A在⊙O上， ∴ 直线l是⊙O的切线。 2. 切线的性质定理（用切线必考） 性质定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言： ∵ 直线l是⊙O的切线，A为切点， ∴ l⊥OA。 核心结论：切线、切点、半径，知二推一。 3. 证明切线两种万能模型（大题满分模板） 模型一：有公共点，连半径，证垂直 适用场景：题目明确告知直线与圆有交点（点在圆上）。 操作：连接圆心与公共点得到半径，证明半径与直线夹角为90°。 模型二：无公共点，作垂直，证半径 适用场景：题目未说明直线与圆有交点，位置未知。 操作：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 4. 切线三大常用推论（拓展考点） 1. 经过圆心且垂直于切线的直线，必过切点； 2. 经过切点且垂直于切线的直线，必过圆心； 3. 切线与圆有且只有唯一公共点。 5. 高频解题辅助线口诀 见切线，连切点，得垂直（只要题目出现切线，第一时间连接圆心和切点）。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列条件能判定直线为圆的切线的是（） A. 垂直于圆的半径的直线 B. 经过半径端点的直线 C. 经过半径外端且垂直于半径的直线 D. 与圆相交的直线 2. 若直线l是⊙O的切线，切点为A，则下列结论正确的是（） A. l∥OA B. l⊥OA C. OA与l相交但不垂直 D. OA为普通弦 3. 证明切线时，若不确定直线与圆的公共点，应采用的方法是（） A. 连半径，证垂直 B. 作垂直，证半径 C. 直接判定 D. 无法证明 （二）填空题 4. 切线的判定：经过半径外端且________于这条半径的直线是圆的切线。 5. 圆的切线________于过切点的半径。 6. 证明切线有两种方法：有公共点________，无公共点________。 （三）解答题 7. 如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，∠ABC=90°，求证：BC是⊙O的切线。 8. 已知⊙O半径为5，圆心O到直线l的距离d=5，求证：直线l是⊙O的切线。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：切线判定必须同时满足：过半径外端、垂直于半径，缺一不可。 2. 答案：B 解析：切线性质定理：切线垂直于过切点的半径。 3. 答案：B 解析：无公共点时，过圆心作垂线，证明垂线段长等于半径即可判定切线。 4. 答案：垂直 5. 答案：垂直 6. 答案：连半径，证垂直；作垂直，证半径 7. 解析： 证明：∵ AB是⊙O直径，点C在⊙O上， ∴ OB是⊙O半径， 又∵ $$\angle ABC=90^\circ$$，即$$BC\perp OB$$， ∴ BC经过半径OB外端且垂直于OB， ∴ BC是⊙O的切线。 8. 解析： 证明：∵ 圆心O到直线l的距离$$d=5$$，⊙O半径$$r=5$$， ∴ $$d=r$$， 根据直线与圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径时，直线为圆的切线， ∴ 直线l是⊙O的切线。 四、高频易错总结 1. 判定定理条件残缺：只记“垂直半径”或“过端点”，忽略两个条件必须同时满足； 2. 端点混淆：必须是半径外端，半径中点处垂直的直线不是切线； 3. 辅助线乱用：分不清两种切线证明模型，有公共点却作垂线，无公共点却连半径； 4. 性质误用：不是任意半径都垂直切线，仅限过切点的半径； 5. 步骤扣分：大题只写结论，不写“垂直、过外端”等关键条件，证明不严谨。 会判定一条直线是不是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. 思考： ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ A l O 探究新知 切线的性质定理 知识点 1 如图 ，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点，因为直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A，所以点 P 在 ⊙O 外，从而 OP>OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线.因此，半径 OA 与直线 l 垂直，由此得到切线的性质. P A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用格式 探究新知 证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M. 则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. C D B O A 所以AB与CD垂直. M 证法1：反证法. 性质定理的证明 探究新知 C D O A 证法2：构造法. 探究新知 作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A，且A点为CD的中点.连接OA，根据垂径定理，则CD ⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 探究新知 方法点拨 例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°， 由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； O A B P C (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 切线性质的应用 素养考点 1 探究新知 8 (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO（ASA）. 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. ∴∠OAP＝90°. 探究新知 9 (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C ∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1， 即⊙O的半径为1. 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ， 探究新知 10 如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA,那么圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l是⊙O的切线吗？ 这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径． A l o 由d=r 直线 l 是⊙O的切线． 探究新知 切线的判定定理 知识点 1 切线的判定方法 知识点 2 A B C 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ O 探究新知 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于点A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 应用格式 O 探究新知 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意 探究新知 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要 点 归 纳 探究新知 例1 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 通过证明角是90°判断圆的切线 素养考点 1 探究新知 16 例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 通过证明垂直判断圆的切线 素养考点 2 探究新知 知识点1 切线的性质 （第1题） 1. 如图，是的切线，点 为切 点，连接并延长交于点 ，连 接,，若 ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 中考考法 18 （第2题） 2. [2025福建] 如图，与 相切于 点，的延长线交 于点 ，且交于点 .若 ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 中考考法 19 【点拨】如图，连接， ，则 . 与相切于点 ， ， . ， ， 为等边三角形， ， . 又，为等边三角形，. 中考考法 20 3.如图，是的半径，是的弦， 于点 ，是的切线，交的延长线于点 .若 ，，则线段 的长为___. 3 （第3题） 中考考法 21 【点拨】连接，如图.是 的切 线， 半径 ， ， . ， . ， 四边形 是平行四边形. . 中考考法 22 知识点2 切线的判定 （第4题） 4. 如图，点在 上，下列 条件不能说明是 的切线的是( ) D A. B. C. ， D. 中考考法 23 （第5题） 5. 如图，在 中， ，为的中点， 是线 段上一点，以点为圆心， 长为半 径的交于另一点，交 于点 ，要使是 的切线，需要添加的 （答案不唯一） 一个条件是_______________________（写一个条件即可）. 中考考法 24 6.[2025山东] 如图，在中，点在上，边 交 于点，于点是 的平分线. （1）求证：为 的切线； 中考考法 25 【证明】 ， . ， . 是 的平分线， . ， 即 . 又为半径，为 的切线. 中考考法 26 （2）若的半径为2， ，求 的长. 【解】的半径为2， . ， ， . ， . 中考考法 27 7. （多选题）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如 图，这是其示意图．点在直线上往复运动，推动点 做圆周运动 形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线 与 的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到 时，点 到达．若， ，则下列结论正确的是 ( ) AB （第7题） A. B. 当与相切时， C. D. 当时， 中考考法 28 （第7题） 【点拨】由题意可得 ， ， . ，故A正确. ，故C错误. 中考考法 29 如图①，当与相切时， . . ，故B正确. 如图②，当 时， . . ， . ，故D错误. 中考考法 30 （第8题） 8. 如图，这是半径均为整数的同心圆组成的“圆 环带”，若大圆的弦与小圆相切于点 ，且弦 的长度为定值 ，则满足条件的不全等的 “圆环带”有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 中考考法 31 【点拨】连接, ，如图. 大圆的弦与小圆相切于点 ， . 中考考法 32 在中， ， . 又,为正整数， , 或或 满足条件的不全等的“圆环带”有1个，即大圆半径为4，小 圆半径为2.故选A. 中考考法 9. 如图，在平面直角坐标系中， 的 半径为1，点在经过点， 的 直线上，与相切于点，则 的最 小值为_____. 中考考法 34 切线的 性质 有1个公共点 d=r 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 有切线时常用辅助线 添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课堂小结 切线的判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 课堂小结 $