4.3 用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按工程、销售、行程三大题型分类，分层设计基础应用到拓展提升的解答题训练，强化模型意识与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一等量关系（如工程合作、简单销售）|工程问题第1题直接建立工作总量方程，培养抽象能力| |综合应用|多变量关联（如利润与折扣、配套问题）|销售问题第11题结合成本、定价与打折，发展推理意识| |拓展提升|复杂情境建模（如行程变速、步长速度比）|行程问题第18题融合步长与时间关系，提升应用意识|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、工程问题 1．现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 2．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天． (1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ (2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？ 3．制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿． (1)现有12立方米木材，要用多少立方米的木料制作桌面，多少立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)甲、乙两个工厂合作加工（1）中数量的桌子，5天加工完毕（每个工厂都独立加工完整的桌子），已知甲工厂每天加工的桌子比乙工厂的2倍少5张，求甲工厂每天加工桌子的数量． 4．甲用3小时完成一项工程的后，乙加入一起工作，两人合作小时后完成了这项工程． (1)甲单独完成这项工作需要________小时； (2)乙单独完成这项工作需要多少小时？请列方程求解． 5．有一些相同的教室需要粉刷，一天名师傅去粉刷个教室，结果其中有的墙面未来得及刷；同样的时间内名徒弟粉刷了个教室的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷的墙面设每个教室墙面面积为． (1)一天名师傅可以粉刷多少； (2)现有个这样的教室需要粉刷，若请名师傅带名徒弟完成粉刷，师傅每天工资需元，徒弟每天工资需元，则完成所有粉刷共需工资多少元？ 6．现有甲、乙两个工厂生产一批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用天完成．已知甲工厂每天生产件，乙工厂每天生产件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则要多少天完成？ 二、销售盈亏问题 7．某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 (1)求上表中m的值； (2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 8．某商店需要购进甲、乙两种商品两种商品均购进，其进价和销售价如表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，销售后利润600元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案． 9．我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”截止目前全球累计票房已突破亿元人民币，商家推出了甲、乙两种类型的哪吒纪念挂件．已知购进个甲类型挂件和购进个乙类型挂件的费用相同，每个甲类型挂件的进价比每个乙类型挂件的进价多元． (1)每个甲类型挂件和每个乙类型挂件的进价分别是多少元？ (2)根据实际销售情况，该商家计划用不超过元的资金购进甲、乙两种类型挂件共个，请问最多能购进多少个甲类型挂件？ 10．苹果的进价是元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．（销售量取整数） (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)前4天，平均每天卖出苹果和香梨共50千克，若每天利润大于268元，且苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍．问：这4天苹果和香梨的平均日销售量分别是多少千克？ 11．某文具批发商购进练习本本，每本练习本的成本是元．商家按成本提高后定价出售． (1)照这样定价，售完所有练习本后预计能赚多少钱？ (2)一段时间后，商家只卖掉了的练习本，剩下的练习本打折出售，最终这批练习本实际赚的钱是预计的，剩下的练习本是按定价打了几折出售？ 12．某商店以每个22元的价格进了一批玩具，上架时营业员写错单价以16元的单价卖了其中的，发现后将单价改成了32元卖出，当全部卖出后获利104元，这批玩具共有多少个？（用方程解决问题） 三、行程问题 13．一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了千米时一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距部队6千米处追上队伍．（报信时间忽略不计）请问 (1)通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了多长时间？ (2)学校到部队的距离是多少千米？ 14．小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． (1)如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2)如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 15．已知甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶的路程是乙车每小时行驶的路程的2倍多．甲车行驶与乙车行驶所用时间相同， (1)求甲、乙两车的速度； (2)若甲车到达B地后立即返回，甲返回的速度比原速度慢，两车在行驶过程中有几次相遇？并求出每次相遇的时间． 16．小明的父母在离家450千米的Q市打工．暑假里，小明想给父母一个惊喜，就一个人坐上了去Q市的客车，与此同时，小明的父母开着小车从Q市回家．已知客车的平均速度是80千米/时，小车的平均速度是120千米/时，问经过几小时后两车相距50千米？ 17．育英学校六年级学生步行到郊外旅行.六（1）班的学生组成前队，步行速度为，六（2）班的学生组成后队，速度为.前队出发后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 ． (1)后队出发后，经过多长时间可以追上前队？ (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有多远？ 18．父亲和儿子在400米的标准跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲恰好跑6步，儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等．现在儿子站在跑道200米的起点处，父亲站在400米的起点处，同时同向起跑． (1)设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，求与的关系式，并求父亲与儿子的速度之比． (2)父亲能否在第一次到达400米的终点处前追上儿子？请通过计算，说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)6 (2)18000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 2．(1)天 (2) 【分析】本题主要考查了工程问题的应用，熟练掌握“将工作总量设为单位‘’，利用‘工作效率工作总量工作时间’ ‘工作总量工作效率工作时间’分析数量关系”是解题的关键． （）将工程总量设为单位“”，先求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间工作总量合作效率”计算； （）设乙工程队效率提高的比例为未知数，根据“两队合作天完成工作总量”列方程求解． 【详解】（1）解：设工程总量为，则甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， ∴合作时间：（天）， 答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要天； （2）解：设乙工程队的效率应提高，则 ， 解得， 答：乙工程队的效率应提高． 3．(1)要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿 (2)25张 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，根据等量列出方程是解题关键． （1）设要用立方米的木料制作桌面，那么可以制作个桌面，用立方米的木料制作桌腿，那么可以制作条桌腿，根据配套关系建立方程并解方程即可； （2）由（1）可知，桌子数量为套，设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张，根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：设要用立方米的木料制作桌面，立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套， 根据题意，得， 解得，， ． 答：要用10立方米的木料制作桌面，2立方米的木料制作桌腿，才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）解：由（1）可知，桌子数量为（套）． 设乙工厂每天加工桌子的数量是张，则甲工厂每天加工桌子的数量是张， 根据题意，得， 解得，． ． 答：甲工厂每天加工桌子的数量是张． 4．(1)6小时 (2)4小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）根据甲用3小时完成一项工程的，求出结果即可； （2）设乙单独完成这项工作需要小时，根据整个工程看作单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（小时）， 即甲单独完成这项工作需要6小时； （2）解：设乙单独完成这项工作需要小时，根据题意： ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 答：乙单独完成这项工作需要4小时． 5．(1) (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题目中所设未知数，正确建立方程求解． （1）根据每个教室墙面面积为，表示出1名师傅一天粉刷墙面积为，1名徒弟一天粉刷墙面积为，再根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面建立方程求解得每个教室的面积，进而计算1名师傅一天的粉刷面积； （2）结合（1）求出徒弟每天单独能够完成的面积，再根据总量求出需要的天数，最后求得费用． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 则师傅每天可粉刷：， 答：名师傅一天可以粉刷； （2）解：徒弟每天可粉刷：， （天）， （元）， 答：共需工资元． 6．(1) 件 (2) 天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数运算的实际应用，正确的列出方程和算式是解题的关键． （1）设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天，根据甲、乙生产的纪念品总数相等列方程求解总件数； （2）根据合作生产的工作时间工作总量甲乙工作效率之和计算完成时间． 【详解】（1）解：设乙工厂单独生产这批纪念品需要天，则甲工厂单独生产需要天， 根据题意得：， 解得， 这批纪念品的总数为（件）． 答：这批纪念品共有件． （2）解：甲、乙两工厂同时生产时，每天共生产（件）， 所需天数为（天）． 答：甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品需要天完成． 7．(1) (2)甲种篮球打了九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：； （2）解：由（1）得（元/个）． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）． 设甲种篮球打了x折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 8．(1)20件，10件 (2)购进10件甲种商品，4件乙种商品；购进5件甲种商品，8件乙种商品 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，根据题意列出方程求解即可； （2）设购进m件甲种商品，n件乙种商品，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， （件） 答：甲种商品购进20件，乙种商品购进10件； （2）设购进m件甲种商品，n件乙种商品， 根据题意得：， ， 又，n均为正整数， 或， 该商店共有2种进货方案， 方案1：购进10件甲种商品，4件乙种商品； 方案2：购进5件甲种商品，8件乙种商品． 9．(1)甲类型挂件每个进价为元，乙类型挂件每个进价为元 (2)个 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个甲类型挂件进价元，则每个乙类型挂件进价为元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设甲类型挂件购进数量为个，则乙类型挂件购进数量为个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个甲类型挂件进价元，则每个乙类型挂件进价为元，根据题意得： 解得： 则： 答：甲类型挂件每个进价为元，乙类型挂件每个进价为元． （2）解：设甲类型挂件购进数量为个，则乙类型挂件购进数量为个，根据题意得： 解得： 答：最多能购进个甲类型挂件． 10．(1)李老板购进香梨千克，苹果千克； (2)这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程或不等式是解题的关键． （1）设李老板购进香梨千克，苹果千克，根据题意列出方程求解，即可解题； （2）设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，苹果千克， 根据题意得：， 解得， 则（千克）， 答：李老板购进香梨千克，苹果千克； （2）解：设这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克， 每天利润大于268元， ， 解得， 苹果的平均日销售量小于香梨平均日销售量的3倍． ， 解得， 综上，，且销售量取整数， ，则（千克）， 答：这4天平均每天卖出苹果千克，则平均每天卖出香梨千克． 11．(1)照这样定价，售完所有练习本后预计能赚元 (2)剩下的练习本出售时是按定价打了8折 【分析】本题考查了百分数的应用，根据题意列出算式是解题的关键； （1）根据成本的乘以，即可求解； （2）设剩下的练习本出售时是按定价打了折，根据“出售练习本数量为本的利润+出售数量为本的利润=总利润”列出方程并解答． 【详解】（1）解：每一本价格为：（元）． 每一本利润为： （元）． 总利润为： （元）． 答：照这样定价，售完所有练习本后预计能赚元 （2）解：解：设剩下的练习本出售时是按定价打了折， 根据题意，得． 解得． 答：剩下的练习本出售时是按定价打了8折． 12．36个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这批玩具共有x个，根据总销售额等于总进价加上利润建立方程求解即可． 【详解】解：设这批玩具共有x个， 由题意得，， 解得， 答：这批玩具共有36个． 13．(1)1小时 (2)千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，用到的知识点是路程速度时间，根据等量关系“队伍距学校的距离通讯员距学校的距离”列出方程，是解题的关键． （1）设通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了x小时，根据等量关系“队伍距学校的距离通讯员距学校的距离”列出方程，求出x的值即可得出答案； （2）根据解析（1）求出的时间，列式计算即可． 【详解】（1）解：设通讯员从离开队伍到追上队伍用一共用了x小时，由题意得： ， 解得：． 答：通讯员从离开队伍到追上队伍一共用了1小时； （2）解：（千米）， 答：学校到部队的距离为千米． 14．(1)小华用能追上小明 (2)小华起跑后两人首次相遇 【分析】（1）设小华用能追上小明，根据题意列一元一次方程求解； （2）设小华起跑后两人首次相遇，根据题意列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； （2）解：设小华起跑后两人首次相遇， 根据题意得， 解得 答：小华起跑后两人首次相遇． 15．(1)甲的速度为，乙的速度为 (2)共有次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后 【分析】（1） 设乙车速度为未知数，根据时间相等的条件，结合行程问题中时间路程速度的关系，列分式方程求解即可得到甲乙两车的速度； （2）分情况讨论相遇情况，第一次为出发后相向而行的相遇，根据路程和等于总路程求时间；再计算甲车到达B地后返回，转化为追及问题，计算第二次相遇的时间，判断没有第三次相遇，最终得到结果． 【详解】（1）解：设乙车的速度是，则甲车的速度是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ， 答：甲车的速度是，乙车的速度是； （2）解：设从出发开始经过小时相遇，分情况讨论： 当甲乙第一次迎面相遇时，两人路程和为， 可得 ， 解得 ，符合行驶条件，即第一次相遇在出发后小时， 计算甲车从A到B的总时间为 ，即时甲车到达B地， 此时乙车行驶的路程为，乙车还未到达A地， 甲车返回时速度为 ， 设从出发到第二次相遇的时间为，，以A为原点建立位置关系，甲车的位置为，乙车的位置为，相遇时位置相等， 因此 ， 化简得， 解得， 乙车到达A地的总时间为， 因此符合题意，即第二次相遇在出发后小时 乙到达A地前，甲车已经返回到达A地，之后两车停止运动，没有第三次相遇． 答：共有2次相遇，第一次相遇时间为出发后，第二次相遇时间为出发后． 16．2小时或小时 【分析】根据题意列带绝对值的一元一次方程求解． 【详解】解：经过小时后两车相距50千米，根据题意得， ， 解得或， ∴经过2小时或小时后两车相距50千米． 17．(1)后队出发后，经过2小时可以追上前队 (2)联络员出发后追上前队时，距离后队有 【分析】（1）设后队出发后，经过小时追上前队，以路程为等量关系列方程求解； （2）设联络员出发小时后追上前队，根据路程为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设后队出发后，经过小时追上前队，根据题意，得 解得 答：后队出发后，经过2小时可以追上前队； （2）解：设联络员出发小时后追上前队，根据题意，得 解得 所以 答：联络员出发后追上前队时，距离后队有． 18．(1)， (2)父亲能在第一次到达400米终点前追上儿子，理由如下： 因为父亲与儿子的速度之比为 所以父亲的速度为，则儿子的速度为， 设经过分钟后，父亲追上儿子， 由题意可得：， 解得， 因为父亲第一次到达终点的时间是，． 所以能在第一次到达400米终点前追上儿子． 【分析】（1）设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米，根据题意得到，，然后根据“儿子跑5步的时间父亲能跑6步”列式求解即可； （2）首先得到父亲的速度为，则儿子的速度为，设经过分钟后，父亲追上儿子，根据题意列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设父亲每步的长为米，儿子每步的长为米， 因为儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等． 所以， 所以． 因为儿子跑5步的时间父亲能跑6步， 所以， 所以父亲与儿子的速度之比为； （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $