5.1 认识二元一次方程组一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以"概念理解-情境应用-创新拓展"为分层逻辑，通过基础辨析、情境建模、规律探究三阶设计，强化二元一次方程组的概念建构与应用能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程/组定义、解的概念|以单选1-2（定义判断）、填空9-12（方程解列举）为主，强化符号意识与抽象能力| |中档层|实际问题与几何图形列方程组|结合《算学启蒙》古题（单选6）、地砖拼图（填空13），培养模型意识与几何直观| |提升层|规律探究与新定义应用|通过方程组规律（解答16）、"满分数"新定义（解答18），发展推理意识与创新意识|

5.1 认识二元一次方程组 一课一练2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 5．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 6．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 7．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 10．若是关于的二元一次方程，请写出一个符合条件的的值：______． 11．五一劳动节，初一（3）班的同学到河边进行捡垃圾活动，如果每组4人，则多1人，如果每组5人，则差8人，设分为a组，共b个学生，则方程组是__________． 12．写出一个以为解的二元一次方程组：_______． 13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 三、解答题 14．已知二元一次方程3x＋2y＝18． (1)用关于x的代数式表示y． (2)写出此方程的非负整数解． 15．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形． (1)若，分别求S1，S2的面积； (2)若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值． 16．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 17．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为 ，高度为 ．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 18．材料阅读：对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若，则称该四位数N为“满分数”．如：四位数，∵，∴是“满分数”；四位数，∵，∴不是“满分数”．问题解答： (1)最小的“满分数”N为______； (2)若把一个“满分数”N的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为，能被5整除，请求出满足条件的N的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B D A A D 1．【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中方程只含一个未知数，则不是二元一次方程； B、中方程只含一个未知数，且未知数最高次数为2，则不是二元一次方程； C、中方程含有分式，不是整式方程，则不是二元一次方程； D、中方程含有两个未知数且次数均为1，是整式方程，则是二元一次方程； 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组是二元一次方程组，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； B、方程组中含x、y、z三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； C、方程组中两个方程均为一次方程，且只含x和y两个未知数，故方程组是二元一次方程组； D、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， ∴． 4．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 5．【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 7．【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 8．【答案】D 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 10．【答案】2（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，未知数的系数不能为零，因此的系数． 【详解】解：因为方程是关于的二元一次方程， 所以的系数 ，即， 因此，可以是除以外的任意实数，例如． 故答案为：2（答案不唯一）． 11．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二元一次方程组，根据题意“如果每组4人，则多1人，如果每组5人，则差8人”列出方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得：． 故答案为：． 12．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查构造二元一次方程组，根据二元一次方程组的解，进行构造即可． 【详解】解：由题意，可以构造的方程组为： ； 故答案为：（答案不唯一）． 13．【答案】，， 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 14．【答案】(1)y＝ (2)非负整数解为，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得； （2）取x＝0，2，4，6分别得到y的值即可． 【详解】（1）解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18−3x， ∴y＝； （2）解：当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0 ∴非负整数解为，，． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键． 15．【答案】(1)， (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）由题意得，求出即可． 【详解】（1）解：由题意得：， （2）解：由题意得：， ∴ 由（1）得， ∴ 16．【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【知识点】数字类规律探索、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 17．【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 18．【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握新定义，掌握“满分数”的定义是解题的关键． （1）设“满分数”N为，根据“满分数”的定义，求出最小的“满分数”． （2）根据题意，可得，则，再根据 能被5整除，得出当a最大时，“满分数”最大，进而求出N的最大值． 【详解】（1）解：设“满分数”N为，则， 由题意可知，“满分数”各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴，不合题意； 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴最小的“满分数”N为． 故答案为： （2）解：根据题意，若把一个“满分数”的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 能被5整除， ∴ 能被5整除， ∴ 为整数． ∵，a、d为正整数， ∵， ∴当a为最大时，N的值最大， 当时， 为整数，且，则， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴当时， 为整数，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴“满分数”N的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $