5.1 认识二元一次方程组 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“5.1认识二元一次方程组”新课同步练，以三级梯度分层设计，通过“概念理解-情境应用-规律探索”路径巩固知识，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程（组）定义、解的判断|单选1-2直接考查概念，填空9-11强化解的构造，夯实抽象能力| |提升层|几何与实际情境建模|单选5-6结合图形与《九章算术》情境列方程组，解答15-16提升模型意识| |拓展层|规律探索与新定义应用|解答17通过方程组规律培养推理能力，单选8与解答18创新情境发展创新意识|

5.1 认识二元一次方程组 新课预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 4．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 5．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 8．在学习课本“问题解决策略——逐步确定”时，我们曾用该策略解决过“一个数三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，这个数最小是多少”的问题，最终得出答案为23．现在请你解决以下问题：已知一个正整数满足以下条件：除以3余2，除以5余4，除以7余3，满足条件的最小正整数是（    ）． A．23 B．38 C．59 D．86 二、填空题 9．请写出一个二元一次方程__________，使是该方程的一个解． 10．写出一个解为的二元一次方程组____________． 11．若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 12．某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5．若设书法小组有x人，绘画小组有y人，则根据题意可列方程组：______． 13．在长方形中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别为，，则可列方程组_______________． 三、解答题 14．已知二元一次方程3x＋2y＝18． (1)用关于x的代数式表示y． (2)写出此方程的非负整数解． 15．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 16．一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，填写下表并求出x，y的值． 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 17．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 18．学习材料：对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异位数”，将一个“异位数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以． 问题解决： (1)计算：　　；　　； (2)若为“异位数”，则的最大值与最小值的差为 　　； (3)若为“异位数”，且满足，若，则　　； (4)若，都是“异位数”，其中，，（，，都是整数），规定：，当时，的值为 　　． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A C D B C 1．【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 2．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断，二元一次方程组需满足：共含有两个未知数，所有方程都是整式方程，且每个方程中未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、第一个方程中未知数次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组共含两个未知数，两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，符合题意； C、方程组共含三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意． 3．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键． 由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 由每人出7钱，会多2钱，即； 每人出6钱，又会差3钱，即． 所以可列方程组为． 故选D． 7．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、数的整除 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用． 先根据“除以余，除以余”的条件，可得这个数加是和的公倍数，设出该数的表达式，再结合“除以余”的条件，确定参数的最小正整数值，进而可得满足条件的最小正整数． 【详解】解：∵这个数除以3余2，除以5余4， ∴这个数加1后能同时被3和5整除， ∵3和5互质，最小公倍数为15， ∴设这个数为（为正整数）， 又∵这个数除以7余3， ∴（为正整数）， ∴， ∴， ∴， ∴的最小正整数值为， ∴这个数最小为， 验证：，，，均满足所有条件， 故选：C． 9．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】根据二元一次方程的定义，结合已知方程的解，构造出符合要求的方程即可. 【详解】解：设所求二元一次方程为（，）， 将代入方程，得， 令，，得， 可得符合条件的二元一次方程为（答案不唯一）． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 12．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件列方程是解决本题的关键． 由书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15，可列；由绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5，可列，由此可得． 【详解】解：∵设书法小组有x人，绘画小组有y人， 由书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15， 可得； 由绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5， 可得， ∴． 故答案为： ． 13．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．根据长方形的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和、两个小长方形的宽加上等于一个小长方形的长与一个小长方形的宽之和建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故答案为：． 14．【答案】(1)y＝ (2)非负整数解为，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得； （2）取x＝0，2，4，6分别得到y的值即可． 【详解】（1）解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18−3x， ∴y＝； （2）解：当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0 ∴非负整数解为，，． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键． 15．【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 16．【答案】见解析；一班有48人，二班有52人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据“一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，”，列出二元一次方程组，解出即可求解． 【详解】解：设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 所以一班有48人，二班有52人； 一班达标人数为（人）， 二班达标人数为（人）， 两班达标人数总和为 （人）， 表格如下所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 17．【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【知识点】数字类规律探索、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 18．【答案】(1)9，14 (2)18 (3)125或134 (4) 【知识点】有理数四则混合运算、二元一次方程的解 【分析】（1）根据定义进行计算即可； （2）当的三位数字分别是9，8，7时，的值最大，当的三位数字分别是1，2，3时，的值最小，分别求出相应的值即可求解； （3）根据题意可得，再由，确定、、的具体值即可； （4）由题意可得，，再由已知条件可得，根据、的取值范围确定具体的值后即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：9，14； （2）解：当的三位数字分别是9，8，7时，的值最大， 此时， 当的三位数字分别是1，2，3时，的值最小， 此时， ， 的最大值与最小值的差为18， 故答案为：18； （3）解：， ， ， ，，或，，， 或， 故答案为：125或134； （4）解：， ， ， ， ， ， ， ，，， 或，或或， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了新概念“异位数”的定义，二元一次方程的应用，主要是考查对数字拆分组合的能力，这类题目需要根据题设进行讨论求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $