5.3 二元一次方程组的应用 一课一练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦二元一次方程组应用，分层设计覆盖方案、行程等10类问题，通过基础巩固-能力提升-综合应用三阶路径，培养抽象建模与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数字/年龄问题（4/5题）|单等量关系建模，如歌词字数两位数问题| |能力提升|行程/销售问题（2/6题）|双等量关系应用，如火车过桥时间与长度计算| |综合应用|几何/函数结合（14/15题）|跨知识整合，如坐标系中长方形拼图与行程函数图像|

5.3 二元一次方程组的应用 一课一练2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．一桥长2000米，一列火车匀速行驶，从车头上桥到车尾离桥用了一分钟，完全在桥上的时间为40秒，则车长度和行驶速度分别为（   ） A．400米，20米/秒 B．200米，40米/秒 C．200米，20米/秒 D．400米，40米/秒 3．现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 4．已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是（    ） A．84 B．48 C．41 D．148 5．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 6．某服装店用6000元购进A、B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润3800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价、标价如表所示：则这两种服装共购进（     ） 　类型 价格 A型 B型 　进价（元/件） 60 100 　标价（元/件） 100 160 A．50件 B．60件 C．70件 D．80件 7．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 8．如图，在大长方形中，放入九个相同的小长方形，则图中每个小长方形的面积（单位：）为（    ） A．9 B．12 C．24 D．48 9．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺，问绳和竿各有多长？”若设绳尺，竿尺，请你列出符合题意的二元一次方程组应该是（   ） A． B． C． D． 10．某车间有80名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片300片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是______． 12．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入_________个大铁球和_________个小铁球．（写出一组符合要求的值即可） 13．某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共___________间． 14．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，则点A的坐标为______． 15．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为____________千米． 三、解答题 16．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 17．确保室内空气新鲜一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共140台，A型号净化器进价是900元/台，B型号净化器进价是2100元/台，购进两种型号净化器共用去174000元． （1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？ （2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这140台净化器的毛利润达到54000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润＝售价—进价） 18．在课间活动中，小明、小欣和小宇在操场上画出了A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区得分相同，落在B区得分相同，但落在A区与B区得分不相同，每人投沙包四次，其落点和四次所得总分如图所示． (1)投沙包一次落在A区或B区分别得多少分？ (2)求小宇的总分． 19．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 20．某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表： 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30% 芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20% 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍． (1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？ (2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A A D B C B A 1．【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包， 依据题意得： 均为正整数， 或或或 小明共有4种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 2．【答案】D 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设火车行驶速度为x米/秒，火车的车身为y米， 根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设火车行驶速度为x米/秒，火车的车身为y米， 根据题意，得， 解得：， ∴火车行驶速度为40米/秒， 火车的车身为400米， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意，找到两个等量关系：甲工程小组整修马路的长度乙工程小组整修马路的长度米，甲工程小组整修马路的天数乙工程小组整修马路的天数天，由此列出方程组，得到答案． 【详解】解：根据题意， 设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米， 依题意可列方程组： ， 故选：． 4．【答案】A 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设这个两位数的个位数是x，十位数是y． 根据题意，得 解得 则这首歌的歌词的字数是84个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．【答案】A 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 6．【答案】D 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据用6000元购进A、B两种新式服装，按标价售出后获得毛利润3800元，列方程组求解． 【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件， 由题意，得， 解得：． 即：A种服装购进50件，B种服装购进30件． 则（件）． 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用．设小长方形的长为，宽为，观察图形，根据小长方形长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，据此计算即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则图中每个小长方形的面积为， 依题意得：， 解得：， ∴， 即图中每个小长方形的面积为， 故选：C． 9．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳尺，竿尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设绳尺，竿尺， 由题意得，， 故选：． 10．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】找出题目中的两个等量关系，一个是工人总人数，另一个是配套关系下镜片和镜架的数量关系，据此列出方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， ∵车间总共有名工人， ∴， ∵两个镜片和一个镜架配套，因此镜片总数量应为镜架总数量的倍，生产镜片总数量为，生产镜架总数量为， ∴， ∴可得方程组． 11．【答案】32分 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可． 【详解】解：设大圈内，小圈内得分分别为，分， 依题意得：， 解这个方程组得：， 答：小方、小军一次各得5分、9分， 则小红的得分是（分）． 故答案为：32分． 12．【答案】 3（答案不唯一） 2（答案不唯一） 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是二元一次方程组的实际应用问题，通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，， 故答案为：3；2（或者2；5或者1；8或者0；11） ． 13．【答案】19 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数和总费用列得方程，求解即可． 【详解】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间， 由题意得，， 解得， ∴x+y=19， ∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共19间， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得，结合点的位置即可得出坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为，宽为， ∵点B的坐标为， 则， 解得：， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用；设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，由题意，得 ， 解得：， 、两地之间的距离为：千米． 故答案为：． 16．【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 17．【答案】（1）A型号净化器100台，B型号净水器40台；（2）1200元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，然后根据题意列出方程求解即可； （2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为元，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】解：（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A型号净化器100台，B型号净水器40台． （2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为元， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：每台A型号净化器的售价为1200元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找出等量关系列方程求解. 18．【答案】(1)沙包落在A区一次得分，投沙包落在B区一次得分 (2)分 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设沙包落在A区一次得x分，沙包落在B区一次得y分．根据题意列出方程组，即可求解； （2）把根据题意可得小宇的总分等于沙包落在A区得分加上落在B区得分的3倍，即可求解． 【详解】（1）设沙包落在A区一次得x分，沙包落在B区一次得y分．得： ， 解方程组得． （2）小宇得分为：分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 20．【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． (2)需要准备公斤大米． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤， 由题意可得：，解得：． 答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤． （2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤， 设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为， 由题意可得：，解得：千克． 答：需要准备公斤大米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $