5.3 二元一次方程组的应用 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，强化二元一次方程组模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方案、行程等单一应用|单选题1-5直接考查列方程解决基本问题，强化建模基础| |中档|复杂情境与跨知识结合|填空题15结合函数图像分析行程，解答题16融合几何与代数，提升综合应用| |提升|综合问题与文化渗透|解答题19九宫格数字问题、单选题10《九章算术》古代问题，培养创新意识与数学文化理解|

5.3 二元一次方程组的应用 预习自测2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了元，则小伟的购买方案共有（　　） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 2．A，B两地相距72km，甲、乙两人骑行，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，两人同时出发，4h后相遇．若骑行6h，此时甲剩下的路程为乙剩下路程的2倍，则甲、乙两人的骑行速度分别为（   ） A．6km/h和12km/h B．12km/h和4km/h C．8km/h和10km/h D．20km/h和10km/h 3．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A．甲比乙大6岁 B．乙比甲大6岁 C．甲比乙大4岁 D．乙比甲大4岁 5．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则可列方程组（   ） A． B． C． D． 6．一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 7．如图，用四个长和宽分别为的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 9．某商场销售甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为，则当售出的甲种商品的数量是乙种商品的时，商场销售这两种商品的总利润率为（    ） A． B． C． D． 10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 二、填空题 11．小明打算购买笑脸和爱心两种气球，同一种气球的价格相同．第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为______元． 12．塑料凳子轻便实用，人们生活中随处可见．如图，3 支塑料凳子叠放在一起的高度为55cm，5 支塑料凳子叠放在一起的高度为 65cm，当有 10 支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是___cm． 13．某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共___________间． 14．如图，四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大的正方形．若大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米，则长方形的宽为______米． 15．一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米． 三、解答题 16．如图1是由8个边长分别为，的小长方形拼成的大长方形． (1)请直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）． (2)将图1中的8个小长方形放入一个大长方形中，按如图2摆放． ①用，的代数式表示大长方形的宽； ②若三块阴影部分的面积之和为189，求小长方形的面积． 17．确保室内空气新鲜一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气．阳光商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号的净化器共140台，A型号净化器进价是900元/台，B型号净化器进价是2100元/台，购进两种型号净化器共用去174000元． （1）求商场各进了A、B两种型号的净化器多少台？ （2）为使每台B型号净化器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这140台净化器的毛利润达到54000元，求每台A型号净化器的售价．（注：毛利润＝售价—进价） 18．某山区有若干名中学生、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 捐款数额/元 资助贫困中学生人数/名 资助贫困小学生人数/名 七年级 4000 2 4 八年级 4200 3 3 九年级 4000 (1)求a，b的值； (2)当地政府下达新政策给予补贴，秉持九年级学生捐多少补多少原则帮助贫困学生，与九年级学生的捐款总额恰好解决了剩余贫困中、小学生的学习费用（中小学生均要资助），请求出政府和九年级学生的捐款总额可捐助的贫困中、小学生人数的所有方案． 19．“洛书”（图1）是世界上最早的“幻方”．“九宫格”来源于“洛书”，将不重复的9个数依次填入方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．如图2、图3都是只能看到部分数值的“九宫格”． (1)写出图2中a和b之间的数量关系； (2)求出图3中x和y的值． 20．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D B C B D C 1．【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，列方程组得到单价，再根据小伟购买上述价格的笔和本共用了元列方程求整数解即可得到答案； 【详解】解：设1支笔的价格为x元，1个本的价格为y元，由题意可得， ，解得：， 设小伟购买笔m支，本n个，由题意可得， ，化简得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴小伟的购买方案共有4种， 故选B； 【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 2．【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据“4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时， 依题意得：， 解得：． 故答案选：C. 3．【答案】D 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项． 【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷， 根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在理解题意，并列出二元一次方程组． 4．【答案】C 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决． 【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键． 5．【答案】D 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系． 【详解】解：由题意，得． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程． 【详解】解：根据大正方形的面积求得该正方形的边长是8，则a+b=8， 若S=4，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则a-b=2， 解得a=5，b=3，ab=15，故选项A、D错误； 若S=16，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是4，则a-b=4， 解得a=6，b=2，ab=12，故选项B错误；故选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组．此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进行选择． 8．【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 9．【答案】D 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设甲种商品的进价为，乙种商品的进价为， 根据题意得， 解得， ， 故选D． 10．【答案】C 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 11．【答案】18 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意直接列出二元一次方程组，再整理得到的值，即可解题． 【详解】解：设一个笑脸气球的价格为元，一个爱心气球的价格为元， 由图知，， 由①②得：， 整理得：， 第三束气球的价格为元． 故答案为：． 12．【答案】90 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意可设塑料凳子厚度为x（cm），凳子腿高为y（cm），可列出关于x，y方程组，求出x，y，然后可计算出10张塑料凳子叠在一起的高度． 【详解】解：设塑料凳子厚度为x（cm），凳子腿高为y（cm） 由题意可得 ， 解得： ， 则10支塑料凳子整齐叠放在一起的高度为cm． 故答案为：90． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意列出方程是解决问题的关键． 13．【答案】19 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数和总费用列得方程，求解即可． 【详解】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间， 由题意得，， 解得， ∴x+y=19， ∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共19间， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据题意选取合适的量设未知数并列出方程组，是本题的解题关键． 设长方形的宽为x米，长为y米，根据大正方形的面积是36平方米，小正方形的面积是4平方米可列出方程组 ，求解x即可得到答案． 【详解】解：设长方形的宽为x米，长为y米，则由图可知大正方形边长为米，小正方形边长为米； 大正方形的面积为36平方米，小正方形的面积为4平方米， ∴大正方形的边长为6米，小正方形的边长为2米， ， 解得：； 长方形的宽为2米． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，读懂函数图象并获取准确的等量关系，列出方程组是解题的关键．由图和题意可知：不妨设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，又过秒时，小刚追上小明，秒时小刚到达终点，秒时小明到达终点，由此列出方程组求得、，进一步求得答案即可． 【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得 ， 解方程组得． 所以全程米． 故答案为： 16．【答案】(1) (2)①；②27 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查对几何图形的整体分析、二元一次方程组的熟练运用，熟练掌握二元一次方程组与图形的关系是解题的关键． （1）根据图片中所给出的长与宽的关系分析即可． （2）①根据图中给出的与，的关系分析即可．②先利用平移的知识将图中阴影部分进行合并，再根据图中的等量关系列方程组求解即可． 【详解】（1）解：根据图中可知：． （2）①根据图中给出的与，的关系可知：． ②平移得： 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵三块阴影部分的面积之和为189， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．【答案】（1）A型号净化器100台，B型号净水器40台；（2）1200元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台，然后根据题意列出方程求解即可； （2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为元，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】解：（1）设商场购进A型号净化器x台，B型号净水器y台， 依题意，得：， 解得：． 答：商场购进A型号净化器100台，B型号净水器40台． （2）设销售每台A型号净化器的毛利润为m元，则销售每台B型号净化器的毛利润为元， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：每台A型号净化器的售价为1200元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找出等量关系列方程求解. 18．【答案】(1)a，b的值分别为800，600 (2)方案一：中学生7人，小学生4人；方案二：中学生4人，小学生8人；方案三：中学生1人，小学生12人 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可． （2）利用九年级的捐款额8000列方程求人数． 【详解】（1）解：由题意得   解得： ∴a，b的值分别为800，600； （2）由题意得捐款总额为：（元） 设九年级资助贫困的中学生人数为x，资助贫困的小学生人数为y； 可得：；整理得：， 即； 又∵x、y均为正整数 ， ∴    ； 即方案一：中学生7人，小学生4人； 方案二：中学生4人，小学生8人； 方案三：中学生1人，小学生12人； 19．【答案】(1) (2) 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，掌握“九宫格”的特点是解题关键． （1）根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等求解即可； （2）令第一行第二列为，第三行第三列为，根据“九宫格”任意一行、任意一列上的数之和都相等列二元一次方程组，整理后求解即可 【详解】（1）解：由题意可知，， 即； （2）解：如图，令第一行第二列为，第三行第三列为， 则，即， 解得：； 20．【答案】(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握工作时间、工作效率、工作总量的关系是解题的关键． （1）分析甲、乙方程组中未知数的意义，结合工作时间、工作效率、工作总量的关系判断． （2）选择甲的方程组，通过消元法求解． 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $