精品解析：湖南衡阳市第八中学2027届高三上学期入学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若与同向，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标运算及向量同向的判定即可得到答案. 【详解】因为，则，所以， 当时，，，则，那么向量与反向， 不符合题目要求，所以. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果. 【详解】由可知或； 当时，即，此时，不能满足题意； 当时，解得或， ，此时，不能满足题意； 时，，满足题意， 故. 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将抛物线方程化为标准方程，从而可求得其准线方程. 详解：抛物线化为标准方程， ， 所以，抛物线的准线方程为，故选A. 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程以及准线方程，意在考查对基本概念的理解与应用，属于简单题. 4. 若、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据 “三数成等比数列” 的条件，运用等比中项性质列出等式；再将等式两边展开整理，求出值即可. 【详解】、、成等比数列，， 整理可得，. 5. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】正弦函数从零点上升到最高点，这段距离，即， 所以，所以， 又函数图象过零点，且此处函数处于上升段，则，得到. 6. 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导得到最大值点，将恒成立转化为最大值小于等于 0，再构造关于参数的新函数研究单调性求得参数的范围，从而得到最大值. 【详解】由题意，当时，恒成立， 构造函数，则， 分母，令，得，所以， ，，单调递增，，，单调递减， 所以在处取得最大值，要恒成立， 只需最大值， 设,则， 令,得， ，， 单调递减，，， 单调递增， 且，当，结合单调性知，，不满足， 的最大值为. 7. 已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A. 与圆相交 B. 与圆相切 C. 与圆相离 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵ ，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 8. 在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过余弦定理确定的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在上，通过列方程即可求解. 【详解】 由题意四边形有外接圆，则， 即，得，即，故， 取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径， 又，可得在底面上的投影为，即底面且， 故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为， 由，得，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A项，，故A错误； 对于B项， 由于，所以，故B正确； 对于C项，，故C正确； 对于D项，，故D错误. 10. 已知，则（ ） A. B. 最大的二项式系数为 C. D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入计算即可判断选项A；根据二项式系数的性质即可判断选项B；先求导，再令，代入计算即可判断选项C；根据项的系数，等差数列的性质，及组合数公式即可判断选项D． 【详解】对于A，令，则，即，故A正确； 对于B，由，则展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，为第项，系数为，错误； 对于C，令， 则， 令，则，故C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为，则， 设连续三项为，，，（）， 则其系数为，，， 若，，成等差数列，则， 即，即， 即，得， 解得，或， 即存在第项，第项，第项的系数成等差数列；或第项，第项，第项的系数成等差数列，故D正确． 11. 在数列中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，且是常数列，则的取值范围是 B. 若，，且，则是等差数列 C. 若，，，且，则 D. 若，，，且，则使得的的最小值为202 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：常数列转化为方程有实根，判别式求解；B：换元取对数，最后得到, 数列的后一项与前一项之差不恒为常数，所以不是等差数列；C：先利用数列递推放缩得到通项上界，再将高阶指数级数放缩为普通等比级数求和，最终证明倒数和恒小于；D：先化简递推得到增量式，倒数裂项构造望远镜求和，再通过放缩不等式锁定临界项，推出满足的最小正整数. 【详解】选项 A，为常数列，设，因为，则，所以，得到， 该方程有实数解，则判别式，得,A 正确； 选项 B，，得，得， 令，，则， 两边取对数得，则, 则, 数列的后一项与前一项之差不恒为常数，所以不是等差数列，B 错误； 选项 C ，，，得， 由 ，可知所有 ，且数列严格递增, 由递推式得 ，两边取倒数得, 计算前几项：，故, 当 , , 当 , , 当 时， 增长极快，满足 ，下面用数学归纳法证明， 当，左边：，右边：，左边右边， 不等式成立； 假设当 时不等式成立：,所以, 当, >, 所以， 于是 命题也成立， 由数学归纳法：对一切整数 ， 成立， 所以 ， 综上，，故 C 正确; 选项 D， 将 代入得， ，得，数列严格递增, 由 ，取倒数裂项得, 即， 则，，……，， 两边分别求和得， ，得 ，所以， 因为 递增，所以递减，所以 因此当 时， ，得，即， 当 时， 两边乘 化简得 因 ，故 ， 综上，，使得 的 的最小值为 ，故 D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设， 对求导得， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 13. 若曲线关于直线对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求定义域，则定义域的两个区间关于直线对称，从而得到；设，利用对称轴得到成立，求出；从而求出，再结合函数对称性进行检验即可. 【详解】依题意得，解得或 ， 则函数的定义域是，定义域两个区间与关于直线对称， 因为曲线关于直线对称，所以， 设，由对称轴，可得， 即， 所以，得，所以. 此时，对任意的，则， 则， 所以函数的图象关于直线对称，故. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得为中点，利用勾股定理建立关系式，依据与的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由，得，过作直线的垂线，垂足为， 设（也就是直线）与交于点，因为，故， 于是，由相似比可得，又为的中点， 又，根据三角形中位线的判定，为的中位线，则， 所以，即，结合三点共线，， 推出，也就是为线段的中点，由，为直角三角形， 由勾股定理得， 在中有，将、代入， 整理得：， 当点在双曲线第一象限向右上方运动时，与的长度均单调递增， 因此代数式的最小值出现在无限靠近双曲线右顶点处， 此时，，则该式的最小值趋近于， 题目要求存在满足条件的点，只需最小值小于，即， 展开并化简得，两边同时除以可得，由离心率定义，得， 故双曲线离心率的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，其中，代入等式，可解出，然后再利用余弦定理求解即可； （2）由余弦定理结合角的取值范围可得出角的值，再结合以及辅助角公式可得出，再利用正弦定理可求得的值. 【小问1详解】 设，，其中． 代入条件，得，即， 解得（舍去）． 由余弦定理得． 【小问2详解】 由，得，且，所以． 由，得， 即，所以． 由正弦定理得，所以． 16. 某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名学生．当地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生进行体测，根据体测结果，一中、二中、三中学生的合格率依次为，，． （1）求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； （2）用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机抽取一人进行体测，设这3人中体测合格的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）总体合格率用加权平均数计算，权重是各校学生人数； （2）的所有可能取值为，，，，分别计算概率得到分布列，进而求解数学期望 【小问1详解】 该地全体高中学生的体测合格率的估计值为 【小问2详解】 由题意，的所有可能取值为，，，， ， ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 17. 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）延长，与交于点，过点作，垂足为，连接． 根据重心的性质，知为的中点，且． 由于，所以，又因为，所以， 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以，所以， 又，所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面,所以平面． 又因为，平面,所以平面平面， 因为平面,所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）证明线面平行可通过面面平行证明，借助三棱台性质、三角形重心的比例关系寻找平行线； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线，分别为轴、轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，平面， 由已知可得，，，，的重心， 由三棱台可得，， 所以，从而，，所以， 则，，， 设是平面的法向量， 则，即，取．， 设是平面的法向量， 则， 即，取， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）为坐标原点，、是上的两个动点，直线、的斜率分别为、，且总满足． （i）若，求的面积． （ii）是否存在椭圆，使得直线总与相切？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在椭圆满足题意，其方程为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）（i）将直线的方程与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，再将直线的方程与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，进而可求出点到直线的距离以及，利用三角形的面积公式可求出的面积； （ii）设存在椭圆满足题意，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据可得出，然后再将直线的方程与椭圆的方程联立，根据判别式为零可得出关于的恒等式，即可得出、的值，可得出椭圆的方程；当直线的斜率不存在时，直接验证即可.综合可得出结论. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题可知，，则，① 又过点，则，② 联立①②得，，故的方程为. 【小问2详解】 （i）由，得直线的方程为． 由得，由对称性，不妨取． 由，得，直线的方程为． 由得，不妨取． 因为点到直线的距离， ， 所以的面积． （ii）设存在椭圆满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 由得， ， 由韦达定理可得，． 故． 而，化简得． 由 得， 若直线与相切，则，化简有， 将代入，得， 该等式对所有的均成立，则，解得，， 即直线总与椭圆相切． 当的斜率不存在时，则直线的方程为或，也与椭圆相切． 综上所述，存在椭圆满足题意，其方程为． 19. 已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． （1）比较与的大小； （2）证明：； （3）若，函数总存在最小值，证明：． 【答案】（1） （2）设，则， 由于，所以，有，所以， 即对任意成立． 设，则当时，， 则在区间内有， 即，， 所以，证毕． （3）由于，且， 故， 而， 由，及， 可得，即也满足． 反证法：假设，则存在使得，， 由，知， 可见也是极小值点，， 由，可得， 以此类推，． 设，由，得， 而，得， 所以，令，则，即， 这与矛盾，故假设不成立，． 【解析】 【分析】（1）构造函数，再利用导数得到其单调性，进而即可比较与的大小； （2）构造函数，，再利用导数得到其单调性，进而即可证明结论； （3）先根据题意证明也满足，再利用反证法即可证明． 【小问1详解】 设，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若与同向，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4. 若、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 7. 已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A. 与圆相交 B. 与圆相切 C. 与圆相离 D. 以上都有可能 8. 在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. 最大的二项式系数为 C. D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列 11. 在数列中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，且是常数列，则的取值范围是 B. 若，，且，则是等差数列 C. 若，，，且，则 D. 若，，，且，则使得的的最小值为202 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_________． 13. 若曲线关于直线对称，则_________． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，求； （2）若，求． 16. 某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名学生．当地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生进行体测，根据体测结果，一中、二中、三中学生的合格率依次为，，． （1）求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； （2）用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机抽取一人进行体测，设这3人中体测合格的人数为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）为坐标原点，、是上的两个动点，直线、的斜率分别为、，且总满足． （i）若，求的面积． （ii）是否存在椭圆，使得直线总与相切？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． （1）比较与的大小； （2）证明：； （3）若，函数总存在最小值，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $