精品解析：湖南衡阳市第八中学2027届高三上学期入学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若与同向，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 3. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 4. 若、、成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若当时，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. e D. 7. 已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A. 与圆相交 B. 与圆相切 C. 与圆相离 D. 以上都有可能 8. 在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. 最大的二项式系数为 C. D. 展开式中存在连续三项的系数成等差数列 11. 在数列中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，且是常数列，则的取值范围是 B. 若，，且，则是等差数列 C. 若，，，且，则 D. 若，，，且，则使得的的最小值为202 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线方程为_________． 13. 若曲线关于直线对称，则_________． 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点且在第一象限内，为坐标原点，过作直线，交直线于点．若存在点，使得，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，求； （2）若，求． 16. 某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名学生．当地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生进行体测，根据体测结果，一中、二中、三中学生的合格率依次为，，． （1）求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； （2）用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机抽取一人进行体测，设这3人中体测合格的人数为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）为坐标原点，、是上的两个动点，直线、的斜率分别为、，且总满足． （i）若，求的面积． （ii）是否存在椭圆，使得直线总与相切？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数与其导数的定义域均为，，且对任意，恒成立，其中为常数． （1）比较与的大小； （2）证明：； （3）若，函数总存在最小值，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 组卷网 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置， 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若i=m与5=m④同向，则m=（) A.-2 B.2 C.2 n号 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标运算及向量同向的判定即可得到答案 【详解】因为a/6,则←)×(4)-m=0,所以m=2, ,a= 当m=2时，a=(-1,2),b=(2,4),则02”，那么向量a与b反向， 不符合题目要求，所以m=-2. 2已知袋合4=亿3，}，B=九a+2头，且BcA,则a=（) A.-1 B.1 C.2 D.0 【答案】C 【解析】 第1页/共26页 命学科网 组卷网 【分析】根据题意可对a+2=3和a+2=a 分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果， A可知a+2=3或a+2=d ≤A 【详解】由 当a+2=3时，即a=1,此时a=1,不能满足题意； 当a+2=0时，解得0=2或a=-1】 a=-l,此时d=a+2=1,不能满足慰意； a=2时，A={1,34,B={1,4 ，满足题意， 故a=2, 3.抛物线x=4y2 的准线方程为 1 A.Y=- D. 1 16 B.x=-1 C.y=-1 16 【答案】A 【解析】 【详解】分析：将抛物线方程化为标准方程，从而可求得其准线方程 详解：抛物线×=4少化为标准方程。 2=1 x,2p= 1p1 4 4’216, 所以，抛物线x=4y的准线方程为=6，名 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程以及准线方程，意在考查对基本概念的理解与应用，属于简单题 4.若2-2a、3-4a、4-6a成等比数列，则a=() 1 A.0 B.1 C.4 D.2 第2页/共26页 命学科网 组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“三数成等比数列”的条件，运用等比中项性质列出等式；再将等式两边展开整理，求 出值即可 【详解】2-2a、3-4a、4-6a成等比数列，(3-4a)°=(2-2aj(4-6a) 整理可得4a-4a+1=0,六a 2 5已知涵数f因=sn(ax+)(0>0,1o 2)的部分图象如图所示，则P=() -10 个 2 A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 3=1T→T=12 T 【详解】正弦函数从零点x=-1上升到最高点x=2,这段距离4，即4 所以0= 2π_2π_π T=12=6,所以了（x)=四6+0》 又函数图象过零点（一山，0)，且此处函数处于上升段，则6 x(-1)+p=0 得到p交 6 6.已知a>0,若当>-0时， ln(a+x)≤aw 恒成立，则“的最大值为() 1 √2 A.e B.1 C.e D.2 【答案】B 第3页/共26页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导得到最大值点，将恒成立转化为最大值小于等于0，再构造关于参数4的新 函数研究单调性求得参数的范围，从而得到最大值 【详解】由慰意a>0,当x>0时， ln(a+x)≤ax 恒成立， 构造函数f()=h(x+a)-a,x>aa>0,则了()=a=1--d x+a x+a, 分母x+a>0,令f()-0,得1-m-4d=0,所以=a a<x。,f到，0.f到地，>。a了间0，t波 所以()在一。0处取得最大值，要f()50恒成立， 只需最大 f&小gaa小日小。=-m1s0 致8@=d-ba-1a>0则8@0，令8a-2a--20g4=5 aa 2, 2,8ac0:8o)单游减a心马 0<a< >2,g(a)>0,g(a)单调递增， 且8(0=1-0-1=0，当a>1,结合单调性知，(a>80)=0,不清足， .a的最大值为1. 7.已知圆C,(x-4+广=4，点P-1,V5)关于直线，y=c的对称点9在圆C上，则0 C A.与圆相交 B'与因C相切 C.与圆相离 D.以上都有可能 【答案】C 第4页/共26页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到 ,距离相等，写出巴的轨迹圆：再将轨迹圆与 已知圆联立求交点，得到Q点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系 【详解1圆C:(c-4+y=4,圆心C(4,0),半径r=2: :B,0关于直线：y= 对称，且原点0在直线上 0g=|0PL,0P=V(-1-02+(3-02=V1+3=2, 则100=2，故9在圆0：x2+y广=4上， x2+y2=4 x=2 联立1x-42+y2=4,解得y=0,∴(2,0) 0-5√5 kn阳F2-(-d3, 1LpQ:.k.kre=-1 所以直线l方程为V3x-y=0 3×4-0 d 45=25 圆心C(4,0)到直线，的距离：√3+(-12 2 :d=23>r=2,∴直线与圆C相离 第5页/共26页 命学科网命组卷网 8.在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PC=PD=AD=CD=1AB=BC=V2 若该四棱锥的所 有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为() 3 √2 √5 A.1 B.2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】通过余弦定理确定 BD 的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在P0上，通过 0B2=(00)+(B0) 列方程即可求解 【详解】 Bδ D 由题意四边形ABCD有外接圆，则 cos∠BAD+cos∠BCD=AB+AD2-BD2BC2+CD2-BD -=0 2AB·AD 2BC.CD 2+1-BD2,2+1-BD2 =0 即2√2 2V2,得BD2=3,即AB2+AD2=BD2,BC2+CD2=BD2,故 ∠BAD=∠BCD=90° 3 取BD的中点为O,O即为四边形ABCD外接圆的圆心，且外接圆半径”=2， 第6页/共26页 命学科网命组卷网 又PA=PB=PC=PD,可得P在底面ABCD上的投影为O,即P0L底面ABCD且 故外接球的球心在 P0上，设球心为0，球的半径为R。 山os-o04(aa,gr-+Gg- ,解得R=1. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3+i 9.已知复数1+i,则() A.2=4-2i B.7=2+i c.1z=5 D.z2=3+4i 【答案】BC 【解析】 34i6+00-月-4,24-2-1.放A误 【详解】对于A项，2=1+i(0+)0-2 对于B项，由于z=2-i,所以Z=2+1,故B正确： 对于C项，=2+(-=5，故C正确： 对于D项，2=(2-=4-4+=3-4i,故D错误 10.已知（1+2x)=4+ax+ax2++4r,则() 第7页/共26页 6学科网列组卷网 A.%-1 B.最大的二项式系数为C c.a-2a++7a,-8a,=-16 D.展开式中存在连续三项的系数成等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】令x=0,代入计算即可判断选项A；根据二项式系数的性质即可判断选项B;先求导，再令 x=-1 ,代入计算即可判断选项C:根据项的系数，等差数列的性质，及组合数公式即可判断选项D, 【详解】对于A,令x=0,则（1+0=4，即4，=1，故A正确： 对于B,由”=8，则展开式共有9项，二项式系数最大的项是中间项，为第5项，系数为C,错误： 对于C,令f(x=(1+2x)°=a+ax+ax2++a,x 则f'()=l6(1+2x}=a+2a,x++7a,x+8asx 令x=-1,则f(-)=16-(-}=4-24,++74-8a,=-16,故c正确： 对于D,由二项式展开式的通项为T,=Cg1(2x=C2×,则a,=C2, 设连续三项为P,”+1,P+2,(1≤r≤6)， 则其系数为0，=Cg2,an=Cg"2r1,a2=Cg222 共G2.G"2”.C2度等室数，则2Cg2-Cg4C2 4 1 4 即4Cg=C%+4Cg2,即(r+1)(7-r）(8-r)(7-r)(r+2)(r+1), 第8页/共26页 命学科网命组卷网 即40+2)(8-r)=(+20r+1)+4(8-r7-）,得9r2-81r+162=9(0-30-6)=0 解得r=3,或r=6, 即存在第4项，第5项，第6项的系数成等差数列：或第7项，第8项，第9项的系数成等差数列，故D 正确。 1.在数列{a,}中，a∈R,且0H=(a,-p+g,则下列选项正确的是() A若一1，q=0,且an是常数列，则p的取值范围是-4+0 B.若1=4，p=q=2,且4=3，则1g,(a,-2}是等差数列 L+L+L++L<3 C.若t=1,p=0,q=1,且a=2,则aa2aan4 1 1 D.若=200，p=-100,9=-50,且4=2，则使得a,>1的n的最小值为202 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：常数列转化为方程有实根，判别式求解；B:换元取对数，最后得到 1og,(a1-2-10g,(a,-2)=l10g,(a-2）+2,数列{1g2(a.-2}的后一项与前一项之差不恒为常数， 所以不是等差数列：C:先利用数列递推放缩得到通项上界，再将高阶指数级数放缩为普通等比级数求和， 3 最终证明倒数和恒小于4；D:先化简递推得到增量式，倒数裂项构造望远镜求和，再通过放缩不等式锁 定临界项，推出满足4，>1 的最小正整数n 【详解】选项A,{a}为常数列，设a1=a.=元，因为1=l,9=0,则4=(a,-p,所以 第9页/共26页 命学科网命组卷网 =(-p,得到22-(2p+l)+p2=0, 该方程有实数解，则判别武A=(2p+-4p2=4P+1≥0，得P≥一4.A 选项B,1=4p=9=2,得41=4(a,-2+2,得a1-2=4(a,-2}, 令6，=a.-2,么=a-2=1,则6=46： 两边取对数得log.b,1=21og2b,+2,则1og2(a1-2)=21og2(a,-2)+2, 则1og2(an-2)-log,(a,-2)=log,(a-2)+2 数列g2(a,-2》的后一项与前一项之差不恒为常数，所以不是等差数列，B错误： 选项C,4=2,1=lp=0,g=1,得01=a,2+1 由4=2>0 可知所有a,>0 ,且数列严格递增， 11 由递推式得an1=a+1>a,两边取倒数得a+1a, 1111111 计算前几项：4=2,4=5,4，=26，故42’4,5’4,26<25， 1=1<3 1+1=1+1=73 当n=1,424,当n=2,a4,25104, 11 当n≥3时，a。增长极快，满足a,252,下面用数学归纳法证明， 11 111 当n=3,左边：4,26，右边：2522525，左边<右边，n=3不等式成立： 11 假设当n=k(k之3)时不等式成立：a25,所以a4>252*, 第10页/供26页 6学科网列组卷网 当n=k+1a41=4+1>>(259=252*-2524>0. 1 1 所以ak412520厅 于是n=k+l命题也成立， 11 由数学归纳法：对一切整数n≥3，a。252成立， 女女女品应】 1 信安容安可小甘器 25 1++1++1<2 综上，4a34a。4,故C正确： 我D将12丽P=-1009=50代人42a+100-50 1 I=- a41-C+200+1000-50=4,+7 200 200,得01-an= 。=200>0,数列{a严格递增， an(an+200) 1 200 1 1 由0+1= 200 取倒数裂项得a1an(an+200)anan+200, 111 即a.a+1an+200, 11=11-1=1 111 则a4a+200,44a+200,…,an1anan1+200, gk*云aw4片0古u2d-名aam 11号1 一三 第11页/共26页 6学科网命组卷网 1 ”-1<2-1<n-l 因为{a,}递增，所以1a.+200递减，所以an+2002a,a+200 2-1 200400 因此当n=201时， 2+200401 1、402 一> 401∠1， 得an之401，即41<402 2-1> 201 当n=202时，2a2o2a2m+200 两边乘0m(am+20）化简得（am+10)(am-)>0 因4m>0,故m>1 综上，aam}1,使得a,>1的n的最小值为202，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线y=2hx+3e 在x=1处的切线方程为。 【答案】少=5r-2 【解析】 【详解】设y=f(r)=2lnx+3e 对求导得f(倒=2+30 所f0-子+e=sf0=3 所以曲线y=21x+3e在x=1处的切线方程为y-3=5(x-) 即y=5x-2 第12页/供26页 6学科网命组卷网 a 【答案】-1 【解析】 【分析】先求定文域(-，0U(2,+0), 则定义域的两个区间关于直线x=1对称，从而得到b=1;设 a-1 y=f(),利用对称轴x=1得到f(-)=f(3)成立，求出a=-1;从而求出b一，再结合函数对称 性进行检验即可. 1-2=x-2>0今x(x-2)>0 【详解】依题意得xx 解得x<0或x>2, 则两数的定义诚是(0,0U(2,+o),定义坟两个区间（一，0)与2，+o)关于直线x=1对称 因为面线=(r+h)天于改6对核.6 设y=f()=(x+a)nx x,由对称轴x=1,可得f(-)=f(3), (a-I)hn3-(a+3)Inj--(a+3)Ih3 所以a-1=-(a+3),得a=-1,所以b1 此时/()=(x-1)h x,对任意的x∈(-，0U(2,+o),则(2-x)∈(-o,0U(2,+∞)， 则p---x-n2292-(2-h2-(c-2h2=-2加g=. 2-x 第13页/供26页 学科网命组卷网 b≥1 所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称， x2 y2 14已知双曲线E:豆下=1(a>0b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0,Fc,0,点P是E上一点 且在第一象限内，0为坐标原点，过5作直线I10P,1交直线FP于点M.若存在点P,使得 FM=4PM, 则E的离心率的取值范围为 (2,+0) 【答案】 【解析】 【分析】根据向量得到线段比例，构造相似三角形以及三角形中位线，证得P为OH中点，利用勾股定理 建立关系式，依据OP与PS 的单调性取右顶点处的最小值建立不等式求解离心率. 【详解】如图： 由FM=4PM,得M:MP=4:1,过5作直线FM的垂线，垂足为N, 设M(也就是直线与OP交于点H,因为PH LEM,.FNLEM,PH1N 于是△MMIP~aMW ,由相似比可得 =4D,又0为F5的中点 又OH11B ，根据三角形中位线的判定，( H为△FNE的中位线，则 NF =20H 所以2OH=4HP,即OH=2HP,结合O、P、H三点共线，OH=OP+PH, 第14页/共26页 命学科网命组卷网 推出OP=HP,也就是P为线段OH的中点，由 P1Hd,.△OH,为直角三角形， 由勾股定理得O1+H2=0F,2=c2 在Rt.HPF中有C=Pg-D,将OI=20P、OP=P代入， P℉2+30P2=c2 整理得： 当点P在双曲线第一象限向右上方运动时，OP与P的长度均单调递增， 因此代数式P52+30p2 最小值出现在P无限靠近双曲线右顶点(a,0)处， B→c-0,0P→a,则该式的最小值趋近于c-a+30 此时 题日要求存在满足条件的点P,只需最小值小于C,即(c-四+3a<c 展开并化简得4d-2ac<0,两边同时除以2a可符c>2a,由离心率定义e-,得e>2, (2,+0) 故双曲线离心率的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13在△1BC中，角A、B、C的对边分别为0、b、C,已知0+c=+c。 a 3 (1)若b7,求cosC; (23bc0s 4+bsin 4=23 求 1 cosC= 【答案】(1) 7 (2)2 【解析】 第15页/供26页 学科网命组卷网 【分析】(4)设a=3张，b=7水，其中>0，代入等式口+C=分+c,可解出，然后再利用余弦 定理求解即可： (2)由余弦定理结合角B的取值范围可得出角B的值，再结合V3hc0sA+bsin A=2√5 以及辅助角公式 可得出 bsinC=√3 再利用正弦定理可求得‘的值， 【小问1详解】 设a=3k,b=7k,其中k>0. f代入条件a+c2=+ac,得g2+c2=49k2+3c,即c2-3c-40k2=0 解得C=8k(c=-5k舍去). 余孩宗理得cosC+6-c2-9k2+49k2-64k21 2ab 2×21k2 7 【小问2详解】 由a+e2=6+ae,得osB=4+e2-8-1 2e6-2,且Be0动.所uB- 白v6cs4+nA-25,特26sn(4+写}-25 即bsin(4+BA)=3,所bsinC=5 _bsinC 3 C =2 由正弦定理得b=C,所以 sinB√3 sin B sin C 2 16.某地有一中、二中、三中3所高中，一中有1200名学生，二中有800名学生，三中有600名学生.当 地教育部门为了解高中学生的身体素质，从这3所高中按人数比例抽取部分学生进行体测，根据体测结果， 第16页/供26页 6学科网 命组卷网 1 32 中、二中、三中学生的合格率依次为2,4,3. (1)求该地全体高中学生的体测合格率的估计值； (2)用各高中的体测合格率代替该高中每名学生体测合格的概率，从这3所高中再各随机抽取一人进行体 测，设这3人中体测合格的人数为X,求X的分布列与数学期望. 8 【答案】(1)13 (2) X 0 1 2 3 1 P 4 11 24 4 B)= 23 12 【解析】 【分析】(1)总体合格率用加权平均数计算，权重是各校学生人数； (2)X的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率得到分布列，进而求解数学期望 【小问1详解】 该地全体高中学生的体测合格率的估计值为 3 1200×2+800 +600× 4 3=8 1200+800+600 131 【小问2详解】 由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3， x=0-引4 第17页/共26页 命学科网命组卷网 x==--引+)4. x=20-引引-引》4 1.3.21 Px=3)=2x4x54. X的分布列为 X 0 1 3 1 P 11 1 24 4 A 4 800-01+2*+34哥 4 24 17.如图，在三棱台ABC-DEF中，CF⊥平面ABC,AB⊥BC,DE=3AB,P为△DEF的重心. (1)证明：AP∥平面BCFE: (2)若CF=2,DE=3,EF=6,求平面ADF与平面ADP夹角的余弦值. 【答案】(I)延长DP,与EF交于点G,过点P作PH⊥DE,垂足为H,连接AH. 根据重心的性质，知G为EF的中点，且 ePG-1DG -3 由于AB⊥BC,所以DE⊥EF,又因为PH⊥DE,所以PHEF, 第18页/供26页 6学科网命组卷网 PH BCFE EFC平面 CFE PHI∥BCFE 因为 平面 ,所以 ”平面 因为PG-DG.PHBr, 以HE=DE ,所以AB=HE, 又ABIDE,所以四边形ABEH是平行四边形，所以AHIBE. 因为 H平面BCFE.EC平面BCFE所以4W平面BCFE 又因为AHOPH-=H,AH,PHC平面APH所以平面4PH/平面BCFE 因为APC平面APH,所以AP∥平面BCFE. (2) D G 5 H E 5 【解析】 【分析】(1)证明线面平行可通过面面平行证明，借助三棱台性质、三角形重心的比例关系寻找平行线； (2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算平面ADF与平面ADP夹角的余 弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以E为坐标原点，直线EF,ED分别为x轴、y轴，过E作垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 第19页/共26页 命学科网命组卷网 CF=2DE=3EF=6CF⊥，ABC 平面 由己知可得 0.00.D0,30).F(6,00).C6.0,2),aDEF的重心P2,10) AB=IDE,BC=EF 由三棱台可得， 31 3 uC-号F=200,从面402），6-号DE=@-0,所L2. 所以 则DA=(4,-2,2).DF=(6,-3,0).DP=(2,-2,0) 设=(，少习是平面4DF 的法向量， mDA=0 4x-2y+2z=0 则m-DF=0,即{6x-3y=0，取m=0,2,0， 设i=a,6e) 是平面ADP的法向量， n.DA=04a-2b+2c=0 则{分DP=0:即2a-2b=0，取n=01,-) m35 所以eos(m,=1m万5x35, 15 则平面ADF与平面ADP夹角的余弦值为5· 18道专+家-1o6>0e*e%22,Hc这（3》 .x2y2 (1)求C的方程. (2)0为坐标原点，A、B是C上的两个动点，直线OA、OB的斜率分别为1、k,且总满足 第20页/共26页 命学科网命组卷网 1 9 若=1 ,求△OAB的面积 、《ii)是西家在随圆2三三了● ,使得直线AB总与C”相切？若存在，求C的方程：若不存在，请 说明理由. 【答案】(1)3 、+y2=1 x2+y2 5W21 (2)(i) 9+1 28：（）存在椭圆c满足腰意，其方程为手4 【解析】 【分析】(1)根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆C的方程； (2)()将直线OA的方程与椭圆C的方程联立，可求出点A的坐标，再将直线OB的方程与椭圆C的 方程联立，可求出点B的坐标，进而可求出点B到直线OA的距离以及OA,利用三角形的面积公式可求 出△AOB的面积； C:y ()设存在椭圆C:而+疗-1满足腿意，对直线B的斜率是石存在进行分类时论，当直线AB的斜 率存在时，设直线AB的方程为y=:+t,设点A(,H)、B(:,）,将直线AB的方程与椭圆C的 2=9k2+1 程联立，列出韦达定理，根据4o=二)可得出4，然后再将直线B的方程与桶 第21页/共26页 6学科网命组卷网 的方程联立，根据判别式为零可得出关于的恒等式，即可得出m'、” C 的值，可得出椭圆的方程： 当直线AB的斜率不存在时，直接验证即可.综合可得出结论. 【小问1详解】 设C的半焦距为 (c>0), 由题可知2c=2W2,c=V2,则ad=2+2,① 31 9.1 又C过点2'2，则4+46=1，② x2 联立①2得a=V5,b=1,故C的方程为3+少=1 【小问2详解】 (①由s1 得直线OA的方程为y=x y=x +少=1得子+r=1曰子=3。由对称行，不纺藏4 由x2 3 4 2’2 1 1 9,得9，且骏08的起为 9 1 y=-一x 9 由 x2 +y=1+8 28 2727 9 因为点到直线的距离d= 27(2√7514 B OA 2 14 4,-9 第22页/共26页 6学科网6组卷网 04g酒我8e4o4-5-5 X X (设存在椭圆C:m+斤=满足腿意， C x2.y2 当直线MB的斜率存在时，设直线AB的方程为)=+1，设点4(：，)、B(3,) y=kx+t 1写+y=1064R+6+3r-30 △=36k22-43k2+1(32-3)=12(3k2+1-2)>0. 6kt 3t2-3 由韦达定理可得+名=32+1，x=32+1 故=(+0)您，+)=子+k(玉+)+x西=33张 而4ka=业=-3张21 532-3=9,化简得2=92+ 4 y=kx+t 由x2y2 m+原=1得(mk2+r)X+2rx+m-m=0 若直线B与C相切，则A=4m-4(m+nm2-mn）=0,化简有产=mk+, 将-942+1 =4代入，得（4m2-9）k2+4n2-1=0 第23页/供26页 6学科网6组卷网 4m2-9=0 该等式对所有的k均成立，则4n-1=0,解得m 4,n21 , x2 y2 =1 91 即直线，。总与椭圆 AB 44 相切. x2.y2 =1 鸟D的斜率不存在时，则直线B的方程为x二3 2或xs、3 ,也与椭 9 1 44 相切. AB x2.y2 9+斤=1 综上所述，存在椭圆。满足题意，其方程为44 19已知函数w与其导数田的定文域均为R,x+)=f+了闭，且对任意x∈R 0≤f(x)<M 恒成立，其中M为常数。 (1)比较②与f④的大小 (2)证明：f田s(e-)fx+)） (3)若a∈(0,1），函数8(0=∫'()+时（田总存在最小值，证明：8）m≥0 【答案】(1)f(2)≤e2f(4) y段i=e7网.则e=ef+。cfx+=x+D, 由于h'(x)≥0，所以t∈[x,x+l],有h(t+)≥h(x+l),所以e 1h+102x+D e 即H0≥。x+D对任意1∈K,x+川成立 第24页/共26页 6学科网列组卷网 段20=0-总x+D.则31ek+.0=0-x+0≥0， 则在区同压x+内有2)≤心x+) +0-2x+D,≤-日x+) 所以f)≤e-fx+D,证毕. (3)由于0≤f<M,且fx+)=f+f四 故/'(=fc+)-fx<M 而86x+)-8=f(x+)-f6)+dfc+0-f1 由f'()=f+0-f因，及f'(x+)-f(=f"因 可得8x+)-8()=)+时'闭=g国，即8冈也清足8国=8(+)-g). 反证法：假设8)m=m<0,则存在使得8(x,）=m,8'(,)=0, 由8(x)=8(x+)-8(),知8(+)=8()=m 可见+1也是极小值点，g'(+)=0 由8(x+)=8(x+2)8(+),可得8(+2)=8(6+)=m, 以此类推，8(+n川=mn=0,12,) 设“，=f(伍+m,由f(x+m）=8(+m川af(+n),得f'(+m)=m-a, =fk+n+=fk++fk+=0-,+m,两g=0-o么8）】 第25页/供26页 6学科网命组卷网 这与0≤f国<M矛盾，枚假设不成立.8()m≥0 【解析】 【分析】(1)构造函数 ()=cf(,再利用导数得到其单调性，进而即可比较f2与f④的大小， (2)构造函数)=cf,pO=h0-hx+) e 再利用导数得到其单调性，进而即可证明结论： (8)先根据题忘证明3)也活足)=8x+)8).再利用反证法即可证明。 【小问1详解】 设h)=efw),则h(=e[f)+f'(x)=efx+)≥0 所以)在R上单调递增，所以h2)≤④，即f2≤ef④， 所以f2)≤ef4) 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第26页/共26页