湖南省部分名校2027届高三9月阶段练习数学试卷

2027届高三年级9月阶段练习 数学参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A A C B B 题号 7 8 9 10 11 答案 D B BC ACD ABC 12．【答案】180 13．【答案】1 14．【答案】8或（少写不给分） 15．解：（1），由，得，又，，即或． 2分 由，得，，或． 4分 或． 5分 （2）由，得．由，得，或． 又． 8分 由“对勾函数”的性质易知，当时，； 10分 当时，． 12分 16．（1）证明：，，． 又，平面，． 2分 又四边形为平行四边形，， 四边形为矩形，． 4分 ，是平面内的两条相交直线，平面． 又平面，． 6分 （2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 8分 ，，． 设平面的一个法向量为， 10分 则，，为平面的一个法向量． 11分 设直线与平面所成的角为，则 ． 14分 直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．解：（1）记“该本古籍可直接入柜”为事件，“该本古籍需干燥”为事件，“该本古籍被登记”为事件，则，，且表示． 2分 当事件发生时，，，，且．由正态曲线关于直线对称，且，可得．又， ． 4分 当事件发生时，，，，且． 由正态曲线关于直线对称，且， 可得，． 6分 由全概率公式，得． 该页古籍被登记的概率关于的表达式为． 8分 （2）由条件概率公式，登记后该本古籍需干燥的概率为． 10分 设复检费用为元，则，需干燥古籍直接入柜的损失为元．对已登记古籍，若直接入柜，其损失的费用期望为；若复检，其费用期望为按费用期望较小原则建议复检，则，故． 13分 由于，，于是， 即，整理得，．又， 若该古籍被建议复检，则的取值范围为． 15分 18．解：（1），． 4分 （2）①由（1）得． ，又，，，，即． 6分 若存在，使，由于在上恒成立，在上单调递增，取，则，这与矛盾，故． 10分 ②令．对任意，有， 在上单调递增，因此方程至多有一个实根． 13分 由题条件可知曲线的图象为一条连续不断的严格递增曲线． 又，取，则， 从而，． 16分 由零点存在性定理，得在区间内至少有一个零点． 又在上严格单调递增，故方程有且仅有一个实根． 17分 19．解：（1）由且轴，得：． 将代入，得，从而． 点到直线的距离为1，故． 4分 （2）设直线：，联立抛物线方程得， 6分 又，，， 8分 ． 9分 （3）由（2）得， ， 12分 ， 15分 当时，为定值． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级9月阶段练习 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1．答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一些盆栽植株的高度（单位：cm）分别为5.8，7.3，4.4，7.8，6.6，则这组数据的极差为 A．0.8 B．1.4 C．2.9 D．3.4 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知是平面内的一组基底，记向量，，若与共线，则 A． B． C．2 D．4 4．已知数列的前项积，则 A． B． C． D． 5．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A． B． C． D． 6．已知椭圆：（）的焦点是椭圆：的顶点，点到焦点的距离为，则 A． B． C． D．1 7．现有8个小队，分别编号为1，2，…，8，记编号为的小队的人数为，已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列．若，，则这8个小队的总人数为 A．254 B．286 C．312 D．348 8．若函数在区间上有奇数个极小值点，则的值可以是 A．1 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数的实部为（），且和在复平面内对应的点分别为，，则 A． B． C．在第一象限内 D．在第四象限内 10．函数（，）的部分图象如图所示，其中点在曲线上，若，则 A． B． C．是奇函数 D．曲线在点处的切线斜率为 11．在平面直角坐标系中，双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线与在第一象限内相交于点，过点作轴的平行线与相交于另一点，若，，则 A． B．的渐近线方程为 C． D．的外接圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成没有重复数字三位数的个数为_________（用数字作答）． 13．已知是定义在上的偶函数，且对任意都有，则_________． 14．在正三棱锥中，为棱的中点，四点，，，在球的球面上，，，，在球的球面上，若，则点到平面距离的平方为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知公比为的等比数列的前项和为，且． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，，且，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 某博物馆工作人员将古籍放入展柜前需读取某项评价指标，古籍的实际状态分为可直接入柜与需干燥两类，抽取一本古籍可直接入柜的概率为．当古籍可直接入柜时，；当古籍需干燥时，．规定时，古籍将被登记．现任取一本古籍． （1）求该本古籍被登记的概率关于的表达式； （2）登记后，按费用期望较小原则选择直接入柜或复检．已知复检可避免损失，且需干燥古籍直接入柜的损失为复检费用的4倍．若该古籍被建议复检，求的取值范围． 附：若，则取． 18．（本小题满分17分） 已知函数及其导函数的定义域均为，且曲线的图象为一条连续不断的光滑曲线，与在上恒成立，设定义域为的函数． （1）求（用含和的代数式表示）； （2）若． ①求证：； ②判断方程实数根的个数，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，设抛物线：，点（）．过点的直线与交于，两点，设点到直线的垂足为，记的面积为． （1）若，且轴，求； （2）求关于的表达式； （3）当直线变化时，若为定值，则求出的值，并求该定值． 学科网（北京）股份有限公司 $