湖南省衡阳市第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 衡阳市一中2026高三入学数学试卷，以基础巩固与能力提升为梯度，通过复数、概率应用（如抽奖游戏）、新定义控制函数等试题，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、向量、统计等|基础概念辨析，如向量充要条件判断| |多选题|3/18|概率统计、立体几何等|正方体动态问题考查空间观念| |填空题|3/15|排列组合、圆位置关系等|概率递推问题体现数学思维| |解答题|5/77|解三角形、概率应用等|抽奖游戏情境化设计，控制函数新定义创新|

数 学 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C B A B ACD ABD 题号 11 答案 ACD 12. 36 13． 14． 15．（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 16．(1)在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，连接OA，由AB=AC=√2,O为BC的中点，得OA⊥BC， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 17．（1）游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券， 故所求的概率为； （2）奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元． ①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为； ②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为； ③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知； ④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为； 另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为， 所以； 综上所述，奖金不低于270元的概率为. （3）方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元． 记， 银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，， 所以，， 因为奖金， 所以， 即奖金的期望为174元． 方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且. 由已知得，，， ，， ，， 计算得． 又因为，所以， 因为每张银券被抽到是等可能的，所以，， 所以， 即奖金的期望为174元． 18．（1）解：设是曲线的任意一点， 因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得， 整理得或， 所以曲线的轨迹方程为或. (2)证明：①根据题意，设，所以， 因为三点共线，所以，可得， 又因为曲线在处的切线方程分别为， 所以， 所以，可得，所以，所以. （2）解：②设， 因为，可得，所以， 设直线的方程，联立方程组，整理得， 则，且， 因为，解得， 则， 由，可得，则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 可得，同理可得， 联立方程组，两式相减得， 解得，则， 所以，可得， 因为，所以. 19．（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $衡阳市第一中学2026年高三年级入学考试 数学试题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z=-1+i,则-1() A.1 B.√2 C.5 D.√5 2.已知向量a=(m1),b=(4,m,则“m=2”是“a/1b”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在(a-√)7的展开式中，若x2的系数是280，则实数a=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 4.已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程 为夕=2.2x+a,则() 3 6 y 5 7 0 15 A.经验回归直线必过点（3.5,7.5) B.a=0.8 C.x=2对应的样本点的残差为-0.4 D.当x=7时，预测值夕=15.6 5.已知a为第二象限角，3sin2 acosa=-8 sina co2a,则)+sna=（) 2-cosa A子 c. n -2 6已知双曲线c号京1a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,乃，点P在℃的渐近线上，P?与x轴垂宜 点9在x轴上，P耳1P2.若EE=2E9,则C的离心率为() A.√2 B.√5 C.2 D.√5 5π元 7.f(x)=sin(x+p)(w>0,-π<p<π)，在 12'12 上单调递增，且x=汇为它的一条对称轴， 12 是 兀 它的一个对称中心，当x∈0,5时，f(x)的最小值为() 2 A.-3 C.1 D.0 2 8.已知2+log2x=3+log3y=5+1og5z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x>y>Z B.x>=>y C.y>x>z D.y>=>x 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列有关说法正确的有（) A.设随机变量服从正态分布N(山，2)，若P(ξ<1)=P(ξ>9)，则H=5 B.记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 c.已知随机变量5~84) 则E(3ξ-2)=1 D.数据1,3,9,4,5,16,7,11的下四分位数为3.5 l0.已知平面内的三个非零向量a,五，c满足6-(6-a)=,且6-=5-=-a=2,则下列说法正确的是 () A.alb B.(a-列(6-c=-2 C.ac的最小值为l D.a.c的最大值为3 11.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为3，动点P在底面ABCD中（含边界），点E在棱AD上，且AE=√5， 则() A.直线BD与AD所成的角为60 B.三棱锥P-AB,E体积的最大值为√5 C.如果点P在直线AC上运动，点Q在直线BC上运动，那么PQ的最小值为√ D.如果异面直线BP与4E所成角为二.那么P的轨迹所在圆锥曲线的离心率为5 6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.将4封不同的信全部投入3个邮筒，每个邮筒至少投1封信，则不同投法的种数为 13.若圆O:x2+y2=1与圆O2:(x-@+(y-b)=9(a,b∈R)有且仅有3条公切线，则3a-4b+5的最大值 为 14.有n个编号分别为1,2，，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白 球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子， 以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A-2√2c0s(B+C=2 (1)求A: 2若b-35,cosC5,求AB边上中线的长 16.(15分)如图，在斜三棱柱ABC-ABC1中，AB1AC,O为BC的中点，且AO1平面 ABC,AA=2,AB=AC=. B (1)证明：四边形BCCB,为矩形； (2四若点P在线段B上（保于A点），直线4P与平面APC所成角的正弦值为25， ，之一白受 17.(15分)某商场举行回馈顾客的抽奖游戏.箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”.每张“金 券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为-10元，-20元，，-60元.顾客从箱中不放回地依次 抽取奖券，直至抽到3张“金券时停止，不可中途退出游戏.游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和 作为顾客的奖金.现有一顾客参加了此次抽奖游戏. (1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； (2)求该顾客的奖金不低于270元的概率； (3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X,Y,有E(X+Y)=E(X)+E(Y),求该顾客的 奖金的期望 18.(17分)已知动点P到定点F(0,1)的距离比到x轴距离大1，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求轨迹C的方程； (2)过F的直线l交曲线C于A,B,曲线C在点A,B处的切线相交于点M ①证明：MF⊥AB; ②AF=2FB时，求△MAB的面积. 19.(17分)设m>0,若对任意的5，七3∈D,且x1<x2,函数y=f(x)与y=8(x)满足关系 f(x)-f(x≥mg(x)-g(x儿，则称函数y=(x)是函数y=8(x)在区间D上的级控制函数. (1)判断函数f(x)=x是否是函数g(x)=x2在区间L,2]上的1级控制函数，并说明理由； (☒者函数-a:是面数g)=6在区间。 上的m级控制函数，求实数m的最大值； (3)若函数y=f(x)是函数g(x)=x2-2x-1在区间1，+∞)上的2026级控制函数，且函数y=f(x)在区间 1,+oo)上存在两个零点a,b,求两零点之积b的取值范围。 衡阳市第一中学2026年高三年级入学考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 4．已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（    ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A．经验回归直线必过点 B． C．对应的样本点的残差为 D．当时，预测值 5．已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 7．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列有关说法正确的有（   ） A．设随机变量ξ服从正态分布，若，则 B．记两个变量的样本相关系数为r，若越接近0，线性相关程度越强 C．已知随机变量，则 D．数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 10．已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（        ） A． B． C．的最小值为1 D．的最大值为3 11．已知正方体的棱长为3，动点在底面中（含边界），点在棱上，且，则（　　） A．直线与所成的角为 B．三棱锥体积的最大值为 C．如果点在直线上运动，点在直线上运动，那么的最小值为 D．如果异面直线与所成角为．那么的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．将4封不同的信全部投入3个邮筒，每个邮筒至少投1封信，则不同投法的种数为______． 13．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 14．有个编号分别为1，2，…，的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第个盒子中取到白球的概率是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 16．（15分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分）某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． (1)求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； (2)求该顾客的奖金不低于元的概率； (3)已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 18．（17分）已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求轨迹的方程； (2)过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 19．（17分）设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． (1)判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； (3)若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $