第十三章 三角形 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册数学第十三章《三角形》单元测试卷，23题120分，全面覆盖三角形边、高、内角和等核心知识点，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|三边关系、稳定性、高的识别|基础概念辨析，结合生活情境| |填空题|6/18|等腰三角形周长、中线面积、折叠角度|易错点考查，渗透分类思想| |解答题|11/84|作图、分类讨论、模型探究（八字/飞镖模型）|综合应用，培养推理与模型意识|

新课标·人教版八年级上册数学 第十三章《三角形》单元测试 人教版八年级上册数学 第十三章《三角形》单元测试卷 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 考试说明 1. 本卷共23题，满分120分，考试时间120分钟。 2. 考试范围仅限：三角形的边、高、中线、角平分线、稳定性、三角形内角和、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质。 3. 作图题请保留必要作图痕迹；解答题应写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤。 4. 除特别说明外，试题中的示意图不一定按实际角度或长度比例绘制。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项） 1．若一个三角形的两边长分别为6 cm和11 cm，则第三边长可能是（　　） A．4 cm B．5 cm C．12 cm D．18 cm 2．如图是几种生活中的支架或框架。最能体现“三角形具有稳定性”这一性质的是（　　） A．图A B．图B C．图C D．图D 3．下列四幅图中，线段表示△ABC中AB边上的高的是（　　） A．A B．B C．C D．D 4．在△ABC中，∠A=48°，∠B=67°。下列判断正确的是（　　） A．∠C=65°，△ABC为锐角三角形 B．∠C=65°，△ABC为直角三角形 C．∠C=75°，△ABC为锐角三角形 D．∠C=75°，△ABC为钝角三角形 5．△ABC的边BC延长到D，若∠ACD=126°，∠A=47°，则∠B的度数为（　　） A．69° B．79° C．89° D．99° 6．如图，在△ABC中，D在AC上，E在BC上，连接DE。已知∠A=48°，∠B=62°，∠ADE=105°，则∠DEB等于（　　） A．35° B．75° C．105° D．145° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．△ABC中，AB=7 cm，AC=12 cm，若BC=x cm，则x的取值范围是____________。 8．一个等腰三角形的两边长分别为5 cm和11 cm，则它的周长为____________cm。 9．如图，△ABC的面积为32，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE，则阴影△ABE的面积为____________。 10．在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A∶∠B=2∶3，则∠A=____________°。 11．如图，△ABC的边BC延长到D，∠A=58°，∠ACD=137°，则∠B=____________°。 12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点A′。D、E分别在AC、AB上，记α=∠BEA′，β=∠CDA′。若∠A=52°，α=61°，则β=____________°。 三、解答题（本大题共11小题，共84分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（6分）在△ABC中，AB=7 cm，AC=10 cm，BC=x cm。 （1）求x的取值范围； （2）设△ABC的周长为P cm，求P的取值范围。 14．（6分）一个等腰三角形的周长为26 cm，其中一边长为6 cm。求另外两边的长，并说明不符合三角形三边关系的情况为什么要舍去。 15．（6分）如图，在△ABC中： （1）作BC边上的高AD； （2）作BC边上的中线AM； （3）作∠BAC的角平分线AN。 若BC=10 cm，∠BAN=32°，则BM=________cm，∠BAC=________°。 16．（6分）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4。求△ABC三个内角的度数，并判断它是什么类型的三角形。 17．（6分）如图，△ABC的边BC延长到D，∠B=48°，且∠ACD=3∠A。求∠A、∠C和∠ACD的度数。 18．（8分）如图，在△ABC中，D在AC上，E在BC上，D、E、F三点在同一直线上，且E在D、F之间，连接BF。已知∠A=42°，∠B=58°，∠ADE=112°，∠EBF=27°。求∠BFE的度数。 19．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，F是BE的中点，连接CE、AF。 （1）说明S△ABD=S△ACD； （2）若S△AEF=9，求S△ABC与S△ECD。 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 （1）证明：∠A+∠B=90°； （2）若∠A=2∠B，求∠A、∠B的度数。 21．（9分）如图，在△ABC中，边BC延长到D，∠A=(2x+10)°，∠B=(3x+10)°，外角∠ACD=7x°；CE平分∠ACD，过A作AF⊥CE，垂足为F。 （1）求x； （2）求∠ACB和∠CAF。 22．（9分）在△ABC中，CD是AB所在直线上的高，垂足为D（D的位置未确定）。已知∠A=35°，∠BCD=25°。求∠B和∠C的所有可能值，并说明为什么要分类讨论。 23．（12分）【模型探究】本题只使用三角形内角和、三角形外角性质及已学角的基本关系。 （1）“八字模型”：如图1，直线AC、BD相交于O。证明：∠BAO+∠ABO=∠DCO+∠CDO。 （2）“飞镖模型”：如图2，点D在△ABC内部，连接AD、CD，记∠DAB=α，∠ABC=β，∠BCD=γ，较小的∠ADC=δ。证明：δ=α+β+γ。 （3）迁移应用：如图3，X、O、Z三点共线，Y、O、B三点共线。已知∠OXY=36°，∠XYO=47°，∠OZB=29°；点A在射线BZ上，射线BO位于∠ABC内部，∠OBC=18°；点D在△ABC内部，∠DAB=26°，∠BCD=31°。求∠ADC。 参考答案与分步详细解析 说明：解析严格限定在本章知识范围内；折叠题仅使用“折叠前后重合的角相等”这一直接事实，不调用全等、轴对称等后续结论。 一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 C A B A B D 二、填空题答案 7 8 9 10 11 12 5＜x＜19 27 8 36 79 43 三、选择题与填空题解析 1．【答案】C 三角形任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，因此第三边x满足11-6＜x＜11+6，即5＜x＜17。 四个选项中只有12满足条件，所以选C。 2．【答案】A 三根首尾相接的杆件一旦形成三角形，其形状不易改变，这体现了三角形的稳定性。A项直接利用这一性质进行加固。 3．【答案】B AB边上的高必须从顶点C出发，并且垂直于AB所在直线。B图中的线段满足这两个条件。 4．【答案】A ∠C=180°-48°-67°=65°。三个内角48°、67°、65°都小于90°，所以△ABC是锐角三角形。 5．【答案】B ∠ACD是△ABC在C点的外角，所以∠ACD=∠A+∠B。 126°=47°+∠B，故∠B=79°。 6．【答案】D 先求∠C：∠C=180°-48°-62°=70°。 A、D、C在同一直线上，所以∠CDE=180°-∠ADE=75°。 在△CDE中，∠CED=180°-70°-75°=35°。又B、E、C在同一直线上，因此∠DEB=180°-35°=145°。 7．【答案】5＜x＜19 由三边关系：12-7＜x＜12+7，得到5＜x＜19。 8．【答案】27 等腰三角形第三边可能等于5或11。 若第三边为5，则三边为5、5、11，而5+5≤11，不能组成三角形，舍去。 若第三边为11，则三边为5、11、11，满足三边关系，周长为5+11+11=27。 9．【答案】8 AD是BC边上的中线，所以S△ABD=S△ACD=32÷2=16。 E是AD的中点，因此BE是△ABD中AD边上的中线，所以S△ABE=16÷2=8。 10．【答案】36 直角三角形两个锐角互余，因此∠A+∠B=90°。设∠A=2k，∠B=3k，则5k=90°，k=18°。 所以∠A=36°。 11．【答案】79 由三角形外角性质，∠ACD=∠A+∠B。 137°=58°+∠B，所以∠B=79°。 12．【答案】43 设∠AED=m，∠ADE=n。折叠后，ED分别平分由EA与EA′、DA与DA′形成的角，所以∠AEA′=2m，∠ADA′=2n。 因为A、E、B共线，A、D、C共线，所以α=180°-2m，β=180°-2n。 又在△ADE中，m+n+∠A=180°，因此α+β=360°-2(m+n)=2∠A。 所以61°+β=2×52°=104°，得到β=43°。 四、解答题详细解析 13．【答案】（1）3＜x＜17；（2）20＜P＜34 （1）由三角形三边关系，10-7＜x＜10+7，所以3＜x＜17。 （2）P=7+10+x=17+x。由3＜x＜17，两边同时加17，得20＜P＜34。 14．【答案】另外两边均为10 cm 分两种情况讨论。 情况①：6 cm为腰，则另一条腰也是6 cm，底边为26-6-6=14 cm。此时6+6=12＜14，不满足“两边之和大于第三边”，故该情况舍去。 情况②：6 cm为底边，则两腰相等，且每条腰为(26-6)÷2=10 cm。三边6、10、10满足三边关系。 因此另外两边均为10 cm。 15．【答案】BM=5 cm，∠BAC=64° 作图要求：AD从A出发且AD⊥BC；M为BC中点并连接AM；AN把∠BAC分成两个相等的角。 因为AM是BC边上的中线，BM=MC=BC÷2=5 cm。 因为AN是∠BAC的角平分线，∠BAN=∠NAC=32°，所以∠BAC=64°。 16．【答案】∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；锐角三角形 设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。 由三角形内角和：2x+3x+4x=180°，即9x=180°，解得x=20°。 所以三个内角分别为40°、60°、80°，均小于90°，故为锐角三角形。 17．【答案】∠A=24°，∠C=108°，∠ACD=72° ∠ACD是△ABC的外角，因此∠ACD=∠A+∠B。 又∠ACD=3∠A，∠B=48°，所以3∠A=∠A+48°。 2∠A=48°，故∠A=24°，从而∠ACD=72°。 ∠C与∠ACD互为邻补角，所以∠C=180°-72°=108°。 18．【答案】121° 在△ABC中，∠C=180°-42°-58°=80°。 A、D、C在同一直线上，所以∠CDE=180°-112°=68°。 在△CDE中，∠CED=180°-80°-68°=32°。 B、E、C在同一直线上，且D、E、F在同一直线上，两直线BC与DF相交于E，所以∠BEF与∠CED为对顶角，故∠BEF=32°。 在△BEF中，∠BFE=180°-27°-32°=121°。 19．【答案】（1）见解析；（2）S△ABC=72，S△ECD=18 （1）AD是BC边上的中线，所以BD=DC。△ABD与△ACD以B、D、C所在直线为底边所在直线，从A到该直线的高相同；两底BD、DC相等，因此两三角形面积相等。 （2）E是AD中点，所以BE是△ABD中AD边上的中线，故S△ABE=1/2 S△ABD。 F是BE中点，所以AF是△ABE中BE边上的中线，故S△AEF=1/2 S△ABE。 又S△ABD=1/2 S△ABC，因此S△AEF=1/8 S△ABC。已知S△AEF=9，所以S△ABC=9×8=72。 S△ACD=72÷2=36。E是AD中点，所以CE是△ACD中AD边上的中线，故S△ECD=36÷2=18。 20．【答案】（1）∠A+∠B=90°；（2）∠A=60°，∠B=30° （1）△ABC的内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°。已知∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。这说明直角三角形的两个锐角互余。 （2）由∠A=2∠B且∠A+∠B=90°，得3∠B=90°，所以∠B=30°，∠A=60°。 21．【答案】（1）x=10；（2）∠ACB=110°，∠CAF=55° （1）∠ACD是△ABC的外角，所以7x=(2x+10)+(3x+10)。 整理得7x=5x+20，2x=20，故x=10。 （2）由x=10，得∠ACD=70°，所以∠ACB=180°-70°=110°。又因为CE平分∠ACD，所以∠ACE=35°。F在CE上，且AF⊥CE，因此∠AFC=90°。在Rt△ACF中，∠CAF=90°-35°=55°。 22．【答案】两种：①∠B=65°，∠C=80°；②∠B=115°，∠C=30° 因为CD⊥AB所在直线，所以△BCD在D处为直角。已知∠BCD=25°，故△BCD中另一个锐角∠CBD=90°-25°=65°。 情况①：D在线段AB上，此时射线BD与BA方向相同，所以∠B=∠CBD=65°。于是∠C=180°-35°-65°=80°。 情况②：D在B点外侧的AB延长线上，此时射线BD与BA方向相反，∠CBD与∠ABC互为邻补角，所以∠B=180°-65°=115°。于是∠C=180°-35°-115°=30°。 D不可能在A点外侧：若垂足落在A点外侧，则A处对应的内角应为钝角，而题设∠A=35°为锐角。因此只有上述两种情况。 23．【答案】（1）∠BAO+∠ABO=∠DCO+∠CDO；（2）δ=α+β+γ；（3）∠ADC=129° （1）在△AOB中，∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB；在△COD中，∠DCO+∠CDO=180°-∠COD。因为两直线相交，∠AOB=∠COD，所以两式右边相等，从而∠BAO+∠ABO=∠DCO+∠CDO。 （2）设∠DAC=x，∠DCA=y。因为D在△ABC内部，所以△ABC中∠A=α+x，∠C=γ+y。由△ABC内角和：(α+x)+β+(γ+y)=180°，即α+β+γ=180°-(x+y)。 在△ADC中，x+y+δ=180°，所以δ=180°-(x+y)。比较上面两式，得到δ=α+β+γ。 （3）先用“八字模型”。由（1）的结论：∠OXY+∠XYO=∠OZB+∠ZBO。代入数值得36°+47°=29°+∠ZBO，所以∠ZBO=54°。 点A在射线BZ上，因此∠ABO=∠ZBO=54°。又∠OBC=18°，且BO位于∠ABC内部，所以∠ABC=54°+18°=72°。 再用“飞镖模型”：∠ADC=∠DAB+∠ABC+∠BCD=26°+72°+31°=129°。 第 页 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