第十三章 三角形 单元测试 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版2024八年级上册三角形单元卷，立足单元复习，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，全面考查三角形性质、判定及综合应用，渗透抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|直角三角形判定（第1题）、三边关系（第7题）等|结合图形辨析，考查几何直观| |填空题|5|内角计算（14题）、中线与面积（15题）等|设置实际情境（17题台灯），体现应用意识| |解答题|5|五角星角度探究（19题）、多边形稳定性（18题）等|注重探究性（19题拓展应用），培养推理能力|

人教版（2024）八年级上册 第十三章 三角形 单元测试 一、选择题 1.在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 3.如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A. B. C. D. 4.如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A=70°，则∠ABD+∠ACE等于 A.210° B.230° C.250° D.240° 5.图中三角形的个数是（    ）    A. B. C. D. 6.如图表示三角形的分类，则A表示的是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.三边都不相等的三角形 7.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A.3，7，2 B.4，9，6 C.11，3，6 D.9，15，5 8.如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 9.两个直角三角形如图放置，则与的度数之和等于（   ） A. B. C. D. 10.根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A.6(n-1) B.6n C.6(n+1) D.12n 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝28°，则∠ADE等于（　　） A.28° B.34° C.42° D.44° 12.阅读下面的数学问题： 甲，乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A.甲，乙两人的结论都正确 B.甲，乙两人的结论都错误 C.甲的结论错误，乙的结论正确 D.甲的结论正确，乙的结论错误 二、填空题 13.一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中       ．    14.在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A﹣10°，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 15.如图，是的中线，是的中线，若，则     ． 16.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，（α＞β），则∠DAE的度数为 　   　.（用含α，β的式子表示） 17.图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则        ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时        ． 三、解答题 18.如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上几根木条才能不变形呢？请在下面画出草图． 19.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整； 解：∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D， ∴∠AFG+∠AGF=∠C+∠E+∠B+∠D. ∵∠A+∠AFG+∠AGF=　　　　　°，  ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　　　　　°，  ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=　　　　　°.  (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和； (3)应用：如图③，小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B=∠D=36°，则∠CAD+∠ACE+∠E=　　　　　°.  20.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 21.已知a，b，c是的三边长． (1)若，，c为偶数，求c的长； (2)化简： 22.综合与实践 已知，点E和点F分别在直线和上，点G在和之间， (1)如图1所示，奋进小组发现，当时，，请写出证明过程； (2)当和不平行，且点A和点C重合时， ①智慧小组的作图如图2所示，他们发现，，和之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们的关系：_______； ②创新小组的作图如图3所示，探究，，和之间的关系，并写出证明过程； (3)锐思小组设计的图形如图4所示，如果，，，，，则________． 人教版（2024）八年级上册 第十三章 三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】C 【解析】①由得到， 即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2， 解得，，不是直角三角形； ④由得到， 解得，，，是直角三角形； ⑤由得到， 解得，不是直角三角形. 2.如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，， ， ， . 3.如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 4.如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A=70°，则∠ABD+∠ACE等于 A.210° B.230° C.250° D.240° 【答案】C 【解析】∵∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角， ∴∠ABD=∠A+∠ACB， ∠ACE=∠A+∠ABC， ∴∠ABD+∠ACE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∵∠A=70°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABD+∠ACE=70°+180°=250°. 5.图中三角形的个数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：给各点标上字母，如图所示．    图中是三角形的有，，，，，共5个. 6.如图表示三角形的分类，则A表示的是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.三边都不相等的三角形 【答案】D 【解析】三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， 故选：D． 7.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A.3，7，2 B.4，9，6 C.11，3，6 D.9，15，5 【答案】B 【解析】根据三角形的三边关系，知 A选项，，不能组成三角形； B选项，，能组成三角形； C选项，，不能组成三角形； D选项，，不能组成三角形． 8.如图，正方形中阴影部分的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得 正方形中阴影部分的面积为 ． 9.两个直角三角形如图放置，则与的度数之和等于（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10.根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A.6(n-1) B.6n C.6(n+1) D.12n 【答案】C 【解析】解：图（1）中，三角形的个数是 , 图（2）中，三角形的个数是 , 图（3）中，三角形的个数是 , 第n个图形中三角形的个数是． 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝28°，则∠ADE等于（　　） A.28° B.34° C.42° D.44° 【答案】B 【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝28°， ∴∠B＝90°﹣28°＝62°， ∵沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处， ∴∠DEC＝∠B＝62°， ∵∠DEC＝∠A+∠ADE， ∴∠ADE＝62°﹣28°＝34°． 12.阅读下面的数学问题： 甲，乙两人经过研究，分别得到如下结论： 甲：； 乙：． 其中判断正确的是（     ） A.甲，乙两人的结论都正确 B.甲，乙两人的结论都错误 C.甲的结论错误，乙的结论正确 D.甲的结论正确，乙的结论错误 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故甲正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，故乙正确. 二、填空题 13.一副三角板，按如图所示方式叠放在一起，则图中       ．    【答案】 【解析】解：如图，由题意，得，    ∴. 14.在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A﹣10°，则∠A＝　 　，∠B＝　 　，∠C＝　 　． 【答案】70°，50°，60°． 【解析】解：∵∠A＝∠B+20°， ∴∠B＝∠A﹣20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A﹣20°+∠A﹣10°＝180°，即3∠A＝210°， ∴∠A＝70°， ∴∠B＝∠A﹣20°＝70°﹣20°＝50°，∠C＝∠A﹣10°＝70°﹣10°＝60°， 故答案为：70°，50°，60°． 15.如图，是的中线，是的中线，若，则     ． 【答案】12 【解析】∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 16.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，交BC于点E，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，（α＞β），则∠DAE的度数为 　   　.（用含α，β的式子表示） 【答案】α﹣β． 【解析】解：∵∠ABC＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β， ∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣α﹣β， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝90°+β﹣α ∵AD⊥BC， ∴∠DAE＝90﹣∠AED＝α﹣β． 故答案为：α﹣β． 17.图1 是一盏可折叠台灯，图 2，图 3 是其平面示意图，固定底座于点，支架与分别可绕点和旋转，台灯灯罩且可绕点旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，，此时，则        ．现继续调节图2中的支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），则此时        ． 【答案】；. 【解析】解：如图所示，过点A作，过点B作， ，， ，， ，， ， ，， ， ； 如图，过点A作，过点作交于点， ，, ，平分，， ,， ， 角平分线与垂直，， ， . 三、解答题 18.如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上几根木条才能不变形呢？请在下面画出草图． 【答案】解：如图所示，四边形要再钉上1根木条，五边形木架需要2根木条，六边形木架需要3根木条， 如果是一个九边形木架、十边形木架，分别至少要再钉上6根木条、7根木条才能不变形． 19.探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整； 解：∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D， ∴∠AFG+∠AGF=∠C+∠E+∠B+∠D. ∵∠A+∠AFG+∠AGF=　　　　　°，  ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　　　　　°，  ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=　　　　　°.  (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和； (3)应用：如图③，小明将图②中的点A落在BE上，点C落在BD上，若∠B=∠D=36°，则∠CAD+∠ACE+∠E=　　　　　°.  【答案】解　(1)∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D， ∴∠AFG+∠AGF=∠C+∠E+∠B+∠D. ∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=36°. (2)∵∠AFG=∠C+∠E，∠AGF=∠B+∠D， ∴∠AFG+∠AGF=∠C+∠E+∠B+∠D. ∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. (3)∠CAD+∠ACE+∠E=180°-∠EAD=180°-∠B-∠D=108°. 20.如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 【答案】解：∵∠C＝90°， ∴∠A+∠2＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠A+∠1＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 21.已知a，b，c是的三边长． (1)若，，c为偶数，求c的长； (2)化简： 【答案】（1），， ， ， 为偶数， ； （2），， ，， ． 22.综合与实践 已知，点E和点F分别在直线和上，点G在和之间， (1)如图1所示，奋进小组发现，当时，，请写出证明过程； (2)当和不平行，且点A和点C重合时， ①智慧小组的作图如图2所示，他们发现，，和之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们的关系：_______； ②创新小组的作图如图3所示，探究，，和之间的关系，并写出证明过程； (3)锐思小组设计的图形如图4所示，如果，，，，，则________． 【答案】（1）证明：如图1，延长交于H， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴. （2）解：①如图2，连接并延长到H， 则，， 两式相加，得， ∴. ②如图3，连接， ∴，， 两式相加，得. （3）解：如图4，连接， 由（2）中①的结论可得，， 两式相加，得， ∵，，，，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $