1.4 用一元二次方程解决问题 第1课时（课件） 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决实际问题”，通过导入环节回顾“审题—设未知数—列方程—解方程—检验—作答”的一般步骤，搭建新旧知识桥梁，引导学生从方程基础过渡到实际应用建模。 其亮点是以“围矩形菜园”“镶边问题”等真实情境为载体，培养学生用数学眼光发现数量关系，通过列方程、判别式检验解的合理性发展数学思维，规范解题步骤强化数学语言表达。课堂练习结合古算题和生活场景，学生能提升建模能力，教师可依托结构化流程高效教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 第1课时 用一元二次方程解决问题（1） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 利用方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 审题—设未知数—列方程—解方程—检验—作答. 2 新知探究 在劳动实践中，九年级(1)班想用长22 m的篱笆围成面积是30 m2的矩形菜园，九年级(2)班想用同样长的篱笆围成面积是32 m2的矩形菜园，他们可以做到吗？ (1)篱笆长度对应矩形的什么？ 对应矩形周长. (2)矩形面积与边长有什么关系？ 矩形面积＝长×宽. 任务一：围矩形菜园——建模初探 3 新知探究 (3)如果矩形一边长为x，与其相邻的另一边长如何表示？面积方程如何列？ 由周长22 m推出长＋宽＝11 m，表示另一边长为(11－x)m； 可列出面积方程S＝x(11－x). 4 新知探究 如何分析这个问题中的数量关系？ 由篱笆总长22 m，可以得到矩形周长为2(长＋宽)＝22 m，进一步推出邻边长的和为长＋宽＝11 m. 设篱笆围成的矩形的一边长为x m，则邻边长为(11－x)m. 因此围成矩形菜园的面积为S＝x(11－x). 5 新知探究 根据这个数量关系，如何列方程求解？ 若要围成面积是30 m2的矩形菜园，则x(11－x)＝30， 即x2－11x＋30＝0. 解这个方程，得x1＝5，x2＝6. 当一边长为5 m时，邻边长为11－5＝6(m)；当一边长为6 m时，邻边长为11－6＝5(m). 所以可以围成面积是30 m2的矩形菜园. 6 新知探究 若要围成面积是32 m2的矩形菜园，则x(11－x)＝32， 化简，得x2－11x＋32＝0. 由Δ＝(－11)2－4×1×32＝－7＜0，可得此方程没有实数根. 所以不能围成面积是32 m2的矩形菜园. 7 新知探究 例 如图，要在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形 风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅 矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5 400 cm2， 金色纸边的宽应为多少厘米？ (1)题目中哪些量是已知的、哪些量是未知的？ 已知：长80 cm、宽50 cm 、等宽、总面积5 400 cm2. 未知：金色纸边的宽. 任务二：镶边问题——拓展建模 8 新知探究 (2)问题中什么是等宽？挂图由哪几部分组成？ 等宽指的是四周金色纸边的宽相等； 挂图＝风景画＋四周等宽的边框. (3)挂图的长是多少？挂图的宽是多少？ 挂图的长＝风景画长＋左边框宽＋右边框宽； 挂图的宽＝风景画宽＋上边框宽＋下边框宽. (4)问题中的等量关系是什么？ 挂图的长×挂图的宽＝5 400 cm2. 9 新知探究 分析 问题中的等量关系：挂图的长×挂图的宽＝5 400cm2. 解 设纸边的宽为x cm， 则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm. 根据题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5 400， 化简，得x2＋65x－350＝0. 解这个方程，得x1＝5，x2＝－70(不合题意，舍去). 答：金色纸边的宽应为5 cm. 10 新知探究 变式拓展：如果将挂图总面积改为8 800 cm2，能列出方程吗？判断是否有解？ 解：设纸边的宽为x cm， 则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm. 根据题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝8 800. 化简，得x2＋65x－1 200＝0. 解这个方程，得x1＝15，x2＝－80(不合题意，舍去). 答：金色纸边的宽应为15 cm. 11 新知探究 通过解答这两个问题，能说说用一元二次方程解决实际问题的一般步骤吗？ 12 新知探究 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)审：通过审题找到等量关系 (2)设：直接设未知数或间接设未知数； (3)列：根据找到的等量关系，列出方程； (4)解：求出方程的解； (5)检：检验求出的解是否为方程的解，是否符合题意； (6)答：作答. 13 1. D 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是(　　) A．2x＋2(x＋12)＝864 B．x2＋(x＋12)2＝864 C．x(x－12)＝864 D．x(x＋12)＝864 课堂练习 14 2. C 如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成)，则BC长为(　　) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m 3. 4 500 cm3 如图，将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大的正方形，剩余部分折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若该盒子的底面积为900 cm2，则盒子的容积是________． 4. 如图，把小圆形场地的半径增加6 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为________m. 5. 如图，某校准备在校园里利用25 m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60 m长的墙的材料(全部用完)，设AB的长为x m. (1)BC的长为____________m，x的取值范围是________________． (60－2x) 17.5≤x＜30 解：根据题意得x(60－2x)＝400， 整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝10(舍去)，x2＝20. 答：当x为20时，可使矩形花园ABCD的面积为400 m2. (2)当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400 m2? 19 解：嘉嘉的说法不正确． 理由：若矩形花园ABCD的面积为500 m2，则x(60－2x)＝500， 即x2－30x＋250＝0.∵Δ＝(－30)2－4×1×250＝－100＜0， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园ABCD的面积不可能为500 m2，即嘉嘉的说法不正确． (3)嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可能为500 m2.”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由． 返回 20 6. 小明有一根长为32 cm的铁丝，请按要求完成下列问题： (1)如图①，如果以这根铁丝的长为周长做成一个正方形，那么这个正方形的面积是________cm2； (2)如图②，如果把这根铁丝平均分成2段，分别做成正方形，那么这两个正方形的面积之和是________cm2； 64 32 21 (3)如图③，如果把这根铁丝分成2段，分别做成正方形，要使这两个正方形的面积之和是34 cm2，那么这两个正方形的边长分别是多少？ 解：设其中一个 正方形的边长是x cm，则另一个正方形的边长是(8－x)cm， 根据题意得x2＋(8－x)2＝34，解得x1＝3，x2＝5. 故这两个正方形的边长分别是5 cm和3 cm. (4)小明能不能把这根铁丝剪成2段，分别做成正方形，并且使它们的面积之和是30 cm2？请说明理由． 解：不能．理由如下：设其中一个正方形的边长是y cm，则另一个正方形的边长是(8－y)cm， 根据题意得y2＋(8－y)2＝30，整理得y2－8y＋17＝0， ∵Δ＝(－8)2－4×1×17＝－4<0，∴此方程没有实数根， ∴不能把这根铁丝剪成2段，分别做成正方形，并且使它们的面积之和是30 cm2. 7. 27 某养殖户要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙(AD这一面的墙长为27米，AB这一面的墙长为15米)，其余部分用木栏围成，中间用木栏隔开，分成两个场地和一个1米宽的通道，并在EH，FG，BC上各留1米宽的门(不用木栏)，建成后木栏 总长45米(如图)． (1)若矩形饲养场ABCD的一边CD长为7米，则BC＝________米． 24 解：设CD的长为x米，则BC的长为(45－3x＋3)米． 依题意得x(45－3x＋3)＝192，解得x1＝x2＝8. 当x＝8时，45－3x＋3＝24<27. 答：CD的长为8米． (2)若矩形饲养场ABCD的面积为192平方米，求CD的长． 25 解：矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 理由如下：设CD的长为y米，则BC的长为(45－3y＋3)米． 依题意，得y(45－3y＋3)＝240，整理，得y2－16y＋80＝0. ∴b2－4ac＝(－16)2－4×1×80＝－64＜0， ∴该方程无实数解． ∴矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． (3)矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出CD的长；若不能达到，请说明理由． 26 课堂总结 1.本节课我们学习了用一元二次方程解决哪类实际问题？ 2.解决这类问题的一般步骤是什么？ 3.在检验环节，我们需要注意什么？ 4.你有什么收获或困惑？ 27 (6＋6) $