2.4 用一元二次方程解决问题（第1课时）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决问题”，核心知识点为矩形面积类实际问题的方程应用，通过增长率情景和矩形菜园面积问题导入，衔接方程解法，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如矩形菜园、金色纸边）培养数学眼光，通过根的判别式推理解的存在性发展数学思维，规范“审设列解验答”步骤强化模型意识。实例丰富，如养鸡场面积问题用判别式判断可行性，助力学生提升应用能力，教师可直接使用结构化教学流程。

2.4 用一元二次方程解决问题(1) 第二章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解． 掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答． 3 会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解． 某村粮食产量，第一年为a千克，以后每年的增长率都为x，则第二年的粮食产量为 千克，第三年的粮食产量为 千克，这三年粮食总产量为 千克． 情景创设 a(1+x) a(1+x)2 a+a(1+x)+a(1+x)2 在劳动实践中，九年级（1）班想用长22m的篱笆围成面积是30m2的矩形菜园，九年级（2）班想用同样长的篱笆围成面积是32m2的矩形菜园，他们可以做到吗？ 情景创设 思考问题： (1)列方程解应用题的步骤是什么？关键步骤是什么？需要注意什么问题？ (2)本题的相等关系是什么？ 矩形菜园的长×宽=矩形的面积 (3)如果设篱笆围成的矩形一边长为xm，则邻边长为        m. (11x) (4)若要围成面积是30m2的矩形菜园，则可得方程：                     .解得：                 ， x(11x)=30 x1=6，x2=5 新知探究 设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． 若要围成面积是 30 m2 的矩形菜园，则 解这个方程， 得 x1＝5， x2＝6． 当一边为5m时,邻边为11－5＝6(m);当一边为6m时,邻边为11－6＝5(m)． 所以可以围成面积是30 m²的矩形菜园． x (11－x)＝30， 即 x2－11x＋30＝0． 新知探究 若要围成面积是 32 m2 的矩形菜园，则 由 b2－4ac＝(－11)2－4×1×32＝－7＜0， 可得此方程没有实数根． 所以不能围成面积是 32 m²的矩形菜园． x (11－x)＝32， 化简，得 x2－11x＋32＝0． 设篱笆围成的矩形的一边为 x m，则邻边为 (11－x) m． 当题目问“能否做到（是否存在）”时， 可以利用根的判别式 Δ＝b2－4ac 分析方程是否有实数根： 方程有正实数根→方案可行； Δ＜0(无实根)→方案不可行． （书本第49页例1）要在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400 cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？ 例题讲解 ①问题中的等量关系是：                                                 . ②如果设纸边的宽应为x厘米，则矩形挂图的长是           cm，宽是          cm. ③请你继续解完本题： 挂图的长×宽=挂图的面积 (80+2x) (50+2x) 设纸边的宽为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm，根据题意，得 (80+2x)(50+2x)=5400， 化简，得， x2+65x350=0 解这个方程，得，x1=5，x2=70(不合题意，舍去). 答：金色纸边的宽应为5cm. 新知巩固 1．一个长方形广场的面积是 600 m2．如果它的长减少10m，那么就成为正方形广场．求该长方形广场的长和宽． 解：设该长方形广场的宽是 x m，则长为(x＋10)m． 根据题意，得 x(x＋10)＝600， 解这个方程，得 x1＝20， x2＝－30 (不合题意，舍去)． 长为20＋10＝30m． 答：该长方形广场的宽是20m，长是30m． 原价 第一次降价后的售价 第二次降价后的售价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 设这种药品平均每次降价的百分率是 x ，可以列表分析如下： 125 元/盒 125 (1－x) 元/盒 125 (1－x)2 元/盒 等量关系：两次降价后价格＝现价 例题讲解 例2 某种药品原价 125 元/盒，经过连续两次降价，现价格为 80 元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？ 解：设这种药品平均每次降价的百分率是 x． 根据题意，得 125(1－x)²＝80． 解这个方程，得 x1＝0.2＝20%， x2＝1.8 (不合题意，舍去)． 答：这种药品平均每次降价的百分率是2 0%． 注意：变化率 0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去． 💡 连续两次下降模型： 原量×(1一变化率)2＝现量． 新知巩固 2．有一块长方形纸板，长31 cm，宽18 cm，在四个角都剪去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是300 cm2． 求盒子的高． 解：设盒子的高为 xcm． 根据题意，得 (31－2x)(18－2x)＝300， 化简，得 2x²－49x＋129＝0． 解这个方程，得 x1＝3， x2＝21.5＞18÷2 (不合题意，舍去)． 答：盒子的高为3cm． 除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去． (3)补讲例题：如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． ②围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由； 例题讲解 ②设与墙垂直的一边为xm，则与墙平行的一边长为(332x+2)m， 根据题意得： x(332x+2)＝200， 整理得：2x235x+200＝0， 因为Δ＝(35)2﹣4×2×200＝12251600＝375＜0， 所以方程没有实数根， 答：围成养鸡场的面积不能达到200m2； 思考：围成养鸡场的面积最大是多少？ 讨论交流 用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ (3) 列：根据题目中的等量关系，列出方程； (4) 解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)； (2) 设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称； (5) 验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义； (6) 答：写出完整规范的答语（注意单位）． (1) 审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系； 如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围、 解：(1) 设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70＋2－2x＝(72－2x) m． 根据题意，得 x(72－2x)＝640． 化简，得 x2－36x＋320＝0． 解得 x1＝16，x2＝20． 当x＝16时，72−2x＝72－32＝40m； 当x＝20时，72−2x＝72－40＝32m． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈． 思维提升 1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 尝试练习 (4)尝试练习：学校打算用16m的篱笆围成一个面积是30m2的矩形生物圈饲养小兔.如图，生物园的一面靠墙，墙长8m，求这个生物圈的边长. 解：设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为(162x)m． 由题意，得 x(162x)＝30， 解得x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，162×3＝10，10＞8，不合题意舍去， 当x＝5时，162×5＝6（m）． 答：这个生物圈的长为6m，宽为5m． 解：(2) 解：不能，理由如下： 由题意，得 x(72－2x)＝650． 化简，得 x2－36x＋325＝0． ∵ (－36)2－4×325＝－4＜0， ∴ 一元二次方程没有实数根． ∴ 羊圈的面积不能达到 650 m2． 思维提升 1．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）． (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 例题讲解 例3 如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75 km/h 的速度沿直线行驶，在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间？ A C B 北 30km 60km/h 75km/h 分析：① 设缉私艇从C到B需航行 x h，则BC的长度为多少？ ② 同一段时间内，可疑船只从A到B航行了多少？ ③ 观察△ABC,这是什么三角形？三边之间有什么关系？ 75x km 60x km 例题讲解 例3 如图，海关缉私人员驾艇在 C 处发现正北方向 30 km 的 A 处有一艘可疑船只，并测得它正以 60 km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75 km/h 的速度沿直线行驶，在 B 处将可疑船只拦截．缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间？ A C B 北 30km 60km/h 75km/h 75x km 60x km 解：设缉私艇从C处到B处需航行 x h． 根据题意，得△ABC是直角三角形，AC=30km， AB＝60x km，BC＝75x km． 于是 (60x)2＋ 302 ＝(75x)2． 解这个方程，得 x1＝，x2＝－(不合题意，舍去)． 答：缉私艇从C处到B处需航行 h ． 思维提升 2．将一根长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为 (6－x)cm . 依题意，得 x2＋(6－x)2＝26， 整理，得 x2－6x＋5＝0 ， 解得 x1＝1， x2＝5， ∴ 1×4＝4(cm)， 24－4＝20(cm) ∴ 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4 cm、 20 cm． (1)要使这两个正方形的面积之和等于26 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ 思维提升 2．将一根长为24 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． 解：(2)两个正方形的面积之和不能等于17 cm2. 理由：依题意，得　　x2＋(6－x)2＝17， 化简，得 　　　　　2x2－12x＋19＝0 . ∵b2－4ac＝(－12)2－4×2×19＝－8，∴方程无实数解． ∴两个正方形的面积之和不能等于17 cm2． (2)两个正方形的面积之和能等于17 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． （2025•浦东新区校级模拟）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． ③当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图 例题讲解 （3）设剪去的正方形边长为xcm， 若按图1所示的方法剪折， 有：2(8−2x)x+2××x=30 整理，得，3x2﹣13x+15＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×3×15＝﹣11＜0，∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：2(10−2x)x+2××x=30 整理得：3x2﹣14x+15＝0， 解得：x1＝，x2＝3， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2. 课堂小结 这节课，你的收获是--- 课堂小结 2.4 用一元二次方程解决问题（1） 一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 两类核心几何模型：① 周长固定围矩形问题；② 图形四周加宽/裁剪问题 易错提醒：检验时，除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去 谢谢大家聆听 $